广东省清远市高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

广东省清远市2015届高三上学期期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是符合题目要求的）1（5分）图中阴影部分表示的集合是（）au（ab）bu（ab）ca（ub）d（ua）b2（5分）已知a，br，i是虚数单位，若a+bi与2i互为共轭复数，则（a+bi）2=（）a54ib5+4ic34id3+4i3（5分）已知=（a，2），=（1，1a），且，则a=（）a1b2或1c2d24（5分）阅读如图的程序框图，若输入m=2，n=3，则输出a=（）a6b4c3d25（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）ay=x+1by=x2cdy=x|x|6（5分）设平面与平面相交于直线l，直线a在平面内，直线b在平面内，且bl，则“ab”是“”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件7（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为3，则实数b=（）abc1d8（5分）设定义在（0，+）上的函数f（x）=，g（x）=f（x）+a，则当实数a满足2a时，函数y=g（x）的零点个数为（）a1b2c3d4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共30分）（一）必做题（9-13题）9（5分）图中阴影部分的面积等于10（5分）在边长为2的正方形abcd的内部任取一点p，使得点p到正方形abcd各顶点的距离都大于1的概率是11（5分）几何体的三视图如图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为12（5分）已知圆c：x2+y22x+4y=0，直线l：x+y+a=0（a0），圆心到直线l的距离等于，则a的值为13（5分）如图所示，椭圆中心在坐标原点，f为左焦点，当时，该椭圆被称为“黄金椭圆”，其离心率为，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于（二）选做题（考生只能从中选做一题，两题全答的，只计前一题的得分）【几何证明选讲选做题】14（5分）如图，b=d，aebc，acd=90，且ab=6，ac=4，ad=12，则acb=【极坐标和参数方程选做题】15在极坐标系中，点a（2，）与曲线=（r）上的点的最短距离为五、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）16（12分）已知函数f（x）=sinxcosxcos2x（xr）（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设abc的内角a、b、c的对边分别a、b、c，且c=，f（c）=1，求三角形abc的外接圆面积17（12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对2015届高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如图：（1）估计该校学生身高在170185cm之间的概率；（2）从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人，其中身高在185190cm之间的人数记为x，求x的分布列和期望18（14分）在等腰直角bcp中，bc=pc=4，bcp=90，a是边bp的中点，现沿ca把acp折起，使pb=4，如图1所示（1）在三棱锥pabc中，求证：平面pac平面abc；（2）在图1中，过a作bc的平行线ae，ae=2，过e作ac的平行线与过c作ba的平行线交于d，连接pe，pd得到图2，求直线pb与平面pcd所成角的大小19（14分）已知双曲线的焦点为（0，2）和（0，2），离心率为，过双曲线的上支上一点p作双曲线的切线交两条渐近线分别于点a，b（a，b在x轴上方）（1）求双曲线的标准方程；（2）探究是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由20（14分）设数列an的前n项和为sn，且满足a1=2，an+1=2sn+2（n=1，2，3）（1）求a2；（2）求数列an的通项公式；（3）设bn=，求证：b1+b2+bn21（14分）设函数f（x）=aln（1+x），g（x）=ln（1+x）bx（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求函数f（x）的最大值；（2）若b是正实数，求使得关于x的不等式g（x）0在（0，+）上恒成立的b的取值范围；证明：不等式lnn（nn*）广东省清远市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是符合题目要求的）1（5分）图中阴影部分表示的集合是（）au（ab）bu（ab）ca（ub）d（ua）b考点：venn图表达集合的关系及运算 专题：集合分析：根据venn图和集合之间的关系进行判断解答：解：由venn图可知，阴影部分的元素为属于a且不属于b的元素构成，所以用集合表示为a（ub）故选：c点评：本题主要考查venn图表达 