华约 七校联考2011自主招生考试数学模拟试卷_[讲义].pdf

顶格教育 圆您梦想 1 华约 七校联考 2011 自主招生考试数学模拟试卷 本试卷满分为 100 分 分填空题和解答题两部分 考试时间为 90 分钟 班级 姓名 学号 成绩 一 填空题 本大题共 10 个小题 每题 5 分 满分为 50 分 1 二次方程 2 1110 i xxii 为虚数单位 R 有两个虚根的充分必要条件是 的 取值范围为 2 1009999100 1 4334 1 3223 1 212 1 3 若关于x的方程0 3 1 2 14 22 xxa恰有两个不同的实数解 则实数a的取值范围是 4 已知函数 123f xxx 的最大值为M 最小值为m 则 m M 5 n为不超过2009的正整数 如果有一个 使 sincossincos n inin 成立 则这样的n 的总个数为 个 0 4 2 0 2 0 0 1 ABCABCD EABCBDEABC E 6 已知的三个顶点坐标分别为 点 的坐标为 若 为边界上一点 且折线将的面积分成相等的 两部分 则点 的坐标为 53441 ABCDABCDACBDADBC ABCD 7 四面体中 则四面体的外接球半径为 2 2 5 8 有 3 m mN 个球 其中有彩色球m个 甲 乙 丙三人按甲 乙 丙 甲 乙 丙 的顺序依 次从袋中取球 每次取后都放回 规定先取出彩色球者为获胜 则甲 乙 丙获胜的概率比为 11212 12121 nn inxxxxxxx n 9 对于 有 且 则正整数 的最小值为 10 已知O是锐角 ABC的外心 10 6 ACAB 若ACyABxAO 且5102 yx 则 BACcos 顶格教育 圆您梦想 2 二 解答题 本大题共 5 个问题 每题 10 分 满分为 50 分 11 对于2 n定义 n p是 n 1 的排列 的个数 满足有且只有一个 1 2 1 ni 使得 1 ii 求 n p 个数的值指排列中的第这里ii 12 函数 2 2 log 2 2 2 f xaxaxa 在区间 2 2 2 aa 上恒有定义 求实 数a的取值范围 13 数列 n a满足pa 1 1 2 pa 202 12 naaa nnn 其中p是给定的实数 n是正整 数 试求n的值 使得 n a的值最小 顶格教育 圆您梦想 3 14 已知函数 2cos 3sin ax f x x 在区间0 2 内是增函数 求实数a的取值范围 15 平面上有 7 个点 它们之间可以连一些线段 使 7 点中的任意 3 点必存在 2 点有线段相连 问至少要 连多少条线段 证明你的结论 顶格教育 圆您梦想 4 参考答案 一 填空题 1 2 2 10 9 3 16 3 0 aa或 4 5 5 5 503 6 3 8 3 2 7 2 2 5 8 4 6 9 9 22 10 3 1 二 解答题 11 121 21 1 1 1 nCnpi iniin n n i i n 故 但要除去选出的数是 可 下数也从小到大排列即个数从小到大排列 剩前个数个数中任选出从 12 解 设 2 2 2 2 g xa xaxa 则 2 2 l o g 2 2 2 fxa xaxa 在 区 间 2 2 2 aa 上恒有定义即 0g x 在 2 2 2 aa 上恒成立 当0a 时 240g xx 于 2 4 上恒成立 当0a 时 g x的对称轴 2 0 2 a a g x在 2 2 2 aa 上单调增加 所以 2 2 2 34 0g aaaa 由20a 2 340aa 所以 0 a 当0a 时 0g x 于 2 2 2 aa 上恒成立 则 2 0 2 2 0 g a ga 由 2 2 2 34 0g aaaa 2 340aa 得 20a 即2a 由 2 2 2 2 253 0gaaaa 得 2 2530aa 解得 3 2 a 或1a 所以 3 2 2 a 或10a 综上 3 2 1 2 a 13 解 令 nnn aab 1 2 1 n由题设202 12 naaa nnn 有20 1 nbb nn 且1 1 b 于是 20 1 1 1 1 1 n i n i ii ibb 即 1 2 1 21 1 nnnbbn 1 2 40 1 nn bn 又pa 1 1 2 pa 则 21123 172012aapaaa 当 n a的值最小时 应有3 n 1 nn aa 且 1 nn aa 即0 1 nnn aab 0 1