高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第九节 圆锥曲线的综合问题课件 文.ppt

第九节圆锥曲线的综合问题 总纲目录 考点突破 考点二圆锥曲线中的定义 定值问题 考点一圆锥曲线中的范围 最值问题 考点三圆锥曲线中的探索性问题 考点一圆锥曲线中的范围 最值问题 典例1 2017山西太原模拟 已知椭圆m 1 a 0 的一个焦点为f 1 0 左 右顶点分别为a b 经过点f的直线l与椭圆m交于c d两点 1 当直线l的倾斜角为45 时 求线段cd的长 2 记 abd与 abc的面积分别为s1和s2 求 s1 s2 的最大值 考点突破 解析 1 由题意知c 1 b2 3 所以a2 4 所以椭圆m的方程为 1 易求得直线方程为y x 1 联立方程 得消去y 得7x2 8x 8 0 288 0 设c x1 y1 d x2 y2 所以x1 x2 x1x2 所以 cd x1 x2 2 当直线l的斜率不存在时 直线方程为x 1 此时 abd与 abc的面积相等 s1 s2 0 当直线l的斜率存在时 设直线方程为y k x 1 k 0 方法技巧圆锥曲线中的最值 范围 问题类型较多 解法灵活多变 但总体上主要有两种方法 一是几何法 即通过利用曲线的定义 几何性质以及平面几何中的定理 性质等进行求解 二是代数法 即把要求最值 范围 的几何量或代数表达式表示为某个 些 变量的函数 然后利用函数方法 不等式方法等进行求解 1 1 2017云南第一次统一检测 已知椭圆c 1 a b 0 的左 右顶点分别为a b 且长轴长为8 t为椭圆上一点 直线ta tb的斜率之积为 1 求椭圆c的方程 2 设o为原点 过点m 0 2 的动直线与椭圆c交于p q两点 求 的取值范围 解析 1 由题意可知a 4 0 b 4 0 设t x y 则直线ta的斜率为k1 直线tb的斜率为k2 于是由k1k2 得 整理得 1 2 当直线pq的斜率存在时 设直线pq的方程为y kx 2 点p q的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 由消去y 得 4k2 3 x2 16kx 32 0 由根与系数的关系知x1 x2 x1x2 从而 x1x2 y1y2 x1x2 y1 2 y2 2 2 1 k2 x1x2 2k x1 x2 4 20 因为k2 0 所以 20 当直线pq的斜率不存在时 的值为 20 综上所述 的取值范围为 典例2 2017课标全国 20 12分 设o为坐标原点 动点m在椭圆c y2 1上 过m作x轴的垂线 垂足为n 点p满足 1 求点p的轨迹方程 2 设点q在直线x 3上 且 1 证明 过点p且垂直于oq的直线l过c的左焦点f 考点二圆锥曲线中的定义 定值问题 解析 1 设p x y m x0 y0 则n x0 0 x x0 y 0 y0 由 得x0 x y0 y 因为m x0 y0 在c上 所以 1 因此点p的轨迹方程为x2 y2 2 2 证明 由题意知f 1 0 设q 3 t p m n 则 3 t 1 m n 3 3m tn m n 3 m t n 由 1得 3m m2 tn n2 1 又由 1 知m2 n2 2 故3 3m tn 0 所以 0 即 又过点p存在唯一直线垂直于oq 所以过点p且垂直于oq的直线l过c的左焦点f 1 定点问题的常见解法 1 根据题意选择参数 建立一个含参数的直线系或曲线系方程 经过分析 整理 对方程进行等价变形 以找出适合方程且与参数无关的坐标 该坐标对应的点即为所求定点 2 从特殊位置入手 找出定点 再证明该点符合题意 方法技巧 2 求定值问题常见的方法 1 从特殊情况入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 2 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 2 1 2017陕西宝鸡质量检测 一 已知椭圆c 1 a b 0 经过 1 1 与两点 1 求椭圆c的方程 2 过原点的直线l与椭圆c交于a b两点 椭圆c上一点m满足 ma mb 求证 为定值 解析 1 将 1 1 与两点代入椭圆c的方程 得解得 椭圆c的方程为 1 2 证明 由 ma mb 知m在线段ab的垂直平分线上 由椭圆的对称性知a b关于原点对称 若点a b是椭圆的短轴顶点 则点m是椭圆的一个长轴顶点 此时 2 2 同理 若点a b是椭圆的长轴顶点 则点m是椭圆的一个短轴顶点 此时 2 2 若点a b m不是椭圆的顶点 设直线l的方程为y kx k 0 则直线om的方程为y x 设a x1 y1 b x1 y1 由解得 oa 2 ob 2 同理 om 2 2 2 故 2为定值 典例3 2015课标全国 20 12分 在直角坐标系xoy中 曲线c y 与直线l y kx a a 0 交于m n两点 1 当k 0时 分别求c在点m和n处的切线方程 2 y轴上是否存在点p 使得当k变动时 总有 opm opn 说明理由 考点三圆锥曲线中的探索性问题 解析 1 由题设可得m 2 a n 2 a 或m 2 a n 2 a 又y 故y 在x 2处的导数值为 c在点 2 a 处的切线方程为y a x 2 即x y a 0 y 在x 2处的导数值为 c在点 2 a 处的切线方程为y a x 2 即x y a 0 故所求切线方程为x y a 0和x y a 0 2 存在符合题意的点 证明如下 设p 0 b 为符合题意的点 m x1 y1 n x2 y2 直线pm pn的斜率分别为k1 k2 将y kx a代入c的方程得x2 4kx 4a 0 故x1 x2 4k x1x2 4a 从而k1 k2 当b a时 有k1 k2 0 则直线pm的倾斜角与直线pn的倾斜角互补 故 opm opn 所以点p 0 a 符合题意 规律总结解决探索性问题的注意事项探索性问题 先假设存在 推证满足条件的结论 若结论正确则存在 若结论不正确则不存在 1 当条件和结论不唯一时要分类讨论 2 当给出结论而要推导出存在的条件时 先假设成立 再推出条件 3 当条件和结论都不知 按常规方法解题很难时 要开放思维 采取合适的方法解题 3 1在平面直角坐标系xoy中 经过点 0 且斜率为k的直线l与椭圆 y2 1有两个不同的交点p和q 1 求k的取值范围 2 设椭圆与x轴正半轴 y轴正半轴的交点分别为a b 是否存在常数k 使得向量 与共线 如果存在 求k的值 如果不存在 请说明理由 解析 1 由已知条件知 直线l的方程为y kx 代入椭圆方程得 kx 2 1 整理得x2 2kx 1 0 直线l与椭圆有两个不同的交点p和q等价于 8k2 4 4k2 2 0 解得k 即k的取值范围为 2 不存在 理由如下