高考数学一轮复习 第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和课件 理.ppt

第二节等差数列及其前n项和 总纲目录 教材研读 1 等差数列的有关概念 考点突破 2 等差数列的有关公式 3 等差数列的常用性质 考点二等差数列的判断与证明 考点一等差数列的基本运算 考点三等差数列的性质及最值 教材研读 1 等差数列的有关概念 1 定义 如果一个数列从 第2项起 每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 符号表示为 an 1 an d n n d为常数 2 等差中项 数列a a b成等差数列的充要条件是 a 其中a叫做a b的 等差中项 2 等差数列的有关公式 1 通项公式 an a1 n 1 d 2 前n项和公式 sn na1 d 3 等差数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m d n m n 2 若 an 为等差数列 且k l m n k l m n n 则 ak al am an 3 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为2d 4 若 an bn 项数相同 是等差数列 则 pan qbn p q r 也是等差数列 5 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m n 是公差为md的等差数列 1 2017北京房山一模 2 已知 an 为等差数列 sn为其前n项和 若a1 2 s3 15 则a6 a 17b 14c 13d 3 a 答案a s3 3a2 15 a2 5 又 a1 2 d 3 a6 a1 5d 17 故选a 2 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 a 100b 99c 98d 97 c 答案c设 an 的公差为d 由等差数列前n项和公式及通项公式 得解得an a1 n 1 d n 2 a100 100 2 98 故选c 3 设等差数列 an 的前n项和为sn 若a3 a9 4 则s11等于 a 12b 18c 22d 44 c 答案c a3 a9 2a6 4 a6 2 则s11 11a6 22 故选c 4 数列 an 为等差数列 满足a2 a4 a20 10 则数列 an 的前21项和等于 a b 21c 42d 84 b 答案b a2 a4 a20 10 10 即a2 a20 2 s21 21 故选b 5 2016北京 12 5分 已知 an 为等差数列 sn为其前n项和 若a1 6 a3 a5 0 则s6 6 答案6 解析设等差数列 an 的公差为d a1 6 a3 a5 0 6 2d 6 4d 0 d 2 s6 6 6 2 6 6 2017北京东城一模 11 已知 an 为等差数列 sn为其前n项和 若s3 12 a2 a4 4 则s6 6 答案6 解析由题意知 s6 6 6 2 6 考点一等差数列的基本运算 考点突破 典例1 1 记sn为等差数列 an 的前n项和 若a4 a5 24 s6 48 则 an 的公差为 a 1b 2c 4d 8 2 等差数列 an 中 am ak m k 则该数列前mk项之和为 a 1b c d 1 答案 1 c 2 c 解析 1 等差数列 an 中 s6 48 则a1 a6 16 a2 a5 又a4 a5 24 所以a4 a2 2d 24 16 8 得d 4 故选c 2 设等差数列 an 的公差为d 由等差数列的性质及已知条件得d a1 m 1 d am a1 m 1 amk mk 1 1 该数列前mk项之和smk mk 方法技巧解决等差数列运算问题的思想方法 1 方程思想 等差数列的基本量为首项a1和公差d 通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程 组 求解 2 整体思想 当所给条件只有一个时 可将已知和所求都用a1 d表示 寻求两者间的联系 整体代换即可求解 3 利用性质 运用等差数列性质可以化繁为简 优化解题过程 1 1 2018北京海淀高三期末 10 已知公差为1的等差数列 an 中 a1 a2 a4成等比数列 则 an 的前100项的和为5050 答案5050 解析 a1 a2 a4成等比数列 a1 a4 即 a1 1 2 a1 a1 3 解得a1 1 s100 100 1 1 5050 1 2 2017北京朝阳一模 11 已知 an 为等差数列 sn为其前n项和 若s6 51 a1 a9 26 则数列 an 的公差d 3 通项公式为an 3n 2 答案3 3n 2 解析由题意知 an 1 3 n 1 3n 2 典例2已知数列 an 的前n项和sn n 1 2 3 1 求a1的值 2 求证 n 2 an 1 n 1 an 1 n 2 3 判断数列 an 是否为等差数列 并说明理由 考点二等差数列的判断与证明 解析 1 由题意知s1 即a1 解得a1 1 2 证明 因为sn n 1 2 3 所以sn 1 n 2 因为an sn sn 1 n 2 所以an n 2 即 n 2 an 1 n 1 an 1 n 2 3 数列 an 是等差数列 理由如下 由题意知sn 2 n 3 所以an 1 sn 1 sn 2 n 3 结合 2 可得an an 1 n 3 即 n 2 an 2 n 2 an 1 n 2 an 2 0 n 3 因为n 3 所以an 2an 1 an 2 0 n 3 即an an 1 an 1 an 2 n 3 所以数列 an 是以1为首项 a2 1为公差的等差数列 方法技巧 1 等差数列的识别依据 1 若数列 an 是等差数列 则数列 an b 仍为等差数列 公差为 d 2 若 bn an 项数相同 都是等差数列 则 an bn 仍为等差数列 3 an pn q p q为常数 an 是等差数列 4 数列 an 的前n项和sn an2 bn a b为常数 an 是等差数列 2 证明等差数列的两种基本方法 1 定义法 证明an an 1 d n 2 d为常数 2 等差中项法 证明2an an 1 an 1 n 2 2 1在数列 an 中 a1 1 3anan 1 an an 1 0 n 2 1 证明 数列是等差数列 2 求数列 an 的通项公式 解析 1 证明 3anan 1 an an 1 0 n 2 3anan 1 an 1 an 3 3 n 2 又 1 数列是以1为首项 3为公差的等差数列 2 由 1 可得 1 3 n 1 3n 2 an n n 典例3 1 在等差数列 an 中 a1 29 s10 s20 则数列 an 的前n项和中最大的为 a s15b s16c s15和s16d s17 2 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知前6项和为36 最后6项的和为180 sn 324 n 6 则n 3 等差数列 an 的前m项和为30 前3m项和为90 则它的前2m项和为 考点三等差数列的性质及最值 解析 1 s10 s20 10a1 d 20a1 d 又a1 29 d 2 sn 29n 2 n2 30n n 15 2 225 当n 15时 sn取得最大值 2 由题意知a1 a2 a6 36 an an 1 an 2 an 5 180 得 a1 an a2 an 1 a6 an 5 6 a1 an 216 a1 an 36 又sn 324 18n 324 n 18 3 由sm s2m sm s3m s2m成等差数列 可得2 s2m sm sm s3m s2m 即s2m 60 答案 1 a 2 18 3 60 方法技巧 1 等差数列和的性质 1 s2n n a1 a2n n an an 1 2 s2n 1 2n 1 an 3 当项数为偶数2n时 s偶 s奇 nd 项数为奇数2n 1时 s奇 s偶 an s奇 s偶 n n 1 2 求等差数列前n项和sn最值的两种方法 1 函数法 等差数列前n项和sn an2 bn 通过配方 借助求二次函数最值的方法求解 2 邻项变号法 a1 0 d0时 满足的项数m使得sn取得最小值sm 3 1设sn是等差数列 an 的前n项和 若 则 a 1b 1c 2d 答案a 1 a 3 2 2014北京 12 5分 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 则当n 8时 an 的前n项和最大 答案8 解析根据题意知a7 a8 a9 3a8 0 即a8 0 又a8 a9 a7 a10 0 a9 0 当n 8时