新加坡的中小学数学应用建模教育.pdf

2 0 1 4 年第5 3 卷第8 期 数学通报 1 7 新加坡的中小学数学应用 建模教育 罗琼1 2廖运章1 1 广州大学数学与信息科学学院5 1 0 0 0 6 2 黔南民族师范学院数学系5 5 8 0 0 0 新加坡数学教育因在T I M S S 与P I S A 中的 优秀表现备受国际数学教育界的广泛关注 这从 一个侧面反映了新加坡数学教育的独特之处 离 不开其与时俱进的数学课程改革 2 0 1 3 年秋季学 期起 小1 中1 和中3 开始逐年实施2 0 1 2 年4 月 颁布的最新中小学数学教学大纲 下称2 0 1 2 版 1 1 该大纲最突出的特点是在其五边形数学框 架 过程 应用与建模 中具体明确地新增 数学建模过程 规定 注重数学应用 建模教育跃 然纸上 成为国家意志 顺应2 1 世纪世界各国数 学课程重视数学应用与数学建模教育的国际 潮流 1 数学应用与建模教育的课程定位 应用与建模 是新加坡2 0 0 6 年颁布 2 0 0 7 年起开始实施的中小学数学教学大纲首次引入 的 在原 过程 中的 思考技能和策略 基础上 增 加 推理 交流和联系 以及 应用和建模 为了帮 助中小学数学教师有效实施数学应用与建模教 育 2 0 0 9 年新加坡数学教育协会 新加坡教育学 会数学与数学教育学术小组 联袂举办了以 数学 应用与建模 为主题的2 0 0 9 数学教师研讨会 M T C 并将成果汇编成 数学应用与建模 2 0 1 0 年鉴 一书予以出版 2 3 不但为教师开展数 学应用与建模教学提供宝贵的参考资料 而且促 使2 0 1 2 版新大纲增强对数学应用 建模教育的力 度 由原来的位居第三变为现在的第二 即先后顺 序依次是 推理 交流和联系 M P l 应用和建 模 M P 2 思考技能和策略 M P 3 1 1 数学应用与建模的2 0 0 6 大纲规定 2 0 0 6 版数学教学大纲关于 应用与建模 的 具体规定是 应用和建模在发展学生的数学理解和数学 能力上有重要作用 学生运用数学问题解决技能 和推理技能解决各种数学问题和现实问题至关 重要 数学建模是建立和改进数学模型使之表示 解决现实问题的过程 通过数学建模 让学生学会 表示各种数据 选择和应用适当的数学方法和工 具解决现实问题 各学习阶段应为学生提供处理 真实数据 使用数学工具分析数据的机会 同时 在O N A 水平的中3 中4 设有 实 际情境中的数学应用 内容 包括源于实际情境的 问题 如物业账单 租购 单利和复利 货币交换 赢利和亏损 税收 使用图表数据 解释和使用实 际情境中的图像 利用给定数据作图 距离一时问 图和速度一时间图 不包括使用赢利率 亏损率术 语 N T 水平中3 中4 的 综合情境 即源于实 际生活情境的问题 该部分内容应分布在中2 到 中4 的三年内 包括实际情境问题 赢利和亏 损 单利和复利 家庭财务 收入 支出 预算等 赔付率 认购率 分期付款 物业账单等 货币交 换 时间表 含2 4 小时制 和时区变换 设计 铺设 模式 样式 结构 地图和计划 打包等 日常统计 体育赛事统计 家庭和市场调查等 相关任 务 使用图表数据 解释和使用实际情境中的 图像 利用给定数据作图 几何模式设计 解释和 使用量化信息 不包括使用赢利率 亏损率 术语 3 1 2 数学应用与建模的2 0 1 2 大纲规定 对 应用与建模 2 0 1 2 版数学教学大纲明确 基金项目 本文是2 0 1 2 年度教育部人文社会科学研究规划基金项目 2 1 世纪国外中小学数学课程的最新进展 1 2 Y J A 8 8 0 0 7 4 的成果之一 廖运章为通讯作者 万方数据 1 8 数学通报 2 0 1 4 年第5 3 卷第8 期 指出 应用与建模使学生把数学和现实生活联系起 来 