集合复习讲义.doc

教 学 目 的1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。2.掌握集合间的基本运算。重 难 点集合中元素的三个基本特性在做题中的真正理解。教 学 内 容【基础知识网络总结与巩固】1集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系为属于或不属于关系，分别用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法(4) 常用数集：自然数集N、正整数集N*(或N)、整数集Z、有理数集Q、实数集R.(5) 集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集2 集合间的基本关系 (1)子集：对任意的xA，有xB，则AB(或BA) (2)真子集：若AB，且AB，则A B(或B A)(3) 空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集(4)若A含有n个元素，则A的子集有2个，A的非空子集有21个(5)集合相等：若AB，且BA，则AB.3集合的运算及其性质(1)集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示意义x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA(2) 集合的运算性质思考：当集合A与B没有公共元素时，A与B就没有交集吗？提示：不能这样认为，当两个集合无公共元素时，两个集合的交集仍存在，即此时AB=。并集的性质：AA；AAA；ABABA.交集的性质：A；AAA；ABAAB.补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A.【关注命题】一个命题规律 本节在高考中多为基础题、填空题形式，有时也会出现与其他知识(如函数、不等式)综合的解答题从高考题中可以看出，集合的知识往往作为工具，来考查函数、数列、不等式等知识点，对集合的考查主要是集合之间的基本运算三个防范(1) 空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解 (2)认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误【重难点例题启发与方法总结】 1判断：(正确的打“”，错误的打“”) (1)集合0是空集.( ) (2)集合x|x+1=0,xR是空集.( ) (3)空集没有子集.( )【答案】：(1) (2) (3)【解析】：(1)错误.集合0含有一个元素0，是非空集合.(2)正确.由于方程x2+1=0在实数范围内无解，故此集合是空集.(3)错误.空集是任何集合的子集，也是它本身的子集.【点拨】 1.对子集概念的理解(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意xA能推出xB.(2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A=时，AB，但A中不含任何元素；又当A=B时，也有AB，但A中含有B中所有元素，这两种情况都有AB.2.对真子集的理解对真子集概念的理解关键是“真”字，它包括两个方面：首先是某集合的子集，其次不能与原集合相等.3.对集合相等的理解(1)从元素的特征出发表达两个集合相等，即集合A中的元素和集合B中的元素相同，则这两个集合相等.(2)从两个集合的关系出发表达两个集合相等，即AB，则对任意xA都有xB，同时BA，则对任意xB都有xA，这说明两个集合的元素是相同的，即两集合相等.4.对空集的理解(1)空集首先是集合，只不过此集合中不含任何元素.(2)规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.5.对集合间关系具有的性质的两点说明(1)对于任何一个集合是它本身的子集的性质要时刻牢记.(2)集合间的包含关系满足传递性，同样，集合间的真包含关系也具有传递性。2.(2013重庆高一检测)设集合M=1,2，则满足条件MN=1,2,3,4的集合N的个数是( )A.1 B.3 C.2 D.4【提示】根据集合MN及集合M的关系，可以确定集合N一定含有的元素，集合的个数则由可能含有的元素确定。【答案】选D.【解析】M=1,2，MN=1,2,3,4， N=3,4或1,3，4或2，3,4或1,2,3,4，即集合N有4个. 3.(2013 西宁高一检测)已知集合A=x|-1x3,B=x|2x5，则AB( ) A.x|2x3 B.x|-1x5 C.x|-1x5 D.x|-1x5【答案】 B 【解析】（如题，两个集合的表示方法是描述法。） 结合数轴分析可知，ABx|-1x5【考点分析】本题主要考察集合间的基本运算。4.已知集合，且，则=_.【答案】1或2【解析】由这一条件分析可知，或，分别计算得出的值，并检验。【考点分析】本题主要考察集合中元素的三个基本特性，即确定性、互异性、无序性。【变式训练】已知集合A=x|-3x4，集合B=x|2m-1xm+1，且BA，求实数m的取值范围.【答案】m-1【解析】BA，(1)当B=时，即2m-1m+1，亦即m2时，满足要求.(2) 当B时，则有 解得-1m2.综上所述，实数m的取值范围是m-1. 