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文档简介
111 正弦定理学习目标1掌握正弦定理的推导过程;2理解正弦定理在讨论三角形边角关系时的作用;3能应用正弦定理解斜三角形要点精讲1正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,即= =2r(r为abc外接圆半径)(1)直角三角形中:sina= ,sinb=, sinc=1 即c=, c= , c= =(2)斜三角形中 证明一:(等积法)在任意斜abc当中sabc= 两边同除以即得:=证明二:(外接圆法)如图所示,同理 =2r,2r证明三:(向量法)过a作单位向量垂直于由+= 两边同乘以单位向量 得 (+)=则+=|cos90+|cos(90-c)=|cos(90-a) =同理,若过c作垂直于得: = =2正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题: (1)两角和任意一边,求其它两边和一角;(2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角3中,已知及锐角,则、满足什么关系时,三角形无解,有一解,有两解?(见图示):若a为锐角时:若a为直角或钝角时:范例分析例1(1)已知下列三角形的两边及其一边对角,先判断三角形是否有解?有解的作出解答。; ; 。(2)在中, 若有两解, 则的取值范围为 ( )、 、 、 、例2(1)在abc中,已知,求的值;(2)在abc中,已知,求的值。例3(1)在abc中,已知ab=l,c=50,当b多大时,bc的长取得最大值.?(2)abc的三个角满足ab1; 不存在10解:(1),由得 ,由得 (2),(3),bdca图1
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