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江西省抚州市临川一中2014-201 5学年高二下学期期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1i为虚数单位,若,则|z|=( )a1bcd2考点:复数求模 专题:数系的扩充和复数分析:利用复数模的运算性质,将已知关系式等号两端取模,即可即可求得答案解答:解:,|z|=|,即2|z|=2,|z|=1,故选:a点评:本题考查了复数求模、熟练应用模的运算性质是关键,属于基础题2已知全集u=r,函数f(x)=的定义域为m,则um=( )a(,0b(0,+)c(,0)d,则um=(0,+),故选:b点评:本题主要考查集合的基本运算,根据条件求出定义域是解决本题的关键3下列判断错误的是( )a“x3x210对xr恒成立”的否定是“存在x0r,使得x03x0210”b“am2bm2”是“ab”的充分不必要条件c若n组数据(x1,y1)(xn,yn)的散点都在y=2x+1上,则相关系数r=1d若“pq”为假命题,则p,q均为假命题考点:命题的真假判断与应用 专题:简易逻辑;推理和证明分析:根据全称命题的否定方法,可判断a;根据不等式的基本性质,可判断b;根据相关系数的定义,可判断c;根据复合命题真假判断的真值表,可判断d解答:解:命题“x3x210对xr恒成立”,即“对任意的x0r,都有x3x210”,故它的否定是“存在x0r,使得x03x0210”,故a正确;“am2bm2”时,m20,故“ab”,“ab,m=0”时,“am2bm2”不成立,故“am2bm2”是“ab”的充分不必要条件,故b正确;若n组数据(x1,y1)(xn,yn)的散点都在y=2x+1上,则x,y成负相关,且相关关系最强,此时相关系数r=1,故c正确;若“pq”为假命题,则p,q至少有一个为假命题,但不一定均为假命题,故d错误;故选:d点评:本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,本题综合性强,难度中档4一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为,则h=( )abcd考点:由三视图求面积、体积 专题:计算题分析:三视图复原的几何体是四棱锥,结合三视图的数据利用几何体的体积,求出高h即可解答:解:三视图复原的几何体是底面为边长5,6的矩形,一条侧棱垂直底面高为h,所以四棱锥的体积为:,所以h=故选b点评:本题是基础题,考查三视图与直观图的关系,考查几何体的体积的计算,考查计算能力5已知直线l:xky5=0与圆o:x2+y2=10交于a,b两点且=0,则k=( )a2b2cd考点:平面向量数量积的运算;直线与圆的位置关系 专题:平面向量及应用分析:由题意可得弦长ab对的圆心角等于90,故弦心距等于半径的倍,再利用点到直线的距离公式求得k的值解答:解:由题意可得弦长ab对的圆心角等于90,故弦心距等于半径的倍,等于=,故有=,求得 k=2,故选:b点评:本题主要考查直线和圆相交的性质,弦长公式、点到直线的距离公式的应用,属于基础题6已知等差数列an满足a6+a10=20,则下列选项错误的是( )as15=150ba8=10ca16=20da4+a12=20考点:等差数列的性质 专题:计算题;等差数列与等比数列分析:利用等差数列的通项的性质,可得结论解答:解:s15=(a1+a15)=(a6+a10)=150,即a正确;a6+a10=2a8=20,a8=10,即b正确;a6+a10a16,即c错误a4+a12=a6+a10=20,即d正确故选:c点评:本题考查等差数列的通项的性质,考查学生的计算能力,正确运用等差数列的通项的性质是关键7执行如图所示的程序框图,如果输入的n值是6,那么输出p的值是( )a15b105c120d720考点:程序框图 专题:算法和程序框图分析:根据程序框图和算法,写出kn成立时每次p,k的值,当k=7时,p=105,kn不成立,输出p的值为105解答:解:执行程序框图,则有n=6,k=1,p=1p=1,kn成立,有k=3,p=3,kn成立,有k=5,p=15,kn成立,有k=7,p=105,kn不成立,输出p的值为105故选:b点评:本题主要考察程序框图和算法,属于基础题8(文做)设,那么( )aaabbbabaabbacabbaaadabaaba考点:指数函数的图像与性质 专题:函数的性质及应用分析:根据函数f(x)=为减函数,结合已知可得:0ab1,进而根据函数g(x)=ax为减函数,函数h(x)=xa为增函数,可得答案解答:解:函数f(x)=为减函数,且,0ab1,函数g(x)=ax为减函数,即abaa,函数h(x)=xa为增函数,即aaba,故abaaba,故选:d点评:本题考查的知识点是指数函数的图象与性质,幂函数的图象与性质,熟练掌握指数函数和幂函数的单调性是解答的关键9在abc中,内角a、b、c的对边分别是a、b、c,若c2=(ab)2+6,abc的面积为,则c=( )abcd考点:余弦定理 