广东省阳东广雅学校高中数学下学期 2.4平面向量的数量积教案 新人教A版必修4.doc

附件一课题 2.4平面向量的数量积课时5主备教案 2.4平面向量的数量积 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标1.会算一个向量在另一个向量上的投影,会运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义.2.以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究.通过作图分析,使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别.3.由具体的功的概念到向量的数量积,再到共线、垂直时的数量积,使学生学习从特殊到一般,再由一般到特殊的认知规律,体会数形结合思想、类比思想,体验法则学习研究的过程,培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:一辆小车,在力f的作用下,从a处到b处拉动的位移为s,那么请问力f在这个运动过程中所做的功?(1)力f所做的功w=.(2)请同学们分析公式的特点:w(功)是量,f(力)是量,s(位移)是量.(3)师生共同探讨矢量乘矢量以及引出向量乘以向量.二、信息交流,揭示规律1.数量积的概念已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,我们把数量叫做 a与 b的数量积(或内积),记作.问题2:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?问题3:数量积的几何意义是什么?2.由数量积的定义可以得到下面几个重要结果:(1)当=0时,;当=180时,.(2)cos=.(3)当b=a时,有=0,所以aa=|a|a|=,即|a|=.(4)当=90时,ab,因此,ab=cos90=0,因此对非零向量a,b,有ab.3.可以验证,向量的数量积满足下面的运算律:(1)(2)(3)注意:一般地,向量的数量积不满足结合律,即a(bc)(ab)c.三、运用规律,解决问题【例1】判断下列各题正确与否:(1)若a=0,则对任一向量b,有ab=0.()(2)若a0,则对任一非零向量b,有ab0.()(3)若a0,ab=0,则b=0.()(4)若ab=0,则a,b至少有一个为零.()(5)若a0,ab=ac,则b=c.()(6)若ab=ac,则b=c当且仅当a0时成立.()(7)对任意向量a,b,c,有(ab)ca(bc). ()(8)对任意向量a,有a2=|a|2 .()【例2】已知=5,=4,向量a与b的夹角是120,求ab.【例3】已知|a|=|b|=,ab=-,求.【例4】已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.四、变式演练,深化提高练习1:四边形abcd中,=a,=b,=,=d,且ab=b=d=da,试问四边形abcd是什么图形?练习2:已知=5,=4,向量a与b的夹角是120,求.五、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?布置作业课本p108习题2.4a组第1,2,3题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:(1)力f所做的功w=fscos.(2)w(功)是标量,f(力)是矢量,s(位移)是矢量.(3)w=fs.二、信息交流,揭示规律1.数量积的概念|a|b|cosab 问题2:数量积的结果是实数,线性运算的结果是向量.问题3:数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos的乘积.2.(1)ab=|a|b|ab=-|a|b|(2)(3)|a|2(4)ab=03.(1)ab=ba(2)(a)b=(ab)=a(b)(3)(a+b)c=ac+bc三、运用规律,解决问题【例1】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【例2】解:ab=|a|b|cos120=54(-)=-10.【例3】解:cos=-.由于0180,所以=135.【例4】解:由(a+3b)(7a-5b)=07a2+16ab -15b2=0(a-4b)(7a-2b)=07a2-30ab+8b2=0两式相减:2ab=b2,代入或得:a2=b2,设a,b的夹角为,则cos=,=60.四、变式演练,深化提高练习1:解:四边形abcd是矩形,这是因为:一方面:a+b+d=0,a+b=-(+d),(a+b)2=(+d)2,即|a|2+2ab+|b|2=|2+2d+|d|2,由于ab=d,|a|2+|b|2=|2+|d|2同理有|a|2+|d|2=|2+|b|2由可得|a|=|,且|b|=|d|即四边形abcd两组对边分别相等.四边形abcd是平行四边形.另一方面,由ab=b,有b(a-)=0,而由平行四边形abcd可得a=-,代入上式得b(2a)=0,即ab=0,ab,即abbc.综上所述,四边形abcd是矩形.练习2:解:=(a+b)(a+b)=a2+b2+2ab=25+16-20=21,所以.五、反思小结,观点提炼1.掌握数量积的定义、重要性质及运算律;2.