2010水木艾迪考研数学基础班习题讲义.doc

报告人： 刘坤林 一关于新大纲2009 考研数学改为三个试卷：数一数二维持不变，数三、数四改变为新数三：教育部决定从2009年起，将原数学三、数学四进行整合，整合后称为“数学三”。原使用数学三或数学四的招生专业从2009年开始使用新的“数学三”。 “数学三”的考试内容和考试要求调整如下：1. 新“数学三”的考试内容为微积分、线性代数、概率论与数理统计，其分数比例依次约为56%、22%和22% 。2. 新“数学三”较原数学四的变化有：（1） 增加了无穷级数的相关内容；（2） 增加了线性微分方程解的性质及解的结构定理、二阶微分方程及差分方程的相关内容；（3） 增加了数理统计的基本概念、点估计的概念、矩估计法及最大似然估计的相关内容。3. 新“数学三”较原数学三的变化有:(1) 降低了无穷级数中部分考试内容的考试要求；(2) 降低了常微分方程与差分方程中二阶微分方程、差分方程的考试要求；(3) 降低了概率论中切比雪夫不等式的考试要求；(4) 降低了数理统计的基本概念中部分考试内容的考试要求；(5) 降低了参数估计中点估计等概念的考试要求；(6) 删除了参数估计中估计量的评选标准和区间估计的考试内容；(7) 删除了假设检验的全部考试内容。 4. 新“数学三”的参考试题根据考试内容和考试要求的变化做了相应调整。二考研数学要走对路 找对点1试题基本特点07-09年考题以基本的概念、理论和技巧为主, 注意考察基础知识的理解与简单综合运用。各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别是数三数四连续几年并无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是数学，确切说是理工类数学的能力。这是对2010年考生的重要参考。09年考题凸现注重考察对基本概念与基本知识点理解的准确性，基础知识的理解与简单综合运用，以及基本计算能力。各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别是数三数四连续几年并无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是数学，确切说是理工类数学的能力。这是对09年考生的重要参考。 2009年考研数学试题，与2005-08年相比，难度有降低。这也是水木艾迪老师所预测的结果。三份考研数学试卷的设计，突出了对三个数学学科基本知识点理解的准确性与全面性的考察，以及对数学基本计算与分析能力的考察，知识覆盖面合理，题意明确，叙述准确，档次明显，适于选拔考试。三个试卷考试题目非常基本，没有偏题怪题和超难度题目，考题特点是重在基本概念的准确理解与过硬的基本计算能力。四个突出特点：（1）考题凸显考察：对基本概念与基本知识点理解的准确性，重在基本概念的换位思考，能做换位思考者，胜，否则，将沦落为失败者。基本计算要过硬。（2）不同知识点交叉运用能力，尤其注重基础知识的理解与综合运用。 （3）考研数学考的是数学，并非物理（对数学一、二：物理应用题目趋于淡化，），更非经济（对数学三：与所谓经济类数学内容相关的题目趋于淡化），更确切地说，考研数学是考大学理工类数学三个学科。特别是数学三考生，不能采用带有经济类的教科书或辅导教材作考前的复习。（4）三套试题共用题目比例较高，三套难易程度趋于相同。在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。 考场上以概念理解的准确性取胜最重要，准确全面的概念理解，必然导致居高临下的知识洞察力与快速反应能力。考题题型例1 设函数在处连续，下列命题错误的是（A）若存在，则 （B）若存在，则（C）若存在，则 存在 （D）若存在，则存在【解】答案D。由无穷小量比阶概念、点连续概念与导数定义，可判断(A)(B)(C)正确。(D)中的成立不一定保证导致可导的两个极限存在。请看错误做法：则存在。极限运算法则错误！【解析与点评】本题主要考点是：（1）无穷小量比阶；（2）复合函数概念；（3）点连续概念；（4）导数定义。