高中数学竞赛辅导讲义第七讲 解三角形【讲义】.pdf

第七章第七章 解三角形解三角形 一 基础知识 在本章中约定用 A B C 分别表示 ABC 的三个内角 a b c 分别表示它们所对的各边长 2 cba p 为半周长 1 正弦定理 C c B b A a sinsinsin 2R R 为 ABC 外接圆半径 推论 1 ABC 的面积为 S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 BcaAbcCab 推论 2 在 ABC 中 有 bcosC ccosB a 推论 3 在 ABC 中 A B 解 a 满足 sin sina b a a 则 a A 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到 这里不再给出 下证 推论 先证推论 1 由正弦函数定义 BC 边上的高为 bsinC 所以 S ABC Cabsin 2 1 再证推论 2 因为 B C A 所以 sin B C sinA 即 sinBcosC cosBsinC sinA 两边同乘以 2R 得 bcosC ccosB a 再 证 推论 3 由 正 弦 定 理 B b A a sinsin 所 以 sin sin sin sin A a A a 即 sinasin A sin a sinA 等价于 2 1 cos A a cos A a 2 1 cos a A cos a A 等价于 cos A a cos a A 因为 0 A a a A 所以只有 A a a A 所以 a A 得证 2 余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA bc acb A 2 cos 222 下面用余 弦定理证明几个常用的结论 1 斯特瓦特定理 在 ABC 中 D 是 BC 边上任意一点 BD p DC q 则 AD2 22 pq qp qcpb 1 证明 因为 c2 AB2 AD2 BD2 2AD BDcosADB 所以 c2 AD2 p2 2AD pcos ADB 同理 b2 AD2 q2 2AD qcosADC 因为 ADB ADC 所以 cos ADB cos ADC 0 所以 q p 得 qc 2 pb2 p q AD2 pq p q 即 AD2 22 pq qp qcpb 注 在 1 式中 若 p q 则为中线长公式 2 22 222 acb AD 2 海伦公式 因为 4 1 2 ABC Sb 2c2sin2A 4 1 b 2c2 1 cos2A 4 1 b 2c2 16 1 4 1 22 2222 cb acb b c 2 a 2 a2 b c 2 p p a p b p c 这里 2 cba p 所以 S ABC cpbpapp 二 方法与例题 1 面积法 例 1 共线关系的张角公式 如图所示 从 O 点发出的三条射 线满足 QORPOQ 另外 OP OQ OR 的长分别为 u w v 这里 0 则 P Q R 的共线的充要条件是 sin sinsin wvu 证明 P Q R 共线 ORQOPQOPR PQR SSSS 0 sin 2 1 uv 2 1 uwsin 2 1 vwsin vuw sinsin sin 得证 2 正弦定理的应用 例2 如 图 所 示 ABC内 有 一 点P 使 得 BPC BAC CPA CBA APB ACB 求证 AP BC BP CA CP AB 证明 过点 P 作 PD BC PE AC PF AB 垂足分别为 D E F 则 P D C E P E A F P D B F 三组四点共 圆 所以 EDF PDE PDF PCA PBA BPC BAC 由题 设及 BPC CPA APB 3600可得 BAC CBA ACB 1800 所以 BPC BAC CPA CBA APB ACB 600 所以 EDF 600 同理 DEF 600 所以 DEF 是正三角形 所以DE EF DF 由正弦定理 CDsin ACB APsin BAC BPsin ABC 两边同时乘以 ABC 的外 接圆直径 2R 得 CP BA AP BC BP AC 得证 例 3 如图所示 ABC 的各边分别与两圆 O1 O2相切 直 线 GF 与 DE 交于 P 求证 PA BC 证明 延长 PA 交 GD 于 M 因为 O1G BC O2D BC 所以只需证 2 1 AE AF AO AO MD GM 由正弦定理 sin 2sin sin 1sin AEPAAFAP 所以 sin sin 2sin 1sin AF AE 另一方面 2sinsin 1sinsin PMMDPMGM 所以 sin sin 1sin 2sin MD GM 所以 AE AF MD GM 所以 PA O1G 即 PA BC 得证 3 一个常用的代换 在 ABC 中 记点 A B C 到内切圆的 切线长分别为 x y z 则 a y z b z x c x y 例 4 在 ABC 中 求证 a2 b c a b2 c a b c2 a b c 3abc 证明 令 a y z b z x c x y 则 abc x y y z z x zxyzxy 8 8xyz b c a a c b a b c a2 b c a b2 c a b c2 a b c 2abc 所以 a2 b c a b2 c a b c2 a b c 3abc 4 三角换元 例 5 设 a b c R 且 abc a c b 试求 1 3 1 2 1 2 222 cba P 的最大值 解 由题设 b ac ca 1 令 a tan c tan b tan 则 tan tan P 2sin sin 2 3cos2 3 10 3 10 3 1 sin3 2 当且仅当 2 sin 3 1 即 a 4 2 2 2 2 cb时 