广东省深圳市五校高三数学上学期第一次月考试卷 理（含解析）.doc

广东省深圳市五校联考2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知a，br，i是虚数单位，若ai与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）a54ib5+4ic34id3+4i2（5分）设集合a=xr|x1|2，b=yr|y=2x，xr，则ab=（）ab0，3）c（0，3）d（1，3）3（5分）函数f（x）=lnx的零点所在的区间为（）a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（3，4）4（5分）已知=（a，2），=（1，1a），则“a=2”是“”的（）a充要条件b充分而不必要条件c必要而不充分条件d既不充分也不必要条件5（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）abc6d76（5分）在爸爸去哪儿第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务已知：食物投掷地点有远、近两处； 由于grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处则不同的搜寻方案有（）a40种b70种c80种d100种7（5分）已知数列an的首项为a1=1，且满足对任意的nn*，都有an+1an2n，an+2an32n成立，则a2014=（）a220141b22014+1c220151d22015+18（5分）函数f（x）=x3x+sinx，当（0，）时，恒有f（cos2+2msin）+f（2m2）0成立，则实数m的取值范围（）a（，）b（，c（，+）d，+）二、填空题（本大题共7小题，其中第9第13题为必做题，第14第15题为选做题，考生从中任选一题作答，两题均选按第14题给分，每小题5分，总分30分）9（5分）如图是一个算法的程序框图，若输出的结果是31，则判断框中的正整数m的值是10（5分）若二项式（+2）n（nn*）的展开式中的第5项是常数项，则n=11（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为12（5分）已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是若m，n，m、n，则若，=m，n，则mn若m，mn，则n若n，n，=m，那么mn13（5分）如果不等式x2|x1|+a的解集是区间（3，3）的子集，则实数a的取值范围是14（5分）已知在直角坐标系中曲线c1的参数方程为（t为参数且t0），在以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线c2的极坐标方程为=（r），则曲线c1与c2交点的直角坐标为15（5分）如图，pt切圆o于点t，pa交圆o于a、b两点，且与直径ct交于点d，cd=2，ad=3，bd=6，则pb=三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答过程须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）已知f（x）=sin（+x）sin（x）cos2x（0）的最小正周期为t=（1）求f（）的值；（2）在abc中，角a、b、c所对应的边分别为a、b、c，若有（2ac）cosb=bcosc，则求角b的大小以及f（a）的取值范围17（12分）已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个现从中随机取球，每次只取一球（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球x次，求随机变量x的分布列与期望18（14分）正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都为4，d为的cc1中点（1）求证：ab1平面a1bd；（2）求二面角aa1db的余弦值19（14分）已知数列an满足a1=，an=2（n2），sn是数列bn的前n项和，且有=1+bn（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列bn的通项公式；（3）设cn=，记数列cn的前n项和tn，求证：tn120（14分）已知双曲线c：=1（a0，b0），f1、f2分别是它的左、右焦点，a（1，0）是其左顶点，且双曲线的离心率为e=2设过右焦点f2的直线l与双曲线c的右支交于p、q两点，其中点p位于第一象限内（1）求双曲线的方程；（2）若直线ap、aq分别与直线x=交于m、n两点，求证：mf2nf2；（3）是否存在常数，使得pf2a=paf2恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由21（14分）已知函数f（x）=x2alnxx（a0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若a0，设a（x1，y1），b（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点（x1x2），记直线ab的斜率为k，求证：f（）k广东省深圳市五校联考2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知a，br，i是虚数单位，若ai与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）a54ib5+4ic34id3+4i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值解答：解：ai与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：d点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（5分）设集合a=xr|x1|2，b=yr|y=2x，xr，则ab=（）ab0，3）c（0，3）d（1，3）考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出a中不等式的解集确定出a，求出b中y的范围确定出b，找出两集合的交集即可解答：解：由a中不等式变形得：2x12，即1x3，a=（1，3），由b中y=2x0，得到b=（0，+），则ab=（0，3），故选：c点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3（5分）函数f（x）=lnx的零点所在的区间为（）a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（3，4）考点：函数零点的判定定理 专题：计算题；函数的性质及应用分析：紧扣函数零点的判定定理即可解答：解：函数f（x）=lnx在（0，+）上连续，且f（1）=20，f（2）=ln210，f（3）=ln30故选c点评：本题考查了函数零点的判定定理，属于基础题4（5分）已知=（a，2），=（1，1a），则“a=2”是“”的（）a充要条件b充分而不必要条件c必要而不充分条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据向量平行的等价条件，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论解答：解：若，则a（1a）+2=0，即a2a2=0，解得a=2或a=1，则“a=2”是“”的充分不必要条件，故选：b点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量共线的坐标公式是解决本题的关键5（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）abc6d7考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积解答：解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：v正方体2v棱锥侧=故选：a点评：本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状6（5分）在爸爸去哪儿第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务已知：食物投掷地点有远、近两处； 