水木艾迪考研辅导班教学中含有不少此类例题，可参见基础班综合辅导第2讲例考题题型例2 （2005-2-15：11分） 设函数连续，且，求极限【解析与点评1】 本题主要考点是：（1）含参积分处理方法；（2）极限分析计算与罗必达法则；（3）变限积分求导数；（4）积分中值定理。水木艾迪考研辅导班教学中含有不少此类例题，可参见基础班综合辅导第2讲例 2.21，例2.25,例2.27,水木艾迪考研辅导暑期强化班第4讲例39-43，例55-56等例题，系列教材2005考研数学应试导引与进阶中也有许多这样的典型例题和方法，如例6.74,例6.78，例7.22等。刘坤林等编写，清华大学出版社2004年7月出版。【解】 首先取变换，则，因此 其中，时，上述第2个等号用了罗必达法则。考题题型例3 当时，与等价无穷小，则（ ）（A）. (B) .（C）. （D）. 【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。参见木艾迪考研数学春季基础班教材考研数学通用辅导讲义（秦华大学出版社）例4.67，强化班教材大学数学强化29916、17等例题。【答案】A意味选项错误。再由存在，应有，故，D错误，所以选A。考题题型例4 （09-2-10）_【答案】0【解析与点评】定积分的分部积分法与回归法是水木艾迪辅导的星级考点。我们一再强调：与积分有关的极限问题不一定把积分完全算出来。（方法1）（方法2）考题题型例5 如图，正方形被其对角线划分为四个区域,则（ ）dD1XY-1-111D1D2D3D4（A） (B) (C) (D) 【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。参见水木艾迪考研数学春季班教材考研数学通用辅导讲义-微积分例12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材大学数学同步强化299117题，以及考研数学三十六技例18-4。关于轴对称，而即被积函数是关于的奇函数，所以;两区域关于 即被积函数是关于的偶函数，由积分的保号性，所以正确答案为A。考题题型例6 设有两个数列若则（ ）（A）当收敛时，收敛。 （B）当发散时，发散。（C）当收敛时，收敛。 （D）当发散时，发散。【解析与点评】以下方法1是水木艾迪考生的首选方法。（方法1）收敛，则，又，必存在，使当时且（极限的有界性！），立即由正项级数的直接比较法得到：当收敛时，收敛。应选C 。参见水木艾迪春季基础班教材考研数学通用辅导讲义-微积分（清华大学出版社）自测模拟题15.3，例15.4。（方法2）反例：对A取，对B取，对D取。考题题型例7 设，则 。【解析与点评】以下方法1是水木艾迪考生的首选方法。（方法一）由轮换对称性，（方法二） 参见【水木艾迪考研】大学数学同步强化299125，考研数学三十六技例18-5，例18-6，例18-7，微积分通用辅导讲义例12.13，12.29。【答案】考题题型例8 函数的全微分为，则点（0，0）（ ）（A）不是的连续点 （B）不是的极值点（C）是的极大值点 （D）是的极小值点【解析与点评】（方法1），有最小值C，立即有结果D。这是水木艾迪一再强调的凑微分方法。（方法2）由可得在（0，0）处，故（0，0）为函数的一个极小值点。【答案】D2几点意见（共三点）：（1） 要找对点 走对路，首先要注意到国家考试特点与重点。理解概念 力求做到准确、全面。考研数学以大学本科数学为基础，但又有明显的不同之处，考试的重点是：对三个数学学科中基本知识点理解的准确性与全面性；基本计算能力（概念的理解有助于计算的准确性与快速有效性）；对基本知识点所涉及的方法与技巧综合运用的能力。纵观近年的考题：23个题目，有不低于与60%的题目需要从概念的理解与换位思考入手；而综合计算解答题目，也往往需要基于对概念理解的准确性与全面性，才会使你捕捉到最佳的解题思路或计算方法。（2）还要注意数学的学科特点： （1）带有思维性的科学数学；（2）需要完备的逻辑表达语言。表达是对基本概理解的记忆不提升， 更是对处理问题与分析问题能力的必要打造。要注意到数学的学科特点: 培养一点逻辑思维能力与悟性，数学是一类让人思考和表达的学科：一是要思考，二是要表达，包括逻辑语言表达与基本计算表达。