高考数学一轮复习 第九章 概率与统计 第10讲 用样本估计总体配套课件 理.ppt

第10讲用样本估计总体 1 用样本估计总体 通常我们对总体作出的估计一般分成两种 一种是用样本的频率分布估计总体的分布 另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征 2 统计图 1 频率分布直方图 求极差 极差是一组数据的最大值与最小值的差 决定组距和组数 当样本容量不超过100时 常分成5 12组 组距 将数据分组 通常对组内数值所在区间取左闭右开区间 最后一组取闭区间 也可以将样本数据多取一位小数分组 列频率分布表 登记频数 计算频率 列出频率分布表 将样本数据分成若干个小组 每个小组内的样本个数称作频数 频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率 频率反映各个数据在每组所占比例的大小 绘制频率分布直方图 把横轴分成若干段 每一段对应一个组距 然后以线段为底作一小长方形 它的高等于该组的 频率组距 这样得到一系列的长方形 每个长方形的面积恰好是该 组上的频率 这些矩形就构成了频率分布直方图 各个长方形的 面积总和等于 1 2 频率分布折线图和总体密度曲线 频率分布折线图 连接频率分布直方图中各长方形上端 的中点 就得频率分布折线图 总体密度曲线 随着样本容量的增加 作图时所分的组数增加 组距减小 相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线 在统计中称之为总体密度曲线 3 茎叶图 当样本数据较少时 用茎叶图表示数据的效果较好 它不但可以保留所有信息 而且可以随时记录信息 给数据的记录和表示都带来方便 3 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1 众数 中位数 平均数 众数 在一组数据中 出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 中位数 将一组数据按大小依次排列 把处在 位置的一个数据 或最中间两个数据的平均数 叫做这组数据的 中位数 平均数 样本数据的算术平均数 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 最中间 2 样本方差 标准差 标准差 其中xn是样本数据的第n项 n是样本容量 x是 标准差是反映总体波动大小的特征数 样本方差是标准差的平方 通常用样本方差估计总体方差 当样本容量接近总体容量时 样本方差接近总体方差 平均数 1 2017年江西南昌二模 图9 10 1是一样本的频率分布直 方图 若样本容量为100 则样本数据在 15 20 内的频数是 图9 10 1 a 50 b 40 c 30 d 14 解析 因为 15 20 对应的小矩形的面积为1 0 04 5 0 1 5 0 3 所以样本落在 15 20 的频数为0 3 100 30 故选c 答案 c 2 2015年重庆 重庆市2013年各月的平均气温 单位 数据的茎叶图如图9 10 2 则这组数据中的中位数是 图9 10 2 a 19 b 20 c 21 5 d 23 解析 由茎叶图可知总共12个数据 处在正中间的两个数是第6和第7个数 它们都是20 由中位数的定义可知 其中位数就是20 故选b b 3 2015年广东 已知样本数据x1 x2 xn的均值x 5 则样本数据2x1 1 2x2 1 2xn 1的均值为 11 解析 因为样本数据x1 x2 xn的均值x 5 所以样本数据2x1 1 2x2 1 2xn 1的均值为2x 1 2 5 1 11 4 2016年上海 某次体检 6名同学的身高 单位 米 分别为1 72 1 78 1 75 1 80 1 69 1 77 则这组数据的中位数是 单位 米 1 76 解析 将这6位同学的身高按照从矮到高排列为 1 69 1 72 1 75 1 77 1 78 1 80 这6个数的中位数是1 75与1 77的平均数 显然为1 76 考点1 样本的数字特征 例1 1 2017年新课标 为评估一种农作物的种植效果 选了n块地作试验田 这n块地的亩产量 单位 kg 分别为x1 x2 xn 下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量 稳定程度的是 a x1 x2 xn的平均数b x1 x2 xn的标准差c x1 x2 xn的最大值d x1 x2 xn的中位数 解析 刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差 故选b 答案 b 2 2017年湖南衡阳四中统测 10名工人某天生产同一零件 生产的件数是15 17 14 10 15 17 17 16 14 12 设其平均数为 a 中位数为b 众数为c 则有 a a b cc c a b b b c ad c b a 解析 生产的件数是15 17 14 10 15 17 17 16 14 12 总和 为147 平均数a 14710 14 7 样本数据17出现次数最多 为众数 即c 17 从小到大排列中间2个数的平均数 即中位数b 15 17 15 14 7 c b a 答案 d 3 甲 乙 丙三个班各有20名学生 一次数学考试后 三个班学生的成绩与人数统计如下表 乙班成绩 分数人数 706 804 904 1006 若s1 s2 s3分别表示甲 乙 丙三个班本次考试成绩的标 准差 则 a s2 s1 s3b s2 s3 s1c s1 s2 s3d s3 s1 s2 解析 三个班本次考试成绩的均值都为85 由标准差的几何意义得 标准差越小 数据偏离于均值的平均程度越小 因此s2最大 s3最小 故选a 答案 a 考点2 茎叶图的应用 例2 2014年新课标 某市为了考核甲 乙两部门的工作情况 随机访问了50个市民 根据这50个市民对这两部门的评分 评分越高表明市民的评价越高 绘制茎叶图 如图9 10 3 图9 10 3 1 分别估计该市的市民对甲 乙两部门评分的中位数 2 分别估计该市的市民对甲 乙两部门的评分高于90分的概率 3 根据茎叶图分析该市的市民对甲 乙两部门的评价 解 1 由所给茎叶图知 50位市民对甲部门的评分由小到大排序 排在第25 26位的是75 75 故样本中位数为75 所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75 50位市民对乙部门的评分由小到大排序 排在第25 26位 的是66 68 故样本中位数为 66 682 67 所以该市的市民对乙 部门评分的中位数的估计值是67 2 由所给茎叶图知 50位市民对甲 乙部门的评分高于 90分的比率分别为 550 0 1 850 0 16 故该市的市民对甲 乙部门的评分高于90分的概率的估计值分别为0 1 0 16 3 由所给茎叶图知 市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数 而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差 