2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义 44 三角.doc

4.4三角函数的图像和性质1 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2的图像中，五个关键点：(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2的图像中，五个关键点：(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)2 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质函数ysin xycos xytan x图像定义域RRx|xR且xk，kZ值域1,11,1R单调性2k，2k(kZ)上递增；2k，2k(kZ)上递减2k，2k(kZ)上递增；2k，2k(kZ)上递减(k，k)(kZ)上递增最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kZ)(k，0) (kZ)(，0)(kZ)对称轴方程xk(kZ)xk(kZ)周期221 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)常数函数f(x)a是周期函数，它没有最小正周期()(2)ysin x在x0，上是增函数()(3)ycos x在第一、二象限上是减函数()(4)ytan x在整个定义域上是增函数()(5)yksin x1(xR)，则ymaxk1.()(6)若sin x，则x.()2 (2012福建)函数f(x)sin的图像的一条对称轴是()Ax Bx Cx Dx答案C解析方法一正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点，故令xk，kZ，xk，kZ.取k1，则x.方法二用验证法x时，ysin0，不合题意，排除A；x时，ysin，不合题意，排除B；x时，ysin1，符合题意，C项正确；x时，ysin，不合题意，故D项也不正确3 已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数，若f(x)对xR恒成立，且ffCf(x)是奇函数Df(x)的单调递增区间是(kZ)答案D解析f(x)对xR恒成立，2k，kZ，k，kZ.ff()，sin()sin 0.2k，kZ.不妨取，fsin 20，A错；fsinsin sin 0，B错；f(x)f(x)，C错；2k2x2k，kZ，kxk，kZ，D对故选D.4 (2013湖北)将函数ycos xsin x(xR) 的图像向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是()A. B. C. D.答案B解析ycos xsin x2sin(x)向左平移m个单位长度后得到y2sin(xm)，它关于y轴对称可得sin(m)1，mk，kZ，mk，kZ，m0，m的最小值为.5 设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _.答案解析由f(x)sin x2cos x可得f(x)sin(x)，其中tan 2，当x2k(kZ)时函数f(x)取得最大值，所以cos cossin .题型一求三角函数的定义域和最值例1(1)(2012山东)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2 B0C1 D1(2)函数y的定义域为_思维启迪求函数的定义域可利用三角函数的图像或数轴；求函数最值或值域时要利用图像、三角变换、二次函数等知识答案(1)A(2)x|xk且xk，kZ解析(1)利用三角函数的性质先求出函数的最值0x9，x，sin.y，ymaxymin2.(2)要使函数有意义，必须有，即故函数的定义域为x|xk且xk，kZ思维升华(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)(1)函数ylg(sin x)的定义域为_(2)函数ysin2xsin x1的值域为()A1,1 B，1C，1 D1，答案(1)x|2kx2k，kZ(2)C解析(1)要使函数有意义必须有即解得(kZ)，2kx2k，kZ，函数的定义域为x|2k0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为()A(，0) B(0,0)C(，0) D(，0)(2)设函数ysin(x)(0，(，)的最小正周期为，且其图像关于直线x对称，则在下面四个结论：图像关于点(，0)对称；图像关于点(，0)对称；在0，上是增函数；在，0上是增函数中，所有正确结论的编号为_答案(1)C(2)解析(1)由条件得f(x)sin(ax)，又函数的最小正周期为1，故1，a2，故f(x)sin(2x)将x代入得函数值为0.(2)T，2.又2k(kZ)，k(kZ)(，)，ysin(2x)，由图像及性质可知正确三角函数的单调性、对称性典例：(20分)(1)已知0，函数f(x)sin(x)在(，)上单调递减，则的取值范围是()A， B，C(0， D(0,2(2)已知函数f(x)2cos(x)b对任意实数x有f(x)f(x)成立，且f()1，则实数b的值为()A1 B3 C1或3 D3(3)(2012课标全国)已知0,00且|)在区间，上单调递减，且函数值从1减小到1，那么此函数图像与y轴交点的纵坐标为()A. B. C. D.思维启迪(1)(，)为函数f(x)某个单调减区间的子集；(2)由f(x)f(x)可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)f(x)sin(x)图像相邻两条对称轴之间的距离是；(4)可结合图像分析函数的单调性，周期性确定，.解析(1)由x得x，由题意知(，)，故选A.(2)由f(x)f(x)可知函数f(x)2cos(x)b关于直线x对称，又函数f(x)在对称轴处取得最值，故2b1，b1或b3.(3)利用三角函数的对称轴求得周期由题意得周期T22，2，即1，f(x)sin(x)，fsin1，0，0)的形式2 函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.3 对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysin t的性质失误与防范1 闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2 要注意求函数yAsin(x)的单调区间时的符号，尽量化成0时情况A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 下列函数中，周期为且在0，上是减函数的是()Aysin(x) Bycos(x)Cysin 2x Dycos 2x答案D解析对于函数ycos 2x，T，当x0，时，2x0，ycos 2x是减函数2 (2012湖南)函数f(x)sin xcos的值域为()A2,2 B，C1,1 D.答案B解析将函数化为yAsin(x)的形式后求解f(x)sin xcossin xcos xcos sin xsin sin xcos xsin xsin(xR)，f(x)的值域为，3 (2013浙江)已知函数f(x)Acos(x)(A0，0，R)，则“f(x)是奇函数”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析f(x)AcosAsin x为奇函数，“f(x)是奇函数”是“”的必要条件又f(x)Acos(x)是奇函数f(0)0k(kZ)D/.“f(x)是奇函数”不是“”的充分条件4 函数ycos 2xsin2x，xR的值域是()A0,1 B，1 C1,2 D0,2答案A解析ycos 2xsin2xcos 2x.cos 2x1,1，y0,15 (2012天津)将函数f(x)sin x(其中0)的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是()A. B1 C. D2答案D解析根据题意平移后函数的解析式为ysin ，将代入得sin 0，则2k，kZ，且0，故的最小值为2.二、填空题6 函数ycos(2x)的单调减区间为_答案k，k(kZ)解析由ycos(2x)cos(2x)得2k2x2k(kZ)，故kxk(kZ)所以函数的单调减区间为k，k(kZ)7 函数ysin x的定义域为a，b，值域为1，则ba的最大值为_答案解析由正弦函数的图像知(ba)max.8 已知函数f(x)Atan(x)(0，|)，yf(x)的部分图像如图，则f()_.答案解析由题中图像可知，此正切函数的半周期等于，即最小正周期为，所以2.由题意可知，图像过定点(，0)，所以0Atan(2)，即k(kZ)，所以k(kZ)，又|，所以.又图像过定点(0,1)，所以A1.综上可知，f(x)tan(2x)，故有f()tan(2)tan .三、解答题9 设函数f(x)sin (0)，yf(x)图像的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调增区间解(1)令2k，kZ，k，kZ，又0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间解(1)x，2x.sin，2asin2