集合的关系和运算，比较基础2（5分）已知a，br，i是虚数单位，若a+bi与2i互为共轭复数，则（a+bi）2=（）a54ib5+4ic34id3+4i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出解答：解：a+bi与2i互为共轭复数，a=2，b1=0，解得a=2，b=1（a+bi）2=（2+i）2=3+4i故选：d点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题3（5分）已知=（a，2），=（1，1a），且，则a=（）a1b2或1c2d2考点：平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值即可解答：解：=（a，2），=（1，1a），且，a（1a）（2）1=0，化简得a2a2=0，解得a=2或a=1；a的值是2或1故选：b点评：本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目4（5分）阅读如图的程序框图，若输入m=2，n=3，则输出a=（）a6b4c3d2考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：当a=6时，满足条件“n整除a？”，退出循环，输出a的值为6解答：解：根据流程图所示的顺序，可知：m=2，n=3，i=1，a=2不满足条件“n整除a？”，i=2，a=4不满足条件“n整除a？”，i=3，a=6满足条件“n整除a？”，退出循环，输出a的值为6故选：a点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模5（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）ay=x+1by=x2cdy=x|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 专题：探究型分析：对于a，非奇非偶；对于b，是偶函数；对于c，是奇函数，但不是增函数；对于d，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论解答：解：对于a，非奇非偶，是r上的增函数，不符合题意；对于b，是偶函数，不符合题意；对于c，是奇函数，但不是增函数；对于d，令f（x）=x|x|，f（x）=x|x|=f（x）；f（x）=x|x|=，函数是增函数故选d点评：本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题6（5分）设平面与平面相交于直线l，直线a在平面内，直线b在平面内，且bl，则“ab”是“”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：证明题分析：分析题可知：在题目的前提下，由“ab”不能推得“”，由面面垂直的性质定理可由“”推出“ab”，从而可得答案解答：解：由题意可得=l，a，b，若再满足ab，则不能推得；但若满足，由面面垂直的性质定理可得ab故“ab”是“”的必要不充分条件故选b点评：本题考查充要条件的判断，涉及空间中的线面位置关系，属基础题7（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为3，则实数b=（）abc1d考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，根据z=2x+y的最大值为3，先确定取得最大值时的最优解，即可求出b的值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点a时，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小为3，即2x+y=3由，解得，即a（，），此时点a也在直线y=x+b上即=+b，即b=故选：a点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，先确定最优解以及，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法8（5分）设定义在（0，+）上的函数f（x）=，g（x）=f（x）+a，则当实数a满足2a时，函数y=g（x）的零点个数为（）a1b2c3d4考点：根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用 专题：计算题；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：当0x1时，f（x）=（+2x），分析可知g（x）=f（x）+a有2个零点；当x1时，令x22x+a=0可判断函数y=g（x）有1个零点；从而确定零点的个数即可解答：解：当0x1时，f（x）=（+2x）；故f（x）在（0，上是增函数，f（x）2；f（x）在（，1上是减函数，f（x）2；故当2a时，g（x）=f（x）+a有2个零点；当x1时，令g（x）=f（x）+a=0得，x22x+a=0，=4+4（a）=4（a）0；故方程x22x+a=0有两个不同的根；而对称轴为x=1；故函数y=g（x）有1个零点；综上所述，函数y=g（x）的零点个数为3；故选：c点评：本题考查了分类讨论的思想应用及函数的单调性的判断与应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共30分）（一）必做题（9-13题）9（5分）图中阴影部分的面积等于1考点：定积分 专题：计算题；导数的概念及应用分析：根据题意，所求面积为函数3x2在区间上的定积分值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案解答：解：根据题意，该阴影部分的面积为=x3=（1303）=1故答案为：1点评：本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题10（5分）在边长为2的正方形abcd的内部任取一点p，使得点p到正方形abcd各顶点的距离都大于1的概率是考点：几何概型 