专题:解三角形分析:由已知和余弦定理可得ab及cosc的方程,再由面积公式可得ab和sinc的方程,由同角三角函数基本关系可解cosc,可得角c解答:解:由题意可得c2=(ab)2+6=a2+b22ab+6,由余弦定理可得c2=a2+b22abcosc,两式联立可得ab(1cosc)=3,再由面积公式可得s=absinc=,ab=,代入ab(1cosc)=3可得sinc=(1cosc),再由sin2c+cos2c=1可得3(1cosc)2+cos2c=1,解得cosc=,或cosc=1(舍去),c(0,),c=,故选:a点评:本题考查余弦定理,涉及三角形的面积公式和三角函数的运算,属中档题10已知函数,若a是从1,2,3三个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( )abcd考点:古典概型及其概率计算公式 专题:计算题;概率与统计分析:由极值的知识结合二次函数可得ab,由分步计数原理可得总的方法种数,列举可得满足题意的事件个数,由概率公式可得解答:解:求导数可得f(x)=x2+2ax+b2,要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根,即=4(a2b2)0,即ab,又a,b的取法共33=9种,其中满足ab的有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2)共6种,故所求的概率为p=故选d点评:本题考查古典概型及其概率公式,涉及函数的极值问题,属基础题11抛物线y2=2x的内接abc的三条边所在直线与抛物线x2=2y均相切,设a,b两点的纵坐标分别是a,b,则c点的纵坐标为( )aa+bbabc2a+2bd2a2b考点:抛物线的简单性质 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程分析:由题意分别设出a(),b(),c()然后由两点坐标分别求得三角形三边所在直线的斜率,由点斜式写出直线方程,和抛物线方程联立,由判别式等于0得到a,b,c所满足的条件,把c用含有a,b的代数式表示得答案解答:解:如图:设a(),b(),c()则,ab所在直线方程为,即联立,得:(b+a)x24x2ab=0则=(4)2+8ab(a+b)=0,即2+ab(a+b)=0同理可得:2+ac(a+c)=0,2+bc(b+c)=0两式作差得: c=ab故选:b点评:本题考查了抛物线的简单几何性质,考查了直线和抛物线相切的条件,考查了运算能力,是中档题12已知函数g(x)=ax2(xe,e为自然对数的底数)与h(x)=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是( )abcd故选b点评:本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围;关键是将已知转化为方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13在abc中,若|=1,|=,|+|=|,=1考点:平面向量数量积的运算 专题:平面向量及应用分析:利用|+|=|=|可知a=90,进而计算可得结论解答:解:|+|=|,+2+=2+,=0,即a=90,又|=1,|=,=2,cosb=,=2|=1,故答案为:1点评:本题考查平面向量数量积的运算,找出a=90是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于基础题14已知a0,x,y满足 若z=2x+y的最小值为1,则a=考点:简单线性规划 专题:计算题;不等式的解法及应用分析:由题意得a0,作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的abc及其内部,再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移,可得当x=1且y=2a时z取得最小值,由此建立关于a的等式,解之即可得到实数a的值解答:解:由题意可得:若可行域不是空集,则直线y=a(x3)的斜率为正数时因此a0,作出不等式组表示的平面区域,得到如图的abc及其内部,其中a(1,2),b(1,2a),c(3,0)设z=f(x,y)=2x+y,将直线l:z=2x+y进行平移,观察x轴上的截距变化,可得当l经过点b时,目标函数z达到最小值z最小值=f(1,2a)=1,即22a=1,解得a=故答案为:点评:本题给出二元一次不等式组,在已知目标函数的最小值情况下求参数a的值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题15函数f(x)=,x的最大值为考点:运用诱导公式化简求值;两角和与差的正弦函数 