还要培养一点对数学的感情和兴趣。道理很简单：喜欢的事情最容易做好。数学并非那么难，也并非那么抽象，它充满了我们的生活，离我们很近。一位世界著名的哲学大师说过：完美的世界是由三个要素构成：art, music, mathematics. 你如果选择水木艾迪辅导班，尤其是春季基础班，我们的教学团队老师会引导你沿此道路精心塑造，走向成功。（3）技巧来自基本概念的理解与基本方法的悟性制胜考研数学的三个基本因素：因素A 概念理解的准确性： 90分因素B 综合运用与技巧： 分,.因素C 气质与心态的平衡：分,.4设法了解命题策略与命题思路，合理有效的复习策略在全部的复习过程中，还应力图做到了解命题策略与命题思路。你如果选择水木艾迪辅导班，尤其是春季基础班，我们的教学团队老师会引导你一步一步实现这一目标。以下三个基本例题用于引导同学把握数学的特点，而每一个基本例题之后会有若干例题，展示考题特点与命题策略。基本例题1 选驸马问题古代某个皇帝选驸马,经预选产生三个最聪明的候选人。决赛规则：三人面向考官按一字形排成一列，考官准备了5顶帽子：三黑 两红，从最后一个人开始给三位候选人各带上个一顶帽子，最先说出自己帽子颜色的人被选定为驸马。结论：几分钟沉默后，面向考官的某一号选手先说出自己的帽子颜色（？）分析 设面向考官的第一个人为1号，按顺序，其余两人为分别为2号和3号。以下是浮现在1号选手大脑中的思考过程：3号没开口：3号可看到的是：1、2同色，或1、2异色，而没开口则说明1号2号全红为不可能事件；只剩下1号2号异色或全黑。2号没开口：若1号为红，则2号必说出自己帽子为黑色（1、2全红为不可能事件），但没说出，此假设应该否定，结论：1号为黑色。引申：系统辨识（System Identification-black Box Theory）极限的保序性（保号性）及其应用极限的保序性、有界性、唯一性，以及运算法则等重要性质的正确运用和掌握，是重要考点，不是短时间内可以达到的水平，但却是水木艾迪基础班解决的重点之一。例1-1 （2005共用考题）设函数连续，且，则存在，使得(A) 在上单调增加。(B) 在上单调增加。(C) 对任意的有。(D) 对任意的有。【证】答案(C).由 ，则由极限保序性可推断存在，使当或时，即与应保持同号，因此：对任意的有，对任意的有。 注：此结论在水木艾迪考研辅导教学及教材中称为由导数正负号决定的函数局部比较性质。只由一点处的导数正负号，不能决定函数的增减性。函数的增减性属于区间上或全局性质。例1-2设在上一阶可导，证明：存在，使；【证】 不妨设，即 ，由极限的保序性，存在使得有： ，满足，即有，满足；同理可有，满足，因此，由连续函数的零点定理，使得。例1-3 设在某邻域内有二阶连续导数，且，则（ ）。(A) ，但是曲线的拐点。(B) ，且是的极小值。(C) ,且是曲线的拐点。(D) ，且是的极小值。【解】 答案为（C）。由题目的已知条件可得到：第一个信息是：，则，又因为在某邻域内有二阶连续导数，于是。第二个信息是：，根据极限的保序性知道，在的某去心邻域内，必有，当时，当时，。即知在两侧变号，于是可以断定是曲线的拐点。即只有选项( C)正确。【注】对由极限保序性导致连续函数的保号性质、积分的保序性、积分估值定理与比较性质，可参考下列典型例题。基本例题2 溶液浓度问题 两个同样容积的烧瓶里分别放有甲乙两种溶液，现用量杯从甲种溶液里取出一小杯放入乙种溶液，搅拌均匀后，再用同一量杯取出一杯放回甲种溶液内，搅拌均匀。问：甲中含乙与乙中含甲各为多少%？【解】 方法1：列方程求解，势必烦琐。 方法2：利用逻辑分析，对甲种溶液进行分析，不难发现，甲失去的量，就是甲从乙中得到的量。结论：甲中含乙与乙中含甲比例相同。数学引申：函数的轮换对称性！函数的对称性与轮换对称性需要综合掌握：函数的概念，积分定义的四步曲，导数与偏导数的概念与方法。不是短时间内可以达到的水平，但却是基础班解决的重点之一。例2-1（2006-1-15，10分） 设区域计算二重积分。【解析与点评】利用对称性可得到 ; 这样，。这是很典型的二重积分计算题，是水木艾迪2006考研数学原题。可参见水木艾迪2006考研数学强化班讲义第十一讲例17。