第七章 单一总体的区间估计.doc

14第七章 单一总体的参数估计（一）区间估计的含义 估计：人人都做过。如： 上课时，你会估计一下老师提问你的概率有多大？ 当你去公司应聘时，会估计你被录用的可能性是多少？ 推销员年初时要估计今年超额完成任务的概率有多大？估计量：用来估计总体参数的样本统计量。如：算术平均数、中位数、标准差、方差等。估计的可能性与科学性：数理统计证明，一个“优良”的样本统计量应具备以下特征：（1）、无偏性。样本估计量的期望值应等于总体参数。无系统偏差。（2）、有效性。与离散度相联系。在多个无偏估计量中，方差最小的估计量最有效。（3）、一致性。随着样本容量的增加，可以使估计量越来越靠近总体参数。（4）、充分性。估计量能够充分利用有关信息，中位数和众数不具备这一点。估计的类型包括 ：1、 点估计：只有一个取值。如样本平均数 就是总体平均数的点估计值。2、区间估计：给出取值范围（值域）。 两种估计类型哪一种更科学？ 区间估计的优点在于：它在给出估计区间时，还可以给予一个“可信程度”。例如：销售经理想估计一下明年的出口总值，甲估计是53万美元，乙估计是5056万美元之间，并可以确切地说“有95%的把握”。显然后者的可信程度大于前者。那么，5056万美元之间的范围是如何计算的？“有95%的把握”是什么意思？【引例】：某食品进出口公司向东南亚出口一批花生制品，管理人员从中抽取50包作为样本，计算其平均数为250克。另外，合同规定总体标准差为6克。如果问这批花生制品的平均重量，可用样本平均数作为总体平均数的最佳估计量：250克。但这是远远不够的，在许多时候，管理人员还想了解“这个估计值的平均误差是多少？”“总体平均数可能落入样本平均数上、下多大范围内？”“ 这个估计值的可靠程度是多少？”1由于n=50，根据中心极限定理可作图： n=50，=62抽样平均误差：3若用250克这个估计值估计总体平均数，其平均误差为0.8487。 4若用区间表示估计的值域：这批花生制品的总体平均重量是2500.8487克之间。5总体平均数在2500.8487克之间的可信度为68.3%。总体平均数在25020.8487克之间的可信度为95.5%。总体平均数在25030.8487克之间的可信度为99.7%。（二）区间估计中几个常用概念1、置信度（置信系数）：它是指与一个估计区间相联系的概率，它表示该区间将包括总体参数的可能程度。用1-表示。置信度越大，估计区间内所包含总体参数的可信度越高。（68.3%、95.45%、99.7%都是置信度）2、置信区间：与一个“置信度”相联系的估计值的取值范围。用表示（如2502）2502：表示有95.45%的样本平均数构造的区间将包含总体平均数。2503：表示有99.73%的样本平均数构造的区间将包含总体平均数。3、置信限：与置信区间相联系的界限，包括上限和下限。如上题中下限：250-，上限：250+思考题：置信度与置信区间有何关系？（三）大样本条件下的区间估计1、总体标准差已知条件下，对总体平均数的区间估计案例1：在【引例】中：食品进出口公司出口一批花生制品，管理人员抽取50包为样本，其平均数为250克。合同规定总体标准差为6克。问：（1）如果置信区间为：2502、2501.96，总体参数这一范围的把握程度有多大？（2）若用90%的置信系数，则该批食品平均重量是多少？ 解：（1）a、25020.8487，与z=2对应的置信度是：0.47722=95.44%；b、2501.960.8487，与z=1.96对应的置信度是：0.47502=95%。（2） 与90%对应的Z值是0.9/2=0.45，Z=(1.64+1.65)/2=1.645，置信区间：2501.645*0.8487，即该批食品的平均重量在248.6251.396克之间的把握程度是90%。案例2：某茶叶进出口公司，准备处理一批库存2年的茶叶，出库之前要进行一次检验。检验数据如下；样本容量为64包，样本平均数为每包2公斤，入库记录表明总体标准差为0.2公斤。经理要求在95%的可信度下，估计一下这批茶叶的平均重量在多大范围内？解：答：这批茶叶平均重量在1.9512.049公斤，其可信程度为95%。2、总体标准差未知条件下的区间估计总体标准差未知条件下，一般用样本标准差S代替总体标准差。案例：某项抽样调查中获得如下资料： N可以视为无限总体，n=81，样本平均数为500，样本标准差为90，求：总体平均数可信度为90%的置信区间。解：答：此项调查中，总体平均数的可信度为90%的置信区间是在483.55516.45之间。习题1：一次等级考试，因急于评估试题质量，教师先随机抽取36份试卷批改，平均分是72分，标准差13.2分，系主任要求在90%的可信度下，对全体考生的平均成绩做一个区间估计。