由于grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处则不同的搜寻方案有（）a40种b70种c80种d100种考点：进行简单的合情推理 专题：计算题；推理和证明分析：grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；grace参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，即可得出结论解答：解：grace不参与该项任务，则有=30种；grace参与该项任务，则有=10种，故共有30+10=40种故选：a点评：本题考查进行简单的合情推理，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础7（5分）已知数列an的首项为a1=1，且满足对任意的nn*，都有an+1an2n，an+2an32n成立，则a2014=（）a220141b22014+1c220151d22015+1考点：数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用分析：由an+2an32n，得an+2an+1+an+1an32n，结合an+1an2n得，则得到an+1an2n，进一步得到然后利用累加法求出数列an的通项公式，则答案可求解答：解：由an+2an32n，得an+2an+1+an+1an32n ，且，即 ，+得：an+1an2n，又an+1an2n，an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=2n1+2n2+22+21+1=故选：a点评：本题考查了数列递推式，考查了数列与不等式的综合，训练了累加法求数列的通项公式，由两不等式联立得到是解答该提的关键，是中高档题8（5分）函数f（x）=x3x+sinx，当（0，）时，恒有f（cos2+2msin）+f（2m2）0成立，则实数m的取值范围（）a（，）b（，c（，+）d，+）考点：奇偶性与单调性的综合 专题：综合题；函数的性质及应用分析：确定函数f（x）在（，+）上为减函数，化抽象不等式为具体不等式，分离参数，利用斜率，即可求出实数m的取值范围解答：解：函数f（x）为奇函数且f（x）=3x21+cosx0，所以函数f（x）在（，+）上为减函数，故f（cos2+2msin）+f（2m2）02m（1sin）1sin2，当时，可以视为（sin，sin2），（1，1）两点的直线斜率，而（sin，sin2）在曲线y=x2，x（0，1），可知，故故选：d点评：本题考查函数的图象及其恒成立问题、数形结合思想的应用，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共7小题，其中第9第13题为必做题，第14第15题为选做题，考生从中任选一题作答，两题均选按第14题给分，每小题5分，总分30分）9（5分）如图是一个算法的程序框图，若输出的结果是31，则判断框中的正整数m的值是4考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据程序框图，写出每次循环n，s的取值，判断退出循环的条件，即可确定答案解答：解：根据程序框图，有s=1第1次循环时：n=1，s=3第2次循环时：n=2，s=7第3次循环时：n=3，s=15第4次循环时：n=4，s=31第5次循环时：n=5，此时5m不成立，输出s的值为31故判断框中的正整数m的值是：4即答案为：4点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题10（5分）若二项式（+2）n（nn*）的展开式中的第5项是常数项，则n=6考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：先求出二项式展开式的通项公式，再根据r=4时，x的幂指数等于0，求得n的值解答：解：二项式（+2）n（nn*）的展开式的通项公式为 tr+1=2r，由于第5项是常数项，可得n=0，n=6，故答案为：6点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题11（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为8考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点a时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即a（2，4），代入目标函数z=2x+y得z=22+4=8即目标函数z=2x+y的最大值为8故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法12（5分）已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是若m，n，m、n，则若，=m，n，则mn若m，mn，则n若n，n，=m，那么mn考点：空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解解答：解：若m，n，m、n，则与相交或平行，故错误若，=m，n，则由平面与平面垂直的性质得mn，故正确若m，mn，则n或n，故错误若n，n，=m，那么由直线与平面平行的性质得mn，故正确故答案为：点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养13（5分）如果不等式x2|x1|+a的解集是区间（3，3）的子集，则实数a的取值范围是7，+）考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：将不等式转化为函数，利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论解答：解：不等式x2|x1|+a等价为x2a|x1|，设f（x）=x2a，g（x）=|x1|，则f（x）的对称轴为x=0，g（x）的对称轴为x=1，若不等式x2|x1|+a的解集是区间（3，3）的子集，等价为f（x）g（x）恒成立，即只要满足f（3）g（3）即可，即9a2，解得a7，故答案为：7，+）点评：本题主要考查不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系，转化为函数是解决本题的关键14（5分）已知在直角坐标系中曲线c1的参数方程为（t为参数且t0），在以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线c2的极坐标方程为=（r），则曲线c1与c2交点的直角坐标为（2，2）考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：由曲线c1的参数方程（t为参数且t0），消去参数t可得x2=y+2由曲线c2的极坐标方程为=（r），可得y=x联立解