专题:计算题;三角函数的求值分析:由两角和与差的正弦函数公式化简可得f(x)=,设t=tanx+1,由x,则t=tanx+1,f(x)=,从而可求当t=1时,f(x)min的值解答:解:f(x)=,设t=tanx+1,由x,则t=tanx+1,f(x)=+,当t=1时,f(x)min=故答案为:点评:本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用,正切函数的图象和性质,属于基本知识的考查16若函数f(x)=exmx2定义域为(0,+),值域为由组成方程组,解得x0=2,m=故答案为:点评:本题考查了函数的定义域、值域以及零点的应用问题,也考查了导数的应用问题,是综合性题目三、解答题:本大题共70分,其中(17)-(21)题为必考题,(22)、(23)、(24)题为选考题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17已知正项数列an的前n项和为sn,对任意nn+,有2sn=an2+an(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=,设bn的前n项和为tn,求证:tn1考点:数列的求和;数列递推式 专题:等差数列与等比数列分析:(1)利用2an+1=2sn+12sn整理得an+1an=1,进而计算可得结论;(2)通过分母有理化可知bn=,并项相加即得结论解答:(1)解:2sn=an2+an,2sn+1=an+12+an+1,2an+1=2sn+12sn=(an+12+an+1)(an2+an)=an+12+an+1an2an,整理得:(an+1+an)(an+1an)=an+1+an,an0,an+1an=1,数列是公差为1的等差数列,又2a1=2s1=,a1=1,an=n;(2)证明:an=n,bn=,tn=1+=11点评:本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题18“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目选手面对18号8扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎),选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金在一次场外调查中,发现参赛选手多数分为两个年龄段:2030;3040(单位:岁),其猜对歌曲名称与否的人数如图所示(1)写出22列联表;判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关;说明你的理由;(下面的临界值表供参考)(参考公式:k2=其中n=a+b+c+d)p(k2k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879(2)现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手,并抽取3名幸运选手,求3名幸运选手中至少有一人在2030岁之间的概率考点:独立性检验的应用;频率分布直方图 专题:应用题;概率与统计分析:(1)根据所给的二维条形图得到列联表,利用公式求出k2=32.706,即可得出结论;(2)设事件a为3名幸运选手中至少有一人在2030岁之间,由已知得2030岁之间的人数为2人,3040岁之间的人数为4人,从6人中取3人的结果有20种,事件a的结果有16种,即可求出至少有一人年龄在2030岁之间的概率解答:解:(1)年龄/正误正确错误合计20301030403040107080合计20100120k2=32.706有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关(2)设事件a为3名幸运选手中至少有一人在2030岁之间,由已知得2030岁之间的人数为2人,3040岁之间的人数为4人,从6人中取3人的结果有20种,事件a的结果有16种,p(a)=点评:本题考查独立性检验知识的运用,考查分层抽样,考查概率知识,考查学生分析解决问题的能力,确定基本事件总数是关键19棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中,e、f分别为棱bc、dd1的中点(1)若平面afb1与平面bcc1b1的交线为l,l与底面ac的交点为点g,试求ag的长;(2)求点a到平面b1ef的距离考点:点、线、面间的距离计算 专题:空间位置关系与距离分析:(1)过b1作fa的平行线交面abcd于g,连接ag,在rtabg中求得ag的长;(2)分别以da、dc、dd1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出平面b1ef的一个法向量,利用向量法求得点a到平面b1ef的距离解答:解:(1)如图,延长cb到g,使bg=2bc,连接b1g,则b1g所在直线为平面afb1与平面bcc1b1的交线,连接ag,在rtabg中,ab=1,bg=2,则ag2=ab2+bg2=5,ag=;(2)建立如图所示空间直角坐标系,则a(1,0,0),设平面b1ef的一个法向量为,由,得,取x=2,得y=,z=1,又=(0,1,1),点a到平面b1ef的距离d=点评:本题考查空间中的点、线、面间的距离,考查学生的空间想象能力和思维能力,训练了利用向量法求点到面的距离,是中档题20在矩形中abcd中,ab=4,bc=2,m为动点,dm、cm的延长线与ab(或其延长线)分别交于点e、f,若+2=0(1)若以线段ab所在的直线为x轴,线段ab的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,试求动点m的轨迹方程;(2)不过原点的直线l与(1)中轨迹交于g、h两点,若gh的中点r在抛物线y2=4x上,求直线l的斜率k的取值范围考点:直线与圆锥曲线的综合问题;平面向量数量积的运算;轨迹方程 