寒假讲义3——旋转问题(教师版).doc

新年华学校中考数学之王讲义 聪明挑战中考数学之王专题2A03：旋转问题纵贯线【引子】（1）如图，ABC和ADE都是等边三角形且有公共顶点A，请分别在下图中这五个点间连接两条线，构造一对全等三角形图1连结BD、EC；图2连结AB、DC；图3连结AB、DC（2）如图，正方形ABCD和正方形CEFG有公共顶点C，请分别在下图中这七个点间连接两条线（正方形对角线除外），构造一对全等三角形 图1连结BG、DE；图2连结BG、DE；图3连结BG、DE（3）如图，ABC和ADE都是等腰三角形且顶角相等，请分别在下图中这五个点间连接两条线，构造一对全等三角形图1连结BD、EC；图2连结BD、EC；图3连结BD、EC；图4连结BD、EC旋转信号：1、 公共端点的等边2、 旋转三角形（让其中一边带领整个三角形旋转，使得相等边重合）3、 注意旋转的角度及旋转后出现的特殊三角形解题思路及知识总结：【例1】（难度）（2008年山东省滨州市）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60OC平分AOE.恒成立的结论有、（把你认为正确的序号都填上）。1、ACDBCE；2、QBCPAC，PCQ=60；3、QBCPAC；6、过C作AOC边的垂线，证明垂线相等即可（利用全等）【例2】（难度）（新年华题库）图1是边长分别为a和b(ab)的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起(C与C重合)的图形.(1)操作:固定ABC,将CDE绕点C按顺时针方向旋转30,连结AD,BE,如图2;在图2中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?证明你的结论.(2)操作:若将图1中的CDE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度,连结AD,BE,如图3;在图3中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?证明你的结论.(3)根据上面的操作过程,请你猜想当为多少度时,线段AD的长度最大?是多少?当为多少度时,线段AD的长度最小?是多少?(不要求证明) 图1 图2 图3（1） 相等（2） 相等（3） 最大a+b;最小a-b（4）解题思路及知识总结：【例3】（难度）（新年华题库）如图，P是等边ABC内一点，PA=3,PB=4,PC=5,求APB的度数。将ABP顺时针旋转60得BCP，PPC是直角三角形，APB=BPC=135【例4】（难度）（2009年崇文一模）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别由两点M,N,D为外一点，且,BD=CD.探究：当点M,N分别在直线AB，AC上移动时，BM,NC,MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系。（1）如图（1），当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_；此时(2)如图（2），当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明。（3）如图（3），当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若，则Q=_(用表示)将BMD顺时针旋转120至BD与DC重合（1） MN=BM+NC; =（2） 成立（3） MN=NC-BM；Q=解题思路及知识总结：【例5】（难度）（新年华题库）如图,ABC和ADE都是等腰直角三角形,CE与BD相交于点M,BD交AC于点N,证明:(1)BD=CE.(2)BDCE. (3)当ABC绕A点沿顺时针方向旋转如下图(1)(2)(3)位置时,上述结论是否成立?请说明.图(1)图(2)图(3)（1） ABDACE;EFBBAD（2） EFGADG【例6】（难度）（新年华题库）如图，等腰直角ABC中，AB=AC，D是边BC上任意一点。求证：BD2+DC2=2AD2 将ADB逆时针旋转90至使AB与AC重合得到ACD,连结DD，DDC为直角三角形解题思路及知识总结：【例7】（难度）（新年华题库）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为多少？（第18题）A1A2A3A4极限法，【例8】（难度）（新年华题库）直角梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90至DE，连结AE，则ADE的面积是_3_过E做EF垂直AD于F,过D做DG垂直BC于GEF=CG=2解题思路及知识总结：【例9】（难度）（新年华题库）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.（1）将PAB绕点B顺时针旋转90到PCB的位置（如图1）.图1图2设AB的长为a，PB的长为b（ba），求PAB旋转到PCB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；若PA=2，PB=4，APB=135，求PC的长.（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.解析：（1） S=不规则ACPB的面积-不规则APPB的面积=扇形ABC-扇形BPP=PC=6（2） 做一个ABP，将ABP顺时针旋转90，由题意证得APB+BPC=180【例10】（难度）（新年华题库）P是正方形ABCD内一点，PA=3，PB=2，PC=1，求CPB的度数解析： 将BPC逆时针旋转90使得BC与AB重合，得到BPA参考例3解题思路及知识总结：【例11】（难度）（新年华题库）如图, 在四边形ABCD中, ADC=ABC=90度, AD=CD, DPAB于P, 若四边形ABCD的面积是16, 求DP的长.解析：将DAP逆时针旋转90构造出正方形DPBP，且正方形DPBP的面积=四边形ABCD的面积=16【例12】（难度）（08朝阳一模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45 ，则有结论EFBEFD成立； （1）如图，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF是BAD的一半，那么结论EFBEFD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，延长BC到点E，延长CD到点F，使得EAF仍然是BAD的一半，则结论EFBEFD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.解析：将ABE逆时针旋转使得AB与AD重合，得到ADEAEFAFE解题思路及知识总结：【例13】（难度）（新年华题库）如图，四边形ABCD中，AB=AD,BC=2,CD=5,AECD,AE=4,求四边形ABCD面积解析：将三角形AED顺时针旋转90【例14】（难度）（新年华题库）如图，五边形ABCDE中，AB=AE=CD=BC+DE=2,ABBC,AEDE,求五边形ABCDE面积解析：连结AD，将AED顺时针旋转使得AE与AB重合，得到ABD，五边形ABCDE面积=平行四边形ADCD解题思路及知识总结：【巩固练习】1、（难度）（新年华题库）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE（1）求证：CECF；（2）在图1中，若G在AD上，且GCE45，则GEBEGD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在