促进重要数学概念和方法的理解 发展数学能 力 学生应有运用数学问题解决与推理技能的机 会 去解决各种问题 包括开放性 现实性问题 数 学建模是建立和改进数学模型使之表示 解决实 际问题的过程 通过数学建模 让学生学会应对不 确定性问题 建立联系 选择和应用适当的数学概 念和技能 作出假设 检验所得解是否符合实际问 题 并基于给定或收集到的数据作出合理结论 数 学建模过程 2 0 1 0 版 如下 数学建模过程 2 0 1 0 版 现实世界 数学世界 建模 理解问题 假设以简化问题 反馈 反 修 解释 依实际问题情境解释数学结果 表示实际问题的解 图1 数学建模过程 数学 I C T 2 0 1 2 版还把数学教学大纲设置为 内容 过 程 模式 对 数学过程 M a t h e m a t i c a lP r o c e s s e s 中的 应用和建模 M P 2 按小学 O N A 水平 N T 水平 O N A 水平附加数学分别提 出具体要求 小学M P 2 应用 运用数学概念和技 能解决各种数学内外的情境问题 包括 选用适当 的数学表征表示问题 使用适当的数学概念和技 能 含工具和算法 解决问题 根据问题情境解释 数学结果并理解其意义 O N A 水平M P 2 应用和建模 运用 数学概念和技能解决各种数学内外的情境问题 包括 选用适当的数学表征或标准模型表示问题 使用适当的数学概念和技能 含工具和算法 解决 问题 理解数学建模过程之本质 包括 通过情 境假设 简化问题 选用适当的数学表征 建立实 际问题的数学模型 运用数学解决数学问题 根据 问题情境解释数学结果 反馈和修正数学模型 N T 水平M P 2 应用和建模 运用数 学概念和技能解决各种数学内外的情境问题 包 括 选用适当的数学表征或标准模型表示问题 使 用适当的数学概念和技能 含工具和算法 解决问 题 理解数学建模过程的某些要素 包括 建立 简单的数学模型表征实际问题 运用数学解决数 学问题 解释数学结果 并作出合理结论 O N A 水平附加数学M P 2 应用和建 模 运用数学概念和技能解决各种数学内 外的情境问题 包括 选用适当的数学表征或标准 模型表示问题 使用适当的数学概念和技能 含工 具和算法 解决问题 建模步骤 理解实际问题 通过情境假设 简化问题 选用适当的数学表征 建立实际问题的数学模型 运用数学解决实际问 题 根据问题情境解释数学结果 包括对照真实数 据予以检验 反馈和修正数学模型 值得注意的是 2 0 1 2 版从中1 开始就在 内 容和学习经验 中设置 源于现实世界的问题 O N A 水平 解决实际情境问题 日常生活 含旅行计划 运输时间表 体育娱乐 食谱等 个 人和家庭财务 含单利 税收 分期付款 物业账 单 货币交换等 解释和分析图表数据 包括距 离一时间图和速度一时间图 根据问题情境解释数 学解 认识作假设和解的局限性 运用几何解决实 际情境问题 含楼面布置图 测量 航行等 N T 水平 实际情境问题 如赢利和亏损 不含使用 赢 利率 亏损率 术语 家庭财务 收入 支出 预 算等 时间表 含2 4 小时制 和时区变换 设计 样式 结构 打包等 日常统计 体育赛事统计 家庭和市场调查等 相关任务 使用图表数 据 解释和使用实际情境中的图像 利用给定数据 作图 几何模式设计 解释和使用量化信息 不难发现 新加坡新数学教学大纲强调数学 应用 建模 既反映世界各国对数学应用与建模教 育越来越重视 更是数学应用与建模可发展学生 高层次思维能力之故 数学模型是数学知识与数 学应用的桥梁 研究和学习数学模型 能帮助学生 探索数学的应用价值 产生对数学学习的兴趣 培 养学生的创新意识和实践能力 加强数学应用 建 模的教与学对开发学生智力意义深远 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第8 