例2-2（ 2005-2、3、4共用） 设，为上的正值连续函数，为常数，则 ( D ) (A)。 (B) 。 (C) 。 (D) 。不可取的解法 取坐标变换：令 则，.，需10分钟。 【解析与点评】 本题考点是函数性质，积分定义概念的准确理解（本题为二重积分，还可以是三重积分，曲线曲面积分等），对称性的应用（实为函数性性质与积分概念的有机结合，有这样的功底，此题只需要40秒时间。在水木艾迪考研辅导教学及教材中，例如2005考研数学应试导引与进阶（刘坤林等编写，清华大学出版社2004年7月出版）。有许多此类题型与方法的训练。这样的训练应从函数初等性质与定积分开始，例如水木艾迪2004暑期强化班第4-13题就是一个基础性训练问题：【正确解法】由轮换对称性得到因此经简单计算，园的面积是，于是。（30秒OK!）注：本题是水木艾迪2006考研数学教材原题（清华大学出版社）。例2-3： （ ） 。(A) 。 (B) 。 (C) 。 (D) 。【解】由对称性与积分概念，立即得知答案，选(B)。函数的广义奇偶性（偶对称与奇对称）若的图形有对称轴，则应有（将视为参数），令，则有 ，因此为偶函数。若的图形有对称中心，则应有（将视为参数），令，则有，因此为奇函数。以上这种性质称为函数的广义奇偶性或对称性。例2-4（2007数2、3、4， 11分）（本题满分11分）设二元函数 计算二重积分，其中。【解】 ， 其中为在第一象限部分。， 其中，。； 可用两种方法计算：直角坐标积分法：， 或极坐标积分法：，边界与对应与，因此。因此 。 例2-5（2007数一） 设曲面，则=_。【解】（方法1）由域与被积函数的对称性有： （方法2）利用物理意义 （方法3）化成二重积分 考点：利用曲面积分概念及对称性计算第一型曲面积分的基本计算题 , 木艾迪辅导中强调的星级考点。基本例题3 （体重估计问题）本教室学生的最大体重者之体重大于58公斤。你作为检测人员，如何制定检测程序？其内涵思想：注重破解数学表达与描述的逻辑含义！这不是短时间内可以达到的水平，但却是水木艾迪基础班教学的重点之一。请看下列例题：例3-1 设在上连续，且若，证明 .【证】 要证明 ，只须证明存在，使得。首先在上连续，必有最大最小值，又 因此最大最小值不在端点取得，即存在，使得。其次， 将在处展为Taylor公式进行分析可得到结论。以下为基础班教学内容展示：-优化复习策略，设法了解命题策略与命题思路技巧“移项做辅助函数”的基本背景：展示之一：介值定理应视为零点定理推论连续函数的零点定理（根的存在定理）设函数在闭区间上连续，且，则（至少）存在使得。介值定理（零点定理推论）设函数在闭区间上连续，若，则对介于之间的任意实数，都存在，使得。 【证明介值定理】思路是创造应用零点定理的条件，-“移项造辅助函数”令，则在闭区间上连续，只需证明至少有一个零点。不妨假设，则，因此，且，于是，由零点定理，至少有一个零点，所以，即。 这正是证明等十余不等式的重要技巧之一。技巧“初值加增减性分析法”的基本背景是： 拉格朗日微分中值定理及其推论利用拉格朗日微分中值定理，可以证明下述结果（初值加增减性分析法的基本原理）： 强化班内容展示之二：技巧“初值加增减性分析法”的基本原理是：利用拉格朗日微分中值定理，可以证明一个重要结果 若，则：当时，在上恒有，当时，在上恒有。这一性质给我们一个证明等式与不等式的重要方法：初值（或终值）加增减性分析法。这一性质给我们一个证明等式与不等式的又一重要方法：“初值加增减性分析法（或终值加增减性分析法）”当遇到等式与不等式证明问题时，应意识移项做辅助函数。根据题目要求，研究辅助函数的连续性及零点问题，增减性问题，或最大最小值问题，是证明等式与不等式的常用方法.涉及的知识点：极限与连续函数性质，微分中值定理，积分性质，泰勒公式等。典型例题例5-1讨论对常数取何值时方程在内根的个数为：(1) 1。 (2) 2。 (3) 0。【解】移项做辅助函数，定义域为，驻点为 ，时，时，又因，且为极小值，（1）所以当时，在内无零点。当时，恰有一个零点。（2）当时，有两个零点为：及。（3）当时， ，恰有一个零点。例5-2 设在上可导，当时满足，且，试证方程在内有唯一实根。