专题:平面向量及应用分析:(1)设m(x,y),由已知d、e、m及c、f、m三点共线求得xe、xf,可得、 的坐标,=,代入+2=0,化简可得点m的轨迹方程(2)设直线l的方程为 y=kx+m (m0),a(x1,y1)、b(x2,y2),m(x0,y0),由 ,可得关于x的一元二次方程,由0,可得 4k2m2+30 利用韦达定理求得m的坐标,将点m的坐标代入y2=4x,可得 m=,k0 ,将代入求得k的范围解答:解:(1)设m(x,y),由已知得a(2,0)、b (2,0)、c(2,2)、d(2,2),由d、e、m及c、f、m三点共线得,xe,xf=又=(xe+a,0),=(xfa,0),=,代入+2=0,化简可得 +=1(2)设直线l的方程为 y=kx+m (m0),a(x1,y1)、b(x2,y2),m(x0,y0),由 ,可得 (3+4k2)x2+8kmx+4m212=0,由题意可得=(8km)24(3+4k2)(4m212)0,即 4k2m2+30 又x1+x2=,故m(,),将点m的坐标代入y2=4x,可得 m=,k0 ,将代入得:16k2 (3+4k2)81,解得k 且k0点评:本题主要考查两个向量的数量积公式,两个向量坐标形式的运算法则,直线和圆锥曲线的位置关系,二次函数的性质,属于中档题21已知函数f(x)=ex1,g(x)=ax2+bx,其中a,br,e是自然对数的底数(1)当a=0时,y=g(x)为曲线y=f(x)的切线,求b的值;(2)若f(x)=f(x)g(x),f(1)=0,且函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求实数a的取值范围考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值 专题:导数的综合应用分析:(1)先求出函数f(x)的导数,得到关于b的方程,解出即可;(2)通过讨论a的范围,判断函数的单调性,求出函数是最值,结合函数的零点问题,从而求出a的范围解答:解:(1)当a=0时,g(x)=bx,f(x)=ex=bx,问题转化为函数y=ex和y=bx有交点,b0时,显然有交点,b0时,得:be,故b0或be;(2)由f(1)=0eab1=0b=ea1,又f(0)=0,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,因为f(x)=exax2bx1, 所以g(x)=f(x)=ex2axb,又g(x)=ex2a,因为x,1exe,若a,则2a1,g(x)=ex2a0,所以函数g(x)在区间上单增,若a,则2ae,g(x)=ex2a0,所以函数g(x)在区间上单减,于是,当a或a时,函数g(x)即f(x)在区间上单调,不可能满足“函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求若a,则12ae,于是当0xln(2a)时:g(x)=ex2a0,当ln(2a)x1时g(x)=ex2a0,所以函数g(x)在区间上单调递减,在区间(ln(2a),1上单调递增,则g(x)min=2a2aln(2a)b=3a2aln(2a)e1,令h(x)=xxlnxe1(1xe),则h(x)=lnx,由h(x)=lnx0可得:x,所以h(x)在区间(1,)上单调递增,在区间(,e)上单调递减,所以h(x)max=h()=lne10,即g(x)min0恒成立于是,函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间等价于:即:,又因为a,所以:e2a1综上所述,实数a的取值范围为(e2,1)点评:本题考查了函数的单调性、最值问题,函数的零点问题,考查导数的应用,分类讨论思想,第二问难度较大,讨论a时容易出错请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22如图,圆周角bac的平分线与圆交于点d,过点d的切线与弦ac的延长线交于点 e,ad交bc于点f()求证:bcde;()若d,e,c,f四点共圆,且=,求bac考点:与圆有关的比例线段 专题:推理和证明分析:()通过证明edc=dcb,然后推出bcde()解:证明cfa=ced,然后说明cfa=acf设dac=dab=x,在等腰acf中,=cfa+acf+caf=7x,求解即可解答:解:()证明:因为edc=dac,dac=dab,dab=dcb,所以edc=dcb,所以bcde()解:因为d,e,c,f四点共圆,所以cfa=ced由()知acf=ced,所以cfa=acf设dac=dab=x,因为=,所以cba=bac=2x,所以cfa=fba+fab=3x,在等腰acf中,

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