期数学通报 1 9 2 数学应用与建模教育的实施策略和教学案例 数学教学大纲并没有区分应用和建模 只是 强调数学 解决现实情境问题 实际上这两者还 是有一定的区别的 数学应用的任务设定是从数 学到实际问题 教师设计任务通常是问 这个数学 知识可以用在什么地方呢 它是建模的一个重要 的桥梁但它本身并不是数学建模 而数学建模是 从实际问题开始到运用数学最后回到实际问题 是用模 建模 解模 验模的多次循环不断深化 过程 应用和建模 是数学教学大纲的新成员 对 一线许多数学教师来说是个不小挑战 如何在课 堂中融入应用与建模呢 因新大纲只有原则性规 定 即便给出如 家庭财务 问题也无具体对应实 例 故应用与建模主要依赖数学教师的个别解释 和课堂实施 这不但要求教师必须自己要有丰富 的数学应用与建模相关知识 还要有意识地把它 穿插在数学课堂中 同时要对学生在应用与建模 过程中的表现进行评价 特别是考虑应用和建模 团体合作解决问题 尽管现行新加坡中小学数学教材也没定义什 么是数学建模以及明确出现数学建模的任务 但 教科书常常包含一些让学生在新情境中运用他们 所学数学知识的非常规问题 这些具有挑战性的 非常规问题可视为应用问题 例如 小学低年级的 汤姆有1 8 块 汤尼的钱是他的两倍 他们总共有 多少钱 小学高年级的 艾米 玛丽和黛丝三个人 收集邮票 艾米比玛丽多5 张邮票 黛丝的邮票是 玛丽的6 0 还知道黛丝的邮票是艾米的一半 问他们总共有多少张邮票 下称邮票问题 而在 中学 随着代数 几何等数学知识的扩充 学生面 对的应用问题也越来越复杂 如灯塔问题 稻草堆 高度问题等 他们也可能面对真正复杂的建模问 题 如股票价格预测 氯化游泳池等 2 0 0 7 年实施至今的教学实践 新加坡在数学 应用 建模教育上取得可喜成绩 积累了许多成功 的教学方法 经验与案例 2 1 C A P 模型与模型图法 C A P 即数学概念的具体一表象一抽象 c o n c r e t e p i c t o r i a l a b s t r a c t 是新加坡小学数学教学 大纲着重强调的 通过运用C A P 法和各种数 学工具 含I C T 增强概念性理解 模型图法是 C P A 模型的具体应用 通过开发C P A 模型中的 具体 和 表象 功能来提高学生对抽象数学关系 的理解 建立客观对象的数学模型以解释对象的 本质特征和变化规律 新加坡从1 9 8 3 年开始在小 学推广 模型图法的应用大大提高了新加坡学生 解数学应用题的能力 邮票问题就是用模型图法 解决数学应用题的典型案例 读者不妨一试 2 2P B L 教学法 P B L 即基于问题的学习 P r o b l e mB a s e d L e a r n i n g 是问题驱动的自主式学习 是新加坡 一直倡导的一种有效数学课堂教学方法 问题设 计是P B L 的关键环节 既要符合教学内容 贴近 生活实际 又能激发学生探究的兴趣 为此 设计 的问题必须与实际生活有关 能为学生提供发现 问题 搜集信息 组织 操作 测试和修改信息的机 会 激发学生运用数学思想 概念和算法 并让学 生在这个过程中获得新知识 例如 在无盖纸盒的 最大容积的问题中 不同年级学生可根据问题需 要利用相关的几何和测量知识 得到问题解决的 不同方案 2 3 分析解释图表的五步框架法 相对文本的表示形式 图形和表格看起来会 比较简单 但它们包含较大的信息量而且分析和 解释起来会相当复杂 所有的学生应该获得足够 技能去分析和解释他们所遇到的图或表的数据 新加坡最新教学大纲要求 基于给定或收集到的 数据作出合理结论 相关研究表明 虽然学生可 以阅读简单的统计图表 但他们对于解释图表中 的数据感到困难 这说明需要培养学生的分析和 解释图表能力 