能应用数量积的重要性质及运算律解决问题;3.了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直、共线等问题.2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示.2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式.3.能用所学知识解决有关综合问题.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:(1)设单位向量i,j分别与平面直角坐标系中的x轴、y轴方向相同,o为坐标原点,若向量=3i+2j,则向量的坐标是,若向量a=(1,-2),则向量a可用i,j表示为;(2)已知|i|=|j|=1,ij,且a=3i+2j,b=i-j,则ab=.二、信息交流,揭示规律问题2:已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标来表示ab呢?问题3:如何用坐标表示向量的模、垂直的条件以及夹角的余弦?2.平面内两点间的距离公式(1)设a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=.(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么|a|=(平面内两点间的距离公式).3.向量垂直的判定设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab.4.两向量夹角的余弦(0)cos=.三、运用规律,解决问题【例1】已知a=(-1,),b=(,-1),求ab,|a|,|b|,a与b的夹角.【例2】已知a(1,2),b(2,3),c(-2,5),试判断abc的形状,并给出证明.【例3】在rtoab中,=(2,3),=(1,k),求实数k的值.四、变式演练,深化提高练习:已知a=(3,-1),b=(1,2),求满足xa=9与xb=-4的向量x.五、反思小结,观点提炼本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?布置作业p108习题2.4a组第9,10,11题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:(1)(3,2)a=i-2j(2)1二、信息交流,揭示规律问题2:设向量i,j分别为平面直角坐标系x轴、y轴上的单位向量,则有a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j),x1x2i2+(x1y2+x2y1)ij+y1y1j2=x1x2+y1y2,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.从而可得1.ab=x1x2+y1y2.问题3:2.(1)|a|=(2)(3)x1x2+y1y2=04. .三、运用规律,解决问题【例1】解:ab=(-1)(-1)=-2,|a|=2,|b|=2,cos=-,因为0,所以=.【例2】解:abc是直角三角形.证明如下:因为=(1,1),=(-3,3),=1(-3)+13=0,所以,所以abc是直角三角形.【例3】解:(1)若aob=90,则,所以2+3k=0可得 k=-;(2)若oab=90,则,而=(-2,-3),=(-1,k-3),所以2-3(k-3)=0,从而 k=;(3)若oba=90,则,而=(-1,-k),=(1,3-k),因为-1-k(3-k)=0,所以k= .四、变式演练,深化提高练习:解:设x=(t,s),由所以x=(2,-3).五、反思小结,观点提炼1.掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;2.掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式;3.掌握两个平面向量的夹角的坐标公式;4.能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系.讨论记录1、 平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点；2、学习的目的在于应用，应用的过程中可以加深理解相关知识，因此安排了“向量的简单应用”，另外，向量也是解决数学问题的好工具，例如，和（差）角的三角函数公式、线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量为工具进行推导；向量作为沟通代数、几何与三角函数的桥梁，是一个很好的数形结合工具，教科书通过“平面几何中的向量方法”进行了介绍，并在第三章用向量方法来推导两角差的余弦公式。这些处理也都是为了体现向量作为基本的、重要的数学工具的地位。3、平面向量复习课演绎模式与归纳模式的对照思考传统的演绎模式是：教师归纳好各个知识点，一一展示给学生，并向学生仔细讲解，期待学生记住知识，这种模式只能保证学生看到了，学生知道了，至于学生记住了没有。估计学生没有掌握！而归纳模式强调学生的参与，让学生主动回顾知识的各个环节，让学生在实践过程中掌握知识，发现自己那些知识是掌握的，那些知识不会的或没有记住的。演绎模式的优点是容量大，教师操作容易，课堂掌控易。而归纳模式不易操控，需要