说明该市市民对甲部门的评价较高 评价较为一致 对乙部门的评价较低 评价差别较大 注 考生利用其他统计量进行分析 结论合理的同样给分 互动探究 1 2017年山东 如图9 10 4所示的茎叶图记录了甲 乙两组各5名工人某日的产量数据 单位 件 若这两组数据的中位 a 数相等 且平均值也相等 则x和y的值分别为 图9 10 4 a 3 5 b 5 5 c 3 7 d 5 7 解析 甲组中位数为65 所以乙组中位数也为65 故y 5 乙组平均数为66 所以56 62 65 74 70 x 66 5 x 3 故选a 2 如图9 10 5所示的茎叶图是甲 乙两位同学在期末考试中的六科成绩 已知甲同学的平均成绩为85 乙同学的六科成 10 绩的众数为84 则x y 图9 10 5 3 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图 如图 a 9 10 6 则这组数据的中位数和平均数分别是 图9 10 6a 91 5和91 5b 91 5和92c 91和91 5d 92和92 考点3 频率分布直方图的绘制及其应用 例3 2014年新课标 从某企业生产的某种产品中抽取100件 测量这些产品的一项质量指标值 由测量结果得如下频数分布表 1 如图9 10 7 在表格中作出这些数据的频率分布直方图 图9 10 7 2 估计这种产品质量指标值的平均数及方差 同一组中的 数据用该组区间的中点值作代表 3 根据以上抽样调查数据 能否认为该企业生产的这种产品符合 质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80 的规定 解 1 频率分布直方图如图d84 图d84 2 质量指标值的样本平均数为 x 80 0 06 90 0 26 100 0 38 110 0 22 120 0 08 100 质量指标值的样本方差为 s2 20 2 0 06 10 2 0 26 0 0 38 102 0 22 202 0 08 104 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100 方差 的估计值为104 3 质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0 38 0 22 0 08 0 68 由于该估计值小于0 8 故不能认为该企业生产的这种产品符合 质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80 的规定 规律方法 用频率分布直方图解决相关问题时 应正确理解图表中各个量的意义 识图掌握信息是解决该类问题的关键 频率分布直方图有以下几个要点 纵轴表示 频率组距 频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比 直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率 所有的小矩形的面积之和等于1 即频率之和为1 互动探究 4 某学校随机抽取20个班 调查各班中有网上购物经历的人数 所得数据的茎叶图如图9 10 8 以组距为5将数据分组成 0 5 5 10 30 35 35 40 时 所作的频率分布直方图 是 图9 10 8 ac bd 解析 根据题意 列频率分布表得 故选a 答案 a 5 2016年宁夏固原模拟 某小区共有1000户居民 现对他们的用电情况进行调查 得到频率分布直方图如图9 10 9 则该小区居民用电量的中位数为 平均数为 图9 10 9 解析 中位数为 150 170 150 0 10 02 20 155 该组数据的平均数为x 0 005 20 120 0 015 20 140 0 020 20 160 0 005 20 180 0 003 20 200 0 002 20 220 156 8 答案 155 156 8 6 2015年江西南昌模拟 某中学为了检验1000名在校高三学生对函数模块掌握的情况 进行了一次测试 并把成绩进行统计 得到的样本频率分布直方图如图9 10 10 则考试成绩的 众数大约为 图9 10 10 a 55 b 65 c 75 d 85 解析 由直方图可得众数大约为 70 802 75 c 难点突破 函数思想在统计中的应用 在高考中常以频率分布直方图或茎叶图的形式出现 考查 统计与概率的知识 这也是近几年高考出题的热点 例题 2016年新课标 某公司计划购买1台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个200元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个500元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱状图9 10 11 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数 y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用 单位 元 n表示购机的同时购买的易损零件数 图9 10 11 1 若n 19 求y与x的函数解析式 2 若要求 需更换的易损零件数不大于n 的频率不小于 0 5 求n的最小值 3 假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件 或每台都购买20个易损零件 分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 以此作为决策依据 购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件 解 1 当x 19时 y 3800 当x 19时 y 3800 500 x 19 500 x 5700 所以y与x的函数解析式为 2 由柱状图知 需更换的零件数不大于18的频率为0 46 不大于19的频率为0 7 故n的最小值为19 3 若每台机器在购机同时都购买19个易损零件 则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800 20台的费用为4300 10台的费用为4800 因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 1100 3800 70 4300 20 4800 10 4000 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件 则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000 10台的费用为4500 因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 1100 4000 90 4500 10 4050 比较两个平均数可知 购买1台机器的同时应购买19个易损零件 规律方法 本题把统计与函