Pmax 3 10 例 6 在 ABC 中 若 a b c 1 求证 a2 b2 c2 4abc 2 1 证明 设 a sin2 cos2 b cos2 cos2 c sin2 2 0 因为 a b c 为三边长 所以 c a b 从而 4 0 所以 sin2 cos2 cos2 因为 1 a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 所以 a2 b2 c2 4abc 1 2 ab bc ca 2abc 又 ab bc ca 2abc c a b ab 1 2c sin2 cos2 sin2 cos2 cos4 cos2 4 1 1 cos22 1 cos22 cos4 cos2 4 1 4 1 cos2 cos4 cos22 cos4 cos2 4 1 4 1 cos2 cos4 sin4 cos2 4 1 所以 a2 b2 c2 4abcb 是 sinA sinB 的 条件 6 在 ABC 中 sinA cosA 0 tanA sinA1 则 ABC 为 角三 角形 11 三角形有一个角是 600 夹这个角的两边之比是 8 5 内切 圆的面积是 12 求这个三角形的面积 12 已知锐角 ABC 的外心为 D 过 A B D 三点作圆 分别 与AC BC相交于M N两点 求证 MNC的外接圆半径等于 ABD 的外接圆半径 13 已知 ABC 中 sinC BA BA coscos sinsin 试判断其形状 四 高考水平训练题 1 在 ABC 中 若 tanA 2 1 tanB 3 1 且最长边长为 1 则最短 边长为 2 已知 n N 则以 3 5 n 为三边长的钝角三角形有 个 3 已知p q R p q 1 比较大小 psin2A qsin2B pqsin2C 4 在 ABC 中 若 sin2A sin2B sin2C 4sinAsinBsinC 则 ABC 为 角三角形 5 若 A 为 ABC 的内角 比较大小 A A cot 8 cot 3 6 若 ABC 满足 acosA bcosB 则 ABC 的形状为 7 满足 A 600 a 6 b 4 的三角形有 个 8 设 为三角形最小内角 且 acos2 2 sin2 2 cos2 2 asin2 2 a 1 则 a 的取值范围是 9 A B C 是一段笔直公路上的三点 分别在塔 D 的西南方向 正西方向 西偏北 300方向 且 AB BC 1km 求塔与公路 AC 段的 最近距离 10 求方程xyxyyx 11的实数解 11 求证 20 7 20sin 3 1 0 五 联赛一试水平训练题 1 在 ABC 中 b2 ac 则 sinB cosB 的取值范围是 2 在 ABC 中 若 BA CA C B cos2cos cos2cos sin sin 则 ABC 的形状为 3 对任意的 ABC 2 cot 2 cot 2 cot CBA T cotA cotB cotC 则 T 的最大值为 4 在 ABC 中 CB A sinsin 2 sin的最大值为 5 平面上有四个点 A B C D 其中 A B 为定点 AB 3 C D 为动点 且 AD DC BC 1 记 S ABD S S BCD T 则 S2 T2 的取值范围是 6 在 ABC 中 AC BC 0 80 ACB O 为 ABC 的一点 0 10 OAB ABO 300 则 ACO 7 在 ABC 中 A B C 6 则乘积 2 cos 2 sin 2 cos CBA 的最大值为 最小值为 8 在 ABC 中 若 c a 等 于 AC 边 上 的 高 h 则 2 cos 2 sin CAAC 9 如图所示 M N 分别是 ABC 外接圆的弧AB AC 中点 P 为 BC 上的动点 PM 交 AB 于 Q PN 交 AC 于 R ABC 的内心 为 I 求证 Q I R 三点共线 10 如图所示 P Q R 分别是 ABC 的边 BC CA AB 上一 点 且 AQ AR BR BP CQ CP 求证 AB BC CA 2 PQ QR RP 11 在 ABC 外作三个等腰三角形 BFC ADC AEB 使 BF FC CD DA AE EB ADC 2 BAC AEB 2 ABC BFC 2 ACB 并且 AF BD CE 交于一点 试判断 ABC 的形 状 六 联赛二试水平训练题六 联赛二试水平训练题 1 已知等腰 ABC AB AC 一半圆以 BC 的中点为圆心 且 与两腰 AB 和 AC 分别相切于点 D 和 G EF 与半圆相切 交 AB 于 点 E 交 AC 于点 F 过 E 作 AB 的垂线 过 F 作 AC 的垂线 两垂 线相交于 P 作 PQ BC Q 为垂足 求证 sin2 EF PQ 此处 B 2 设四边形 ABCD 的对角线交于点 O 点 M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点 点 H1 H2 不重合 分别是 AOB 与 COD 的垂心 求证 H1H2 MN 3 已知 ABC 其中 BC 上有一点 M 且 ABM 与 ACM 的 内切圆大小相等 求证 aPPAM 此处 2 1 P a b c a b c 分 别为 ABC 对应三边之长 4 已 知 凸 五 边 形 ABCDE 其 中 ABC AED 900 BAC EAD BD 与 CE 交于点 O 求证 AO BE 5 已知等腰梯形 ABCD G 是对角线 BD 与 AC 的交点 过点 G 作EF与上 下底平行 点E和F分别在AB和CD上 求证 AFB 900 的充要条件是 AD BC CD 6 AP AQ AR AS 是 同 一 个 圆 中 的 四 条 弦 已 知 PAQ QAR RAS 求证 AR AP AR AQ AQ AS 7 已知一凸四边形的边长依次为 a b c d 外接圆半