得即可解答：解：由曲线c1的参数方程（t为参数且t0），可得x2=+2=y+2（y0）由曲线c2的极坐标方程为=（r），可得y=x联立，解得x=y=2曲线c1与c2交点的直角坐标为（2，2）故答案为：（2，2）点评：本题考查了把参数方程与极坐标方程化为直角坐标方程，属于基础题15（5分）如图，pt切圆o于点t，pa交圆o于a、b两点，且与直径ct交于点d，cd=2，ad=3，bd=6，则pb=15考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题；压轴题分析：首先根据题中圆的相交弦定理得dt，再依据直角三角形的勾股定理用pb表示出pt，最后结合切割线定理求得一个关于pb线段的方程式，解此方程即可解答：解：如图，由相交弦定理可知，2dt=36dt=9在直角三角形ptd中，由切割线定理可知pt2=pbpa（6+x）292=x（x+9）x=15故填：15点评：此题综合运用了切割线定理、圆的相交弦定理以及与圆有关的直角三角形，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答过程须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）已知f（x）=sin（+x）sin（x）cos2x（0）的最小正周期为t=（1）求f（）的值；（2）在abc中，角a、b、c所对应的边分别为a、b、c，若有（2ac）cosb=bcosc，则求角b的大小以及f（a）的取值范围考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 专题：三角函数的求值分析：（1）先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，然后利用周期公式t=，求的值，进而写出函数f（x）的解析式；求出f（）的值（2）利用正弦定理，求出cosb的值，继而求出b的大小，再根据a为三角形的内角求出a的范围，继而求出f（a）的范围解答：解：（1）f（x）=sin（+x）sin（x）cos2x，=sinxcosxcos2x，=sin2xcos2x，=sin（2x）函数f（x）的最小正周期为t=即：=，得=1，f（x）=sin（2x），f（）=sin（2）=sin=1， （2）（2ac）cosb=bcosc，由正弦定理可得：（2sinasinc）cosb=sinbsinc，2sinacosb=sinbcosc+cosbsinc=sin（b+c）=sina，sina0，cosb=，b（0，），b=，a+c=b=，a（0，），2a（，），sin（2a）（，1，f（a）=sin（2a）（1，点评：本题考查了三角变换及解三角形，第（1）问解决的关键是化成正弦型函数的标准形式；第（2）的关键是把求角的范围转化成先求角的余弦值的范围17（12分）已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个现从中随机取球，每次只取一球（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球x次，求随机变量x的分布列与期望考点：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）记事件ai表示“第i次取到白球”（in*），事件b表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：=+，由此利用对立事件概率计算公式能求出事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率（2）随机变量x的取值分别为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量x的分布列与期望解答：解：（1）记事件ai表示“第i次取到白球”（in*），事件b表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：=+（2分）p（）=p（）+p（）+p（）+p（）+p（）=，（4分）p（b）=1p（）=1=（5分）（2）随机变量x的取值分别为2，3，4，5 （6分）p（x=2）=，p（x=3）=，p（x=4）=，p（x=5）=1=，（10分）随机变量x的分布列为：x2345p（11分）随机变量x的期望为：ex=（12分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题18（14分）正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都为4，d为的cc1中点（1）求证：ab1平面a1bd；（2）求二面角aa1db的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）通过建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积，即可证明ab1平面a1bd；（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角解答：（1）证明：取bc中点o，连接ao，abc为正三角形，aobc，在正三棱柱abca1b1c1中，平面abc平面bcc1b1，ao平面bcc1b1，取b1c1中点为o1，以o为原点，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，ab1面a1bd（2）设平面a1ad的法向量为，令z=1，得为平面a1ad的一个法向量，由（1）知ab1面a1bd，为平面a1ad的法向量，由图可以看出：二面角aa1db是锐角二面角aa1db的余弦值为点评：熟练掌握：通过建立如图所示的空间直角坐标系的方法，利用数量积与垂直的关系证明线面垂直；利用两个平面的法向量的夹角得到二面角19（14分）已知数列an满足a1=，an=2（n2），sn是数列bn的前n项和，且有=1+bn（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列bn的通项公式；（3）设cn=，记数列cn的前n项和tn，求证：tn1考点：数列与不等式的综合 专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列；不等式分析：（1）化简an=2，化出的形式，（2）由an=snsn1化简，得到递推公式，再推通项公式；（3）利用裂项求和法求和证明不等式成立解答：解：（1）证明：，即：数列是以为首项，1为公差的等差数列（2）当n2时，即：；，当n=1时，b1=s1=2，（3）证明：由（1）知：，点评：本题全面考查了数列的相关知识，有等差数列的证明，也用到了通项与前n项之间的普遍关系，同时考查了裂项求和的方法，属于难题20（14分）已知双曲线c：=1（a0，b0），f1、f2分别是它的左、右焦点，a（1，0）是其左顶点，且双曲线的离心率为e=2设过右焦点f2的直线l与双曲线c的右支交于p、q两点，其中点p位于第一象限内（1）求双曲线的方程；（2）若直线ap、aq分别与直线x=交于m、n两点，求证：mf2nf2；（3）是否存在常数，使得pf2a=paf2恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题可知：a=1由于，可得c=2再利用b2=c2a2即可（2）设直线l的方程为：x=ty+2，另设：p（x1，y1）、q（x2，y2）联立，可得根与系数的关系又直线ap的方程为，解得m同理解得n只要证明=0即可（3）当直线l的方程为x=2时，解得p（2，3）易知此时af2p为等腰直角三角形，可得：=2当af2p=2paf2对直线l存在斜率的情形也成立利用正切的倍角公式、斜率计算公式、双曲线的方程、正切函数的单调性即可证明解答：（1）