高考数学大一轮复习 第七章 数列与数学归纳法 第5节 直接证明与间接证明(供选用)课件 理.ppt

第5节直接证明与间接证明 供选用 最新考纲1 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考过程和特点 2 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程和特点 1 直接证明 知识梳理 充分 2 间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 反证法是一种常用的间接证明方法 1 反证法的定义 假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明 的证明方法 2 用反证法证明的一般步骤 反设 假设命题的结论不成立 归谬 根据假设进行推理 直到推出矛盾为止 结论 断言假设不成立 从而肯定原命题的结论成立 不成立 原命题成立 常用结论与微点提醒 分析法与综合法相辅相成 对较复杂的问题 常常先从结论进行分析 寻求结论与条件 基础知识之间的关系 找到解决问题的思路 再运用综合法证明 或者在证明时将两种方法交叉使用 诊断自测1 思考辨析 在括号内打 或 1 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充要条件 2 用反证法证明结论 a b 时 应假设 a b 3 反证法是指将结论和条件同时否定 推出矛盾 4 在解决问题时 常用分析法寻找解题的思路与方法 再用综合法展现解决问题的过程 解析 1 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充分条件 2 应假设 a b 3 反证法只否定结论 答案 1 2 3 4 解析a2 b2 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 答案d 3 若a b c为实数 且aab b2 解析a2 ab a a b a0 a2 ab 又ab b2 b a b 0 ab b2 由 得a2 ab b2 答案b 4 用反证法证明命题 设a b为实数 则方程x3 ax b 0至少有一个实根 时 要做的假设是 a 方程x3 ax b 0没有实根b 方程x3 ax b 0至多有一个实根c 方程x3 ax b 0至多有两个实根d 方程x3 ax b 0恰好有两个实根 解析因为 方程x3 ax b 0至少有一个实根 等价于 方程x3 ax b 0的实根的个数大于或等于1 所以要做的假设是 方程x3 ax b 0没有实根 答案a 5 在 abc中 三个内角a b c的对边分别为a b c 且a b c成等差数列 a b c成等比数列 则 abc的形状为 a2 c2 2ac 0 即 a c 2 0 a c 6 2017 绍兴检测 完成反证法证题的全过程 设a1 a2 a7是1 2 7的一个排列 求证 乘积p a1 1 a2 2 a7 7 为偶数 证明 假设p为奇数 则a1 1 a2 2 a7 7均为奇数 因奇数个奇数之和为奇数 故有奇数 0 但0 奇数 这一矛盾说明p为偶数 解析 a1 1 a2 2 a7 7均为奇数 a1 1 a2 2 a7 7 也为奇数 即 a1 a2 a7 1 2 7 为奇数 又 a1 a2 a7是1 2 7的一个排列 a1 a2 a7 1 2 7 故上式为0 奇数 a1 1 a2 2 a7 7 a1 a2 a7 1 2 7 0 答案 a1 1 a2 2 a7 7 a1 a2 a7 1 2 7 考点一综合法的应用 例1 已知a b c 0 a b c 1 求证 规律方法用综合法证题是从已知条件出发 逐步推向结论 综合法的适用范围 1 定义明确的问题 如证明函数的单调性 奇偶性 求证无条件的等式或不等式 2 已知条件明确 并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型 在使用综合法证明时 易出现的错误是因果关系不明确 逻辑表达混乱 训练1 设a b c均为正数 且a b c 1 证明 证明 1 由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac得a2 b2 c2 ab bc ca 由题设知 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 考点二分析法的应用 规律方法 1 逆向思考是用分析法证题的主要思想 通过反推 逐步寻找使结论成立的充分条件 正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 2 证明较复杂的问题时 可以采用两头凑的办法 即通过分析法找出某个与结论等价 或充分 的中间结论 然后通过综合法证明这个中间结论 从而使原命题得证 只需证c b c a a b a b b c 需证c2 a2 ac b2 又 abc三内角a b c成等差数列 故b 60 由余弦定理 得b2 c2 a2 2accos60 即b2 c2 a2 ac 故c2 a2 ac b2成立 于是原等式成立 考点三反证法的应用 规律方法 1 当一个命题的结论是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出现时 可用反证法来证 反证法关键是在正确的推理下得出矛盾 矛盾可以是与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾等 2 用反证法证明不等式要把握三点 必须否定结论 必须从否定结论进行推理 推导出的矛盾必须是明显的 训练3 2017 郑州一中月考 已知a1 a2 a3 a4 100 求证 a1 a2 a3 a4中至少有一个数大于25 证明假设a1 a2 a3 a4均不