【解题指南】可就集合B是否为空集进行讨论，根据BA列出有关不等式(或组)，进而求出实数m的取值范围.5.下列集合不是0,1的真子集的是( ) A.1 B.0 C.0,1 D.【答案】C【解析】集合不是它本身的真子集，故选C【点拨】1.一个集合的子集可以与其相等，也可以是空集. 2.一个集合的真子集不能是它本身。【重难点关联练习巩固与方法总结】一、选择题1.(2013冀州高一检测)若集合M中的三个元素a,b,c是ABC的三边长,则ABC一定不是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形【解析】选D.由集合元素的互异性可知,a,b,c三个数一定全不相等,故ABC一定不是等腰三角形. 2.已知2aA,a-aA,若A只含这2个元素,则下列说法中正确的是() A.a可取全体实数 B.a可取除去0以外的所有实数 C.a可取除去3以外的所有实数 D.a可取除去0和3以外的所有实数【解析】选D.由集合元素的互异性可知,2aa-a,解得a0且a3,故选D。3.已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,A=1,3,5,7,B=3,5,则下列式子一定成立的是() A.BA B.(A)(B)=U C.AB= D.BA=【解析】选D.逐一进行验证.B=1,2,4,6,7,A=2,4,6,显然AB,显然A,B错误;AB=1,7,故C错误,所以只有D正确. 4.(2013广州高一检测)如图,I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是() A.(AB)C B.(BA)C C.(AB)C D.(AB)C【解析】选D.由图可知阴影部分是A的元素,且是C的元素,但不属于B,故所表示的集合是(AB)C.2、 填空题 1.已知集合M=(x,y)|x+y=2,N=(x,y)|x-y=4,那么集合MN=. 【解析】由题意联立方程组得x=3,y=-1,故MN=(3,-1). 2.(2013西安高一检测)设集合A=5,a+1,集合B=a,b.若AB=2,则AB=. 【解析】AB=2,2A,故a+1=2,a=1,即A=5,2;又2B,b=2,即B=1,2,AB=1,2,5. 3.(2013汕头高一检测)已知集合A=-1,3,2m-1,集合B=3,若BA,则实数m=.【解析】BA,=2m-1,m=1. 三、解答题 1.集合A的元素由的解构成,其中kR,若A中的元素只有一个,求k的值. 【解析】由题知A中元素即方程(kR)的解, 若k=0,则,知A中有一个元素,符合题意; 若k0,则方程为一元二次方程. 当=9-8k=0即时,kx2-3x+2=0有两个相等的实数解,此时A中有一个元素. 综上所述,k=0或. 2.用适当的方法表示下列集合: (1)所有被3整除的整数. (2)满足方程x=|x|的所有x的值构成的集合B. 【解析】(1)x|x=3n,nZ. (2)B=x|x=|x|,xR. 【变式备选】集合A=x2,3x+2,5y3-x,B=周长为20cm的三角形,C=x|x-32,xQ,D=(x,y)|y=x2-x-1.其中用描述法表示的集合个数为() A.1B.2C.3D.4 【解析】选C.集合A为列举法表示集合,集合B,C,D均为描述法表示集合,其中B选项省略了代表元素和竖线. 3.已知集合A=1,3,5,B=1,2,x2-1,若AB=1,2,3,5,求x及AB. 【解析】B(AB),x2-1AB. x2-1=3或x2-1=5. 解得x=2或x=. 若x2-1=3,则AB=1,3. 若x2-1=5,则AB=1,5.【课后强化巩固练习与方法总结】 1.已知集合,，且则m的值为（）A1 B1 C1或1 D1或1或02. 设，若,则( )A. B. C. D.3.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做的正确得有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有( )人.4.已知全集，若,， 求实数的a,b值. 5.(2013天津高一检测)设集合A中含有三个元素2x-5,x2-4x,12,若-3A,则x的值为.6.设A=4,a,B=2,ab,若A=B,则a+b=. 7.已知:A=x|x2+4x=0,B=x|x2+2(a+1)x+a2-1=0. (1)若AB=B,求a的值. （2)若AB=B,求a的值.8.设P,Q为两个数集,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中aP,bQ,求P+Q中元素的个数.【答案】1.D 2.A 3.25 4.由补集的定义可知，且， 所以， 解得 所以求得的值为。 5.-3A,-3=2x-5或-3=x2-4x.当-3=2x-5时,解得x=1,此时2x-5=x2-4x=-3,不符合元素的互异性,故x1;当-3=x2-4x时,解得x=1或x=3,由知x1,且x=3时满足元素的互异性.综上可知x=3. 6.两个集合相等,则两集合的元素完全相同,则有a=2,ab=4,将a=2代入ab=4,得b=2.a+b=4. 7.(1)A=-4,0,若AB=B,则B=A=-4,0,解得a=1. (2)若AB=B,则 若B为空集,则=4-4(-1)=8a+80,则a-1; 若B为单元素集合,则=4-4(-1)=8a+