数学分析_竞赛辅导讲义.doc

高等数学（数学分析）竞赛辅导讲稿一、 函数函数，主要考察考生对函数的概念及性质的理解和掌握。包括函数的连续性。闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理），并会应用这些性质。问题1 试证不存在上的连续函数，使得在无理数集上是一一映射，在有理数集上不是一一映射。证 若不然，则存在，使得且。设在上的最大值和最小值分别为和。若在上取常值，则在无理数集上不是一一映射。于是或。不妨设，则由可数、开区间不可数知。任取某个，分别在和上应用介值性定理必有和使得且。因，故和都是无理数，这与在无理数集上是一一映射矛盾。问题2 若一族开区间覆盖了闭区间，则必存在一个正数，使得中的任意两点满足时，必属于某个开区间。证 不妨设每个开区间都是有限区间。（1） 作函数，。（2） 连续，且。而闭区间上的连续函数一定有最小值，令。（连续性的证明：，=，取上确界得即，同理，于是，故取，当时，所以是上的连续函数。）（3），因此存在，使得，从而。（4）而满足的点必在某个中(事实上取即可)，从而命题得证。练习1 设在上可导，且。证明：对任意正数、，必存在内的两个不同的数与，使。证 设，令C0=，则0 C01。因且在0, 1上连续，由介值性定理存在，使得= C0。现在在0,c上利用拉格朗日中值定理，存在，有。同理在c,1上利用拉格朗日中值定理存在，有。于是 。命题得证。二、 极限数列和函数极限的计算，以及有关问题的讨论，无穷阶的比较，实数完备性理论及其应用。问题3 设求。证 首先证明是递增数列.,假设成立，则, 因此是递增数列.再证明是有界数列. .显然成立. 成立.设成立，则,因此，成立.根据单调有界定理知知收敛，设,在两边取极限，得,解得或，但由于, 因此, 从而.练习2 设，求。证 显然首先证明，., 若假设, 则.根据归纳法可得成立.又由 , 即是递增数列且有上界, 根据单调有界定理知收敛，设, 在两边取极限，得,解得或，但由于, 因此, 从而.练习3 设，求证： 存在。分析 两个事实：1) 单调递增；2) 单调递减。 有不等式 。证 =，故单调下降，且=。 存在。注 ，其中是欧拉常数。三、 积分中值定理函数可导性的研究，微分中值定理及其应用，利用导数研究函数的性质（单调性，凹凸性等）以及导数的应用（极值、最大值和最小值等）。问题4 设是常数，求证。解 由积分第一中值定理知，有故原式。练习4 。解 由积分第一中值定理知，有故原式=0。四、 积分不定积分和定积分的计算，定积分的性质以及变上，下限的积分，定积分的应用和广义积分。问题5 求积分。解 （1） 代入（1）得原式=。练习5 证明：。分析：令。练习6 证明 。分析：令，再利用积分第二中值定理。定理： 设在上Riemann可积，则，使在处连续。证明：作分划。因 在上Riemann可积，取，存在，使（其中，以下类似定义。） 所以 ，因此至少有三个，使。取使。作区间，则在上Riemann可积。取，存在，使于是，因此至少有三个，使。取使。如此继续可以得到一个闭区间套使得（1）；（2）在上的上下确界满足。由闭区间套定理知。下证在处连续。事实上，有。而由上述构造过程知，有，此时故在处连续。问题6 设函数在上Riemann可积，且。试证明：存在闭区间，使得当时，。分析 只需在区间上找一个连续点，使得。利用定积分的定义，分点取连续点（上述定理保证存在连续点）即可。练习7 若可积，则在连续点处恒等于0。证 必要性 若在连续，但，则有，于是，矛盾。充分性 （取连续点）。五、 其它问题7 从已知的内部的点向三边作三条垂线，求使此三条垂线长的乘积为最大的点的位置。解：设到的距离分别为。则，其中为的面积。，等号当且紧当时成立，且可达到。练习8 证明：锐角三角形内一点到三顶点联线成等角时，该点到三顶点距离之和为最小。练习9 求使得下列不等式对所有的自然数都成立的最大的数和最小的数： 。（）问题10 设有函数列,求方程的一切实数解。解 （1）首先验证是方程的解。（2）当时，用归纳法证明。（3）