解：习题2：某土产畜产公司收购一批烟草，抽取30箱为样本，平均重量为20公斤，标准差为3公斤。求：（1）置信度为95%时，这批烟草的平均重量；（2）置信度为80%时，这批烟草的平均重量。解：（1） （2）3、大样本比例的区间估计 中心极限定理证明：P不接近0或1，且n很大时，其抽样分布趋近于正态分布。比例抽样分布的平均误差为：。案例1：为适应清理整顿要求，某地审计局要对本地公司进行查账，主管负责人估计查账对象中有40%的人会响应这一要求，如果向一个包括45个单位的随机样本寄去要求查账的通知单，审计局希望通过这一样本估计一下置信度为95%时，包含总体实际比例的区间有多大。解： 习题1：某西部人才咨询部门收到大批申请去西部工作的信函，人力资源管理部门想了解被录用的比例，从中抽取500人，发现只有76人被录用。现要求使用95%的可信度，对总体比例做一个区间估计。解：习题2：某私营企业为提高业务人员的业务能力，在拟订一项培训计划之前，对一个由300名员工组成的随机样本进行测试，结果发现参加测试人员中只有75人达到要求。主管人员要求在置信度为99%的条件下，作一个区间估计。解：（三）小样本条件下的区间估计 使用t分布的条件：当样本容量n30，总体标准差未知时，用样本标准差S代替总体标准差。样本标准差S计算公式：例1：从大学一年级学生中随机抽取12名学生，其阅读能力得分为28，32，36，22，34，30，33，25，31，33，29，26。试评估一下大学一年级学生阅读能力的总体平均分数。要求置信度分别是95%和99%。解：步骤：（1）计算样本平均数： （2）计算样本标准差： （3）计算平均误差：（4）确认自由度：df=12-1=11，误差概率：=1-0.95=0.05/2=0.025，查表，t=2.201 （5）估计总体平均数置信区间：解释：有95%的把握程度说大学一年级学生阅读能力平均分数在27.31132.523分之间。当=1-0.99=0.01/2=0.005，查表，t=3.105829.917-3.10581.184=26.24；29.917+3.10581.184=33.59。习题2：一批出口商品出库之前从中抽取14箱，其平均重量为40.5公斤，标准差0.5公斤。主管人员要求在98%的置信系数下，对这批商品的平均重量做个区间估计。置信系数为98%时，这批商品的平均重量是40.14640.584公斤。习题3：某公司共有技术开发和中层管理人员600名，公司十分关心他们的身体健康现状，责成有关部门进行了一次睡眠状况抽样调查，获得资料如下表： （单位：小时）员工 每周睡眠 员工 每周睡眠 员工 每周睡眠 员工 每周睡眠序号 时间 序号 时间 序号 时间 序号 时间1 50 6 48 11 54 16 502 40 7 47 12 56 17 51 3 30 8 45 13 50 18 474 38 9 43 14 48 19 485 42 10 47 15 48 20 54 试以95%的置信系数对600名技术开发和中层管理人员平均每周的睡眠状况作一个区间估计。解： 小样本比例的区间估计可参照平均数的区间估计。（四）样本容量的确定 在实际工作和理论研究中，我们总希望有一个比较恰当的样本容量，使之既可以取得足够的信息，又不至于在搜集过多样本时造成浪费和麻烦。1、已知条件下，n的确定：例4：某公司要对下一年职工医疗费情况作个预算，通常医疗费的为120元。现要求在95%的置信度下，保证所估计的总体平均数在加减40元范围内。应该取多大样本？解：依题意置信区间的表达方式有两种：即：=，：极限误差。 另外与95%的置信度对应Z值是1.96则：习题3：教研室主任要想知道大二年级英语统考的总体平均分数，并希望以95%的置信度，使估计的实际平均数在加减20分内，问抽取多大样本合适？（以往经验总体标准差为70分）解： 习题4：某公司为了解市场需求，曾多次进行市场调查，调查方式是与消费者交谈。交谈时间的标准差一般是6分钟。假如公司希望平均访谈时间的极限误差为2分钟，则在98%的置信度条件下，需要多大的样本？解： 2、未知条件下，n的确定：思考题：（1）未知条件下，可否用S代替？（2）当平均数加减3个标准差时，包含正态曲线全面积%？ 当数据变动比较均匀时，可以用“极差”近似的估计。若某公司下属50个分公司，上半年出口总值最多为150万美元，最少为30万美元，可以看成：6=150-30，=20（万美元）其他问题与前边类似。 3、估计总体比例时，n的确定：例题：某品牌电脑公司，准备将电脑销售市场转入拉美地区，事先派出有关人员到该地区查询资料，以便估计一下该地区有电脑的家庭所占的比例。公司希望这一比例的估计允许误差不超过0.05，且置信度为95%。问：要抽取多大容量的样