专题：概率与统计分析：根据已知条件，求出满足条件的正方形abcd的面积，及动点p到定点a的距离|pa|1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案解答：解：由题意，正方形的面积为22=4，使得点p到正方形abcd各顶点的距离都大于1的p的集合为如图的阴影部分的面积为4，由几何概型的公式点p到正方形abcd各顶点的距离都大于1的概率是得；故答案为：点评：本题考查了几何概型的运用；几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件a的基本事件对应的“几何度量”n（a），再求出总的基本事件对应的“几何度量”n，最后根据公式求值11（5分）几何体的三视图如图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为210考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由几何体的三视图可得几何体是正四棱台，连接bd，bd，过b分别作下底面及bc的垂线交bd于e，bc于f，根据正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，可得ab=3，ab=9，棱台的高为be=4，求出正四棱台的斜高与正四棱台的高，进而根据有关的公式求出几何体的全面积解答：解：正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，ab=3，ab=9，棱台的高为be=4，侧棱bb=，斜高bf=5，全面积s=32+92+4=210，故答案为：210点评：本题借助几何体的三视图考查几何体表面积d计算，考查了学生的空间想象能力与识图，用图能力12（5分）已知圆c：x2+y22x+4y=0，直线l：x+y+a=0（a0），圆心到直线l的距离等于，则a的值为3考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：求出圆心坐标和半径，根据点到直线的距离公式进行求解即可解答：几何概型的概率公式圆的标准方程为（x1）2+（y+2）2=5，则圆心坐标为（1，2），半径r=，则圆心到直线的距离d=，则|a1|=2，解得a=3或a=1（舍），故答案为：3点评：本题主要考查圆心到直线的距离的计算，求出圆的标准方程是解决本题的关键13（5分）如图所示，椭圆中心在坐标原点，f为左焦点，当时，该椭圆被称为“黄金椭圆”，其离心率为，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意可得，fa2=fb2+ba2，把该式转化为关于a，b，c的方程，然后利用c2=b2+a2，可得关于e的二次方程，解出即可解答：解：由题意可得，fa2=fb2+ba2，即（a+c）2=c2+b2+a2+b2，整理得b2=ac，c2a2ac=0两边同除以a2，得0=e2e1，e1e=答案为：点评：本题考查双曲线的简单性质、基本量的求解，属基础题，正确理解新定义是关键（二）选做题（考生只能从中选做一题，两题全答的，只计前一题的得分）【几何证明选讲选做题】14（5分）如图，b=d，aebc，acd=90，且ab=6，ac=4，ad=12，则acb=30考点：相似三角形的性质 专题：计算题；立体几何分析：证明abeadc，可得，=，即可得出结论解答：解：aebc，acd=90，b=d，abeadc，=，ab=6，ac=4，ad=12，=，acb=30，即可得出结论故答案为：30点评：本题考查三角形相似的证明，考查学生分析解决问题的能力，比较基础【极坐标和参数方程选做题】15在极坐标系中，点a（2，）与曲线=（r）上的点的最短距离为1考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出解答：解：点a（2，）化为直角坐标a，即a曲线=（r）化为，即y=x，点a（2，）与曲线=（r）上的点的最短距离d=1故答案为：1点评：本题考查了把极坐标化为直角坐标、点到直线的距离公式，属于基础题五、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）16（12分）已知函数f（x）=sinxcosxcos2x（xr）（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设abc的内角a、b、c的对边分别a、b、c，且c=，f（c）=1，求三角形abc的外接圆面积考点：正弦定理；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域 专题：计算题分析：（i）通过二倍角公式以及两角差的正弦函数化简函数的表达式，借助正弦函数的最值求函数f（x）的最小值，利用周期公式求出函数最小正周期；（ii）利用f（c）=1，求出c，利用正弦定理求出外接圆的直径，然后求出面积解答：解：（i）=xr，1，f（x）=的最小值是1，f（x）=的最小正周期为：t=，故函数的最小正周期是（ii）f（c）=1sin（2c）=1，且02c2，2c=，c=由正弦定理得到：2r=（r为外接圆半径），r=1三角形abc的外接圆面积为s=点评：考查三角恒等变形，正弦定理，解三角形考查计算能力17（12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对2015届高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如图：（1）估计该校学生身高在170185cm之间的概率；（2）从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人，其中身高在185190cm之间的人数记为x，求x的分布列和期望考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）由统计图知，先求出样本中身高在170185 