五步框架法就是一个典型的从简单到复杂 提供通用步骤模板 让教师协助学生发展分析和 解释图形或表格数据能力的好方法 该框架既可 用于简单图表 也可用于复杂图表 五步框架法强 调学生在分析和解释图表时需要问自己问题 具 体步骤为 步骤1 起步 看标题 轴 图例 注脚和数 据源 找出图表的背景和数据的可靠性 这涉及寻 求信息的采集方法 样本大小和预测准确性 也是 调查和民意测验涉及的问题 特别留意一些陌生 字眼 步骤2 这些数字是什么意思 确保你 万方数据 2 0 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第8 期 知道所有的数字代表什么意思 如 O O O s 等 寻找每个类别的最大值和最小值 了解数据的大 概范围 步骤3 它们有什么不同 寻找同一行 列或图形的一部分数据值的差异 这可能涉及到 时间的变化 或不同类别的比较如男性和女性 步骤4 差异在哪里 图表中有什么特 别的关系 步骤3 的观察结果可以帮助你对表中 的列或行或图形的一部分进行比较 以寻找相似 点和不同点 步骤5 为何有差异 寻找可能的原因 数据 如考虑文化 社会 环境 政治和经济因素的 关系 想一想国家有关突如其来的变化 国家和国 际政策或重大事件等 案例分析和解释各国青年对离婚的看法数 据 如图2 步骤1 起步 问 从标题可以看出调查的主题是什么 从 纵轴看组与组之间是如何比较的呢 从横轴看组 与组之间是如何比较的呢 有什么可以证明资料 是可靠的吗 图例的意思是什么 步骤2 这些数字是什么意思 问 纵轴上的值是什么意思 在新加坡 认为 不应该离婚的青年占的比例是多少 在美国 认为 不应该离婚的青年占的比例是多少 在新加坡 认 为没有小孩应该离婚的青年占的比例是多少 世界青年对离婚的看法 一 摹 一 篁 求 l 丑 资料来源 2 0 0 5 年各国青年调查和2 0 0 3 年世界青年调查 图2 世界各国青年对离婚的看法 步骤3 它们有什么不同 问 观察每一列的高度 你发现了什么 你觉 得为什么会这样 把瑞典青年对离婚的四种看法 按比例由低到高排序 把这六国按青年认为没有 小孩应该离婚的比例升序排列 把这六国按青年 认为没有爱应该离婚的比例升序排列 步骤4 差异在哪里 问 比较韩国和日本的主要区别 比较新加坡 和日本的主要区别 比较德国 瑞典和美国的主要 区别 步骤5 为何有差异 问 比较六国青年认为不应该离婚这一项 瑞 典是2 而新加坡是2 8 请从国家的主要信仰 分析存在如此大差别的原因 比较六国青年认为 有了孩子也要离婚这一项 德国的比例几乎是新 加坡的两倍 你认为哪些因素会影响他们的观 点呢 新加坡教育部鼓励学生探讨身边的问题以及 比较新加坡和其他国家的异同 通过使用五步框 架法中的结构性问题 学生可以阅读和解释图表 以及讨论差异的原因 当分析和解释数据或只是 读一本书或报纸时 他们应该会自动询问自己获 取图表的信息 经验表明 学生可以在结构性问题 或任务的帮助下解释图表 教师面临的挑战是 通 过解释数据所需要的步骤去协助学生发展他们自 己独立的方式 其中一种方法就是给学生一个图 或表 并要求他们在团体合作中写出合适的问题 并讨论答案 在信息技术为基础的现代社会里 人们面临 着更多的机会和选择 常常需要在不确定情境中 根据大量无组织的数据 做出合理的决策 数据分 析能力就成为公民应当具备的基本素养 培养学 生收集信息 分析数据和评价解释数据的能力非 常重要 概率统计是我国新课标的新要求 我们只 关注如何建立图表 但对如何从图表中获取信息 教育重视不够 新加坡的五步框架法值得借鉴 3 数学应用与建模教育中的I C T I C T I n f o r m a t i o nC o m m u n i c a t i o nT e c h n o l o