【证】移项造辅助函数，设，则，于是在内有实根。又因为 ，所以在内不变号，即为单调函数，最多有一个零点，于是在内有唯一实根。或：假设有两个不同的实根，则由Rolle定理可得：，使得，即有一点，使得，与题设矛盾，则在内有唯一实根。例5-3 设为上的单调增函数，证明对任意满足的成立不等式。【解】 等价于，考虑在上的增减性。，其中，因为为上的单调增函数，于是，所以在上单调增加，即有。证明等式与不等式的重要方法与技巧出处：“移项做辅助函数”与“初值加增减性分析法”例5-6 设，证明不等式。 【证】原不等式等价于先合并参数，再采用移项造辅助函数方法。对右边不等式，令 只须考虑 移项造辅助函数，令 ，（初值）， 于是（初值），即右侧不等式成立。再考虑左边不等式：初值加增减性分析法，拉格朗日中值定理方法。（方法1）令，左侧不等式变为 。移项造辅助函数，令，则（初值），（注意到平均值不等式！）于是在上，即左侧不等式成立。（方法2）取一个参数为变量，采用初值加增减性分析法，令 ，（初值），因此，即左侧不等式成立（用到平均值不等式）。（方法3）由Lagrange 中值定理得：注意到，则由平均值不等式得到。（2）设法了解命题策略与命题思路从上面几个例题可以了解命题策略与命题思路的某些特点，水木艾迪考研辅导教学的全部内容与策略，就是引导考生作到对基本知识点理解的的准确性、全面性和有效性，掌握综合处理问题的方法与技巧，特别是让同学把握命题策略与命题思路，努力做到居高临下的知识洞察力。我们进一步看如下例题：例3-2 （2007-数一、二、三、四共用）设函数在处连续，下列命题错误的是（A）若存在，则 （B）若存在，则（C）若存在，则 存在 （D）若存在，则存在【解】答案D。考点：点连续概念，导数定义，无穷小量比阶的概念与极限运算法则。(D)的成立不一定保证导致可导的两个极限存在。请看错误做法：则存在。极限运算法则错误！注：本题系由水木艾迪经典例题演变而成。参见教材大学数学同步强化299内：（33） 若存在，则在处（ ）。 （A）可导，且。（B）可导，且。（C）不可导。 （D）不一定可导。【特别提示】 请注意以下错误做法： 因此在处可导，且。选择（A）。 上述第二个等号为极限运算法则错误。【解】正确答案为（D）。尽管有 但是，上述极限的存在不能保证 或的存在，因此不能保证的存在。 注 极限运算法则的运用是常考知识点，原因是极限运算法则错误为常见错误。极限运算法则表述的实质为：前者为后者的充分条件。而表现充分条件的命题在应用中需特别注意数学逻辑上的准确性。例3-3 设，则(A)在点不连续.(B)在内连续，但在点不可导.(C)在内可导，且满足.(D)在内可导，但不一定满足. B 【不可取的分析】先求分段函数的变限积分，再讨论函数的连续性与可导性即可。【不需要的详解】当时，；当时，当时，F(0) = 0. 即，于是在内连续，但在点不可导. 故选(B).(3-5分钟)【正确分析】可积，则连续；但有第一类间断点，不可导，故选(B).（10秒OK!）关于原函数的一些重要结论是（每年必考其中1-3款）：结论1 连续奇函数之原函数必为偶函数。结论2 连续偶函数之原函数必为奇函数与常数之和，其中只有一个为奇函数（）。结论3 连续周期函数之原函数必为周期函数与线性数之和，且周期不变。连续周期函数之原函数为周期函数的充要条件是，其中为周期。结论4 有第一类间断点的函数没有原函数。结论5 有第二类间断点的函数可以有原函数。结论6 变限积分表示的函数不一定是原函数。例3-4（2007数1、数2、3、4共用，本题满分11分）设函数在上连续，在内二阶可导且存在相等的最大值，又证明：（）存在使得（）存在，使得。【证】（）移项造辅助函数，则，。（方法一）若的最大值在内同一点取得，则存在使得，即。若的最大值在不在同点取得，则存在与，使得 ， 且 由连续函数的零点定理，存在介于之间的使得，即。（方法二）用反证法也能证明存在使。假设不存在使，则；或。不妨假设 。设在取到最大值，则应有，与已知条件“在内有相等的最大值”矛盾。因此假设不成立，即存在使。其余步骤同（方法一）。（）二阶可导，于是由Rolle定理，与使得与 ，于是，使得，即。本题考点：连续函数性质，导函数性质及Rolle定理运用