cm之间的学生的人数，再由样本容量，求出样本中学生身高在170185 cm之间的频率，由此能估计该校学生身高在170185 cm之间的概率（2）由题意可知x=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列和期望解答：解：（1）由统计图知，样本中身高在170185 cm之间的学生有14+13+4+3+1=35（人），（2分）样本容量为70，（3分）所以样本中学生身高在170185 cm之间的频率f=0.5（4分）故由f估计该校学生身高在170185 cm之间的概率p1=0.5（5分）（2）由题意可知x=0，1，2，（7分）p（x=0）=，（8分）p（x=1）=，（9分）p（x=2）=，（10分）x的分布列为：x012p（11分）x的期望为ex=（12分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可能事件概率计算公式和排列组合知识、频率分布直方图的合理运用18（14分）在等腰直角bcp中，bc=pc=4，bcp=90，a是边bp的中点，现沿ca把acp折起，使pb=4，如图1所示（1）在三棱锥pabc中，求证：平面pac平面abc；（2）在图1中，过a作bc的平行线ae，ae=2，过e作ac的平行线与过c作ba的平行线交于d，连接pe，pd得到图2，求直线pb与平面pcd所成角的大小考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面pac平面abc；（2）根据线面所成角的定义先求出线面角然后根据三角形的边角关系进行求解即可解答：证明：（1）在三棱锥pabc中，依题意可知：paac，1分pa=ab=，pb=4，pa2+ab2=pb2，2分，则paab，3分又abac=a，则pa平面abc，5分pa平面pac，平面pac平面abc6分（2）由（1）知paab，又abac，paac=a，ab平面pac，7分 abcd，cd平面pac，8分过a作ahpc于h，则cdah，9分又pccd=c，ah平面pcd，10分又abcd，ab平面pcd，ab平面，点a到平面pcd的距离等于点b到平面pcd的距离11分在rtpac中，pa=2，ac=2，pc=4，pc边上的高ah=2，即为点a到平面pcd的距离，12分设直线pb与平面pcd所成角为，则，13分又，所以，即直线pb与平面pcd所成角的大小为； 14点评：本题主要考查空间面面垂直的判定依据直线和平面所成角的求解，考查学生的推理和计算能力19（14分）已知双曲线的焦点为（0，2）和（0，2），离心率为，过双曲线的上支上一点p作双曲线的切线交两条渐近线分别于点a，b（a，b在x轴上方）（1）求双曲线的标准方程；（2）探究是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由考点：双曲线的简单性质 专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）依题意可设双曲线的标准方程为=1（a0，b0），由c=2，=，b2=c2a2，解出a，b，即可得到双曲线方程；（2）是定值2设出直线ab的方程，联立双曲线方程，消去y，由判别式为0，可得k2+b2=3，再由双曲线的渐近线方程和直线ab的方程联立，可得a，b的横坐标之积和纵坐标之积，结合向量的数量积的坐标表示，计算即可得到定值解答：解：（1）依题意可设双曲线的标准方程为=1（a0，b0），c=2，=，b2=c2a2，a=，b=1，双曲线的标准方程为x2=1（2）是定值2，理由如下：设直线ab：y=kx+b（b0），由得（k23）x2+2kbx+b23=0，则k230，=（2kb）24（k23）（b23）=0，解得k2+b2=3，设a（x1，y1），b（x2，y2），则y10，y20，由双曲线渐近线方程：y23x2=0与y=kx+b联立，得 （k23）x2+2kbx+b2=0，则k230，=（2kb）24（k23）b20，则x1x2=1，y1y2=3|x1x2|=3，=x1x2+y1y2=1+3=2点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用判别式和韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题和易错题20（14分）设数列an的前n项和为sn，且满足a1=2，an+1=2sn+2（n=1，2，3）（1）求a2；（2）求数列an的通项公式；（3）设bn=，求证：b1+b2+bn考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知条件利用递推公式能求出a2（2）由an+1=2sn+2，得当n2时，an=2sn1+2，从而an+1=3an（n2），从而得到an是首项为2，公比这3的等比数列，由此能求出an=23n1（3）由an+1=2sn+2，得sn=3n1，从而bn=，由此利用裂项求和法能证明b1+b2+bn解答：（1）解：a1=2，an+1=2sn+2（n=1，2，3），a2=2s1+2=2a1+2=6（2）解：a1=2，an+1=2sn+2（n=1，2，3）当n2时，an=2sn1+2，得an+1=3an（n