g y 即信息通信技术 新加坡教育部大力提倡信 息技术在课堂教学中的应用 2 0 1 2 版数学教学大 纲新增三大教学原则 其中之一的原则3 就是 教 学应将学习与现实生活相联系 运用I C T 工具 如舳阳 如 如加m O 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第8 期数学通报 2 1 着重发展2 1 世纪能力 教师应考虑为学生提供 I C T 工具以帮助学生学习 I C T 工具能通过形象 化 模拟和再现 帮助学生理解概念 进行数学探 索和实验 运用I C T 工具的能力是2 1 世纪能力 的重要组成部分 中小学数学教学应 创造机会 让学生进行小 组合作学习 运用I C T 工具解决建模问题 I C T 能有效促进数学应用和建模教育 如表示现实问 题 收集和分析数据 展现数学模型和进行复杂计 算等等 以下是三种新加坡开展中小学数学应用 和建模教育常用的I C T 一是计算器 小学数学使用计算器 新加坡教 育界一直持比较谨慎的态度 但这在2 0 0 6 版数学 教学大纲发生了很大改变 即从2 0 0 7 年起 鼓励 学生在五 六年级适当的活动中使用计算器 并指 出使用计算器意味着更加鼓励学生发展高层次思 维 通过数学推理去解决各种数学问题 包括现实 的数学问题和纯粹的数学问题 当学生遇到的数值计算过于复杂超出心算和 笔算的范围 或当需要非常精确的结果时 他们可 以使用计算器 在新加坡 在课堂教学 课外作业 实践活动以及考试中 都允许学生使用计算器 教 育部还鼓励学生用计算器进行探索规律活动 计 算器的使用让学生节约了繁琐计算的时间 从而 把精力集中在问题的思考和探索上 除常见的普通计算器和科学计算器 新加坡 在中小学数学教学中还使用其它针对教学的计算 器 如小学教育计算器 这是一种面向小学高年级 的计算器 比普通计算器功能强但弱于科学计算 器 在分数和小数的转化等方面有出色的表现 可 以帮助学生更好地理解分数和小数 二是计算机软件 计算器的优点是便于携带 相对而言 计算机也较贵 但计算机有它不可取代 的优势 如巨大的记忆容量 彩色显示器 相应的 软件和通信能力 这些功能对数学的应用和建模 非常有用 数学应用通常依赖于数据 建立模型和 验证模型 这也是为什么统计和概率在近年来已 成为学校数学课程的重点 利用信息技术彻底改 变了统计数据的做法 一些通用软件如W o r d P o w e r P o i n t 和E x c e l 由于自身强大的优势已在 中小学数学教学中被普遍应用 一些软件是专为 数学教育而开发的 如几何画板 F a t h o m T i n k e r p l o t s 等 其中T i n k e r p l o t s 尤为出色 是为4 8 年级的学生设计的 T i n k e r p l o t s 提供了强大的从 事数据分析的方法 协助学生更加了解相关数据 去 讲故事 由学生分析自己获得的数据从而找 到自己感兴趣的答案是非常重要的 这也是在课 程中注重应用数学一个重要原因 三是互联网 近年来 互联网已成为最重要的 信息通信技术 也有一些与数学应用 建模教育相 关的网站 上面有一些阅读材料是非常适合学生 学习数学应用和数学建模的 这类网站可为学生 提供最新材料 让学生认识数学是解决现实问题 的一种非常有价值的工具 网上搜索有利于学生 树立一个正确的数学观 数学不仅是书本上呈 现的知识 而是广泛存在于我们生活周围 互联网 是师生沟通交流的重要方式 是学生进行数学应 用和建模的一个非常重要的数据源 互联网存储 着大量的数据 学生可以下载这些数据进行随机 抽样分析 数学应用 建模教育运用I C T 比较典型的是 处理模拟问题 很多出色的应用模拟工具已出现 在互联网上 一些权威网站会提供学生使用模拟 