高中数学 2.5等比数列前n项和特色训练 新人教A版必修5(1).doc

2.5等比数列前n项和特色训练(一)一、等比数列前n项和的计算例1在等比数列an中，s3，s6，求an.分析要求an，需求首项a1，公比q，由条件可列出关于a1和q的两个方程，解方程组即可解：变式训练1在等比数列an中，a1an66，a3an2128，sn126，求n和q.解：二、利用等比数列前n项和的性质解题例2在等比数列an中，已知sn48，s2n60，求s3n.分析可用等比数列前n项和公式求解，也可用等比数列的性质sn，s2nsn，s3ns2n成等比数列求解解：变式训练2等比数列的前n项和为sn，若s1010，s2030，s60630，求s70的值解：三、错位相减法的应用例3求和：snx2x23x3nxn (x0)分析分x1和x1两种情况解：变式训练3求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n项和解2.5等比数列前n项和特色训练(二) 一、等比数列前n项和的证明问题例1设an是由正数组成的等比数列，sn是其前n项和，证明：log0.5sn1.证明：变式训练1已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为sn，s2n，s3n，求证：sssn(s2ns3n)证明二、等比数列前n项和的实际应用例2为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.9100.35.解：变式训练2一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？解三、等差数列、等比数列的综合问题例3设an是等差数列，bnan，已知：b1b2b3，b1b2b3，求等差数列的通项an.解变式训练3在等比数列an中，an0 (nn*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2 an，数列bn的前n项和为sn，当最大时，求n的值2.5等比数列前n项和特色训练(一)参考答案例1 解由已知s62s3，则q1，又s3，s6，即得1q39，q2.可求得a1，因此ana1qn12n2.变式训练1解a3an2a1an，a1an128，解方程组得或将代入sn，可得q，由ana1qn1可解得n6.将代入sn，可得q2，由ana1qn1可解得n6.故n6，q或2.例2 解方法一因为s2n2sn，所以q1，由已知得得1qn，即qn.将代入得64，所以s3n6463.方法二因为an为等比数列，所以sn，s2nsn，s3ns2n也成等比数列，所以(s2nsn)2sn(s3ns2n)，所以s3ns2n6063.变式训练2等比数列的前n项和为sn，若s1010，s2030，s60630，求s70的值解设b1s10，b2s20s10，则b7s70s60.因为s10，s20s10，s30s20，s70s60成等比数列，所以b1，b2，b7成等比数列，首项为b110，公比为q2.求得b71026640.由s70s60640，得s701 270.例3 解(1)当x1时，sn123n.(2)当x1时，snx2x23x3nxn，xsnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)snxx2x3xnnxn1nxn1.sn.综上可得sn.变式训练3解(1)当a0时，sn1.(2)当a1时，数列变为1,3,5,7，(2n1)，则snn2.(3)当a1且a0时，有sn13a5a27a3(2n1)an1asna3a25a37a4(2n1)an得snasn12a2a22a32an1(2n1)an，(1a)sn1(2n1)an2(aa2a3a4an1)1(2n1)an21(2n1)an，又1a0，sn.综上，sn.2.5等比数列前n项和特色训练(二)参考答案例1证明设an的公比为q，由题设知a10，q0，当q1时，snna1，从而snsn2sna1(n2)a1(n1)2aa0.当q1时，sn，从而snsn2saqn0.综上知，snsn2log0.5s.即log0.5sn1.变式训练1证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，则snna1，s2n2na1，s3n3na1，ssn2a4n2a5n2a，sn(s2ns3n)na1(2na13na1)5n2a，sssn(s2ns3n)当q1时，则sn(1qn)，s2n(1q2n)，s3n(1q3n)，ss2(1qn)2(1q2n)22(1qn)2(22qnq2n)又sn(s2ns3n)2(1qn)2(22qnq2n)，sssn(s2ns3n)方法二根据等比数列性质，有s2nsnqnsnsn(1qn)，s3nsnqnsnq2nsn，ssssn(1qn)2s(22qnq2n)，sn(s2ns3n)s(22qnq2n)sssn(s2ns3n)例2解(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1a，公比q110%0.9，ana0.9n1 (n1)(2)10年的出口总量s1010a(10.910)s1080，10a(10.910)80，即a，a12.3.故2010年最多出口12.3吨变式训练2解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an1an，因此，数列an是首项a125，公比q的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度为：sna1a2an125125.故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.例3解设等差数列an的公差为d，则an1and.数列bn是等比数列，公比qd.b1b2b3b，b2.，解得或.当时，q216，q4(q40，a3a55.又a3与a5的