产生数据进行有效分析的例子 如N r i c h 网站提 供的模拟投掷硬币实验及记录有关数据的小程 序 高效率模拟投掷一张光盘 每面不同的颜色 并以一个最佳方式 使用由D I M E 项目开发的记 录板 记录连续的结果 这种情况下 利用I C T 让 学生更易理解事件的随机性 从而估算其概率 利 用互联网的模拟功能 某些因为客观条件无法完 成的数学学科活动可以通过计算机来实现 信息技术是解决数学应用 建模问题的重要 工具 把I C T 作为学生学习数学和解决问题的强 有力工具 使学生乐意并有更多的精力投入到现 实的 探索性的数学活动中去 是新加坡数学教育 的重要特色 我国一些发达地区中小学生已普遍 使用计算器 但电脑软件和互联网在数学教学中 的运用还有待深化 信息技术与数学课程的真正 整合尚需假以时日 4 展望 自2 0 0 6 年加入 应用与建模 后 新加坡中小 学数学老师都在不断适应这一新要求 许多教师 已修改其数学课堂教学方式 逐步探索实现教学 下转第4 2 页 万方数据 4 2 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第8 期 不变的关系 点A 与点P 是椭圆上的两点且关于 中心对称 由圆与椭圆 互化 联想到 圆上关于其 中心 即圆心 对称的两点的连线段为直径 而直径 所对的圆周角是直角 这正是问题生成的 根 有了 根 就可以发 芽 通过以上研究知 道 椭圆与圆可以 互化 而椭圆又是圆锥曲线的 典型 代表 那么直径所对的圆周角是直角 定 角 这个 根 就可以发 芽 对于此 根 我们可 以有不同的解析表述 表述1圆周上任一点P 异于直径端点 与 直径A B 端点的连线P A P B 的斜率 均存在 之 积为一1 定值 表述2过圆上一定点P 任作两条互相垂 直的直线P A P B 分别交圆于A B 则直线A B 过圆心 定点 于是发 芽 得到以下命题 命题2 设A B 是有心圆锥曲线1 1 上关于 其中心对称的两点 若点P 为r 上任一点 异于 A B 则直线P A 与P B 斜率之积k P A 忌P B 斜 率均存在 为定值 命题3设点A B 为平面内两个不同的定 点 点P 为一动点 若直线P A 与P B 斜率之积 k p A 志P B 斜率均存在 为不为零的常数 则点P 的轨迹是有心圆锥曲线 除去点A B 命题4 过圆锥曲线r 上一定点P 任作两 条互相垂直的直线P A P B 分别交r 于A B 则 直线A B 过定点 对于以上三个命题 我们还可以再发 芽 比 如 将命题2 和命题3 中斜率 之积 运算改为斜率 之和 之差 之商 运算 结论又会怎样呢 将 命题4 中 互相垂直 改为 么A P B 6 0 等等 结 论又会怎样呢 若设命题4 中直线P A P B 的斜 率分别为k k 若k k 一t t 为常数 结论又会 怎样呢 若k 是2 一t t 为常数 呢 若惫 k 2 一t 厶 为常数 呢 若 一 为常数 呢 等等 参考文献 1 中华人民共和国教育部 全日制义务教育数学课程标准 实验 稿 s 北京 北京师范大学出版社 2 0 0 1 2 单增主编 普通高中课程标准实验教科书 数学选修2 1 M 南京 江苏教育出版社 2 0 1 3 3 菲利克斯 克莱因 高观点下的初等数学 第二卷 几何 M 上海 复旦大学出版社 2 0 0 8 9 8 3 1 2 2 4 章建跃 中学数学课程论 M 北京 北京师范大学出版社 2 0 1 1 2 9 7 3 1 8 上接第2 1 页 大纲新要求的最佳方式 这也要求教师必须进一 步增强更高层次的数学知识 特别是关于数学应 用与建模的知识 经过几年的探索 新加坡中小学 数学应用与建模教育已取得一定的成果 但也还 存在一些问题 真正的数学建模活动在数学课堂 教学中还未能普遍