第二章 爱因斯坦与相对论(一).doc

第二章 爱因斯坦与相对论（一）前 言什么是相对论?为什么要研究相对论?联合国通过决议,将2005年定为国际物理年牛顿（16421727）不会想到,在他200多年之后一位年青人爱因斯坦（18791955）会对他的力学理论提出了挑战.同样,爱因斯坦也不会想到,在他去世50周年，全世界会以一束激光环绕地球的方式来怀念他,这束光沿途照亮了全球40多个国家和地区。2005年4月19日晚7点开始，通过数千公里海底光缆后，爱因斯坦之光在上海停留了300秒，在中国停留了两个半小时.许多青年学生激动地说:“让我们一齐点亮心中的物理之灯，去探索自然.”这是联合国“国际物理年”的活动之一.为纪念爱因斯坦伟大发现（相对论、光的量子理论等）100周年, 联合国于2004年6月10日通过决议,将2005年定为“国际物理年”.第一节 相对论简介相对论和量子力学是20世纪现代物理学的两大支柱.在此基础上,人类从分子、原子、原子核、基本粒子和夸克这五个物质结构层次上对微观世界有了相当的认识,并为其它学科领域（如化学、生命科学）和几乎所有高新科技领域提供了基础.相对论的一个基础是光速不变性.光速不变性迄今已为大量的实验所证实,且这些实验的精度和广度大大超出了牛顿力学范畴.相对论中所包含的新观念、新思想和新方法极大地开拓了人们的眼界,极大地增强了人类认识自然和应用自然的本领.一.什么是相对论相对论是研究不同惯性系中所测得的物理量之间,以及所发现的物理规律之间所存在的关系的一种理论.因此相对论应包括两方面内容:（1）不同惯性系之间物理量的“变换关系”;（2）关于物理学定律的“相对性原理”即对于所有惯性系,一切物理现象的规律保持不变.相对性原理可以说是现代人类对于自然界的一种信念,是自伽利略、牛顿、爱因斯坦以来的许多物理学家长期探索、反复思考、仔细实践所得到的一个基本结论.伽利略牛顿相对论 这是1905年以前大家认为是正确的相对论.其内容包括:不同惯性系之间时空坐标的变换关系“伽利略变换”,以及“伽利略牛顿相对性原理”,即牛顿定律在伽利略变换下保持不变.牛顿力学中的其他物理量,如速度、加速度等可从伽利略变换导出. 牛顿力学中的其他物理定律,如能量守恒定律、动量守恒定律等可以证明对于不同惯性系它们确实保持不变.点击伽利略变换: ;由此得, (速度变换). . （加速度不变）二.为什么要研究相对论为了说明这一点,我们来回顾一下牛顿力学的建立过程.1687年牛顿力学建立之前,有两类力学:开普勒的关于太阳系行星的三大定律(1609、1619)和伽利略的关于自由落体等“地上运动”的力学理论（1638）. 牛顿力学是统一了天体运动力学和地上运动力学的一种“统一理论”.但是我们不禁要问:地面参考系和太阳参考系之间存在相对运动,是两个不同的惯性参考书系,为什么可以用同一运动规律（牛顿定律）?这个理由就是相对性原理!试想,如果物理规律不遵循相对性原理,那么生活在地球上的人类就不能将自己的知识推广到宇观及微观世界,人类认识、把握和改造自然的能力将变得非常有限.现在幸运的是,我们所在的整个自然界具有最为广泛的包容性、普遍性和统一性.物理学家关于相对性原理的信念正是自然界这个特性的反映.凭借这一信念,物理学家期望将自己的工作从广度和深度上一步步地拓展到全部自然界.点击 1.牛顿第一定律（即惯性定律）成立的参考系称为惯性系.相对于一个惯性系做匀速直线运动的参考系也是惯性系. 2.在地面处,由于地球自转和公转而引起的加速度分别不到自由落体加速度g的百分之一和千分之一.所以,地面参考系和太阳参考系可认为都是很好的惯性参考系.三.电磁学向伽利略牛顿相对论提出了挑战牛顿力学与伽利略牛顿相对论构成了一套完善而自洽的力学理论,利用它可以解释地面上的力学现象和天体运行规律,尤其在利用它成功地预言了天王星和海王星的存在后,人们对该理论体系更是深信不疑.然而当人们试图将伽利略牛顿相对论向电磁学推进时,却遇到了麻烦.爱因斯坦相对论正是在这个背景下诞生的.19世纪下半叶,电磁学是当时的领头学科.但是物理学家发现,在电磁学的基本运动方程中包含了光速因子c（相应地,牛顿定律中不出现物体的速度,只出现加速度,而加速度在伽利略变换下是不变的）,因此如果按照通常观念,光速也是相对的,那么电磁学的基本方程在伽利略变换下就会改变,相对性原理对于电磁学领域便不再成立.然而许多物理学家通过多方面实验探索的结果显示出,情况似乎并非如此.现在我们知道,光或电磁波是一种以极高速度运动的物质,对这类物质运动规律的研究应当特别小心.然而对于当时绝大多数物理学家来说,还不可能认识到这一点,他们期望能够用旧有的理论去处理新情况,解释新现象.随着研究的深入,实验与旧有理论的矛盾必然会被充分揭露出来,这时少数思想敏锐,爱思考的年青的物理工作者将可能首先冲破旧观念,建立新理论.点击实际上,宏观力学现象中所涉及的物体的速度与光速相比通常很小,如喷气式飞机的速度（200）、子弹速度（500）、地球赤道上的自转速度（465）与光速c之比的数量级是;地球绕太阳的公转速度（）与光速c之比的数量级是,因此人们没有理由将低速现象中获得的知识随意地推广到光速或接近光速的现象.拓展联想光或电磁波是以极高速度（c）运动的物质;此外,微观现象中粒子的运动速度很高（如氢原子中电子的速度约为光速的百分之一）,因此对这些领域的的研究,以及其后20世纪现代的科技发展都在期待爱因斯坦相对论的诞生.第二节 光速不变性从一艘宇宙飞船上向前射出一束光（图18.1）,光子在它前面飞行的速度是c(),那么从地面上看它的速度是否大于c?如果是这样,你就可乘坐从飞船上发射的“光子火箭”,去赶上地面上早先发出去的光波,看到过去发生的事件,我们赶上它们的次序正好与当初发送它们的次序相反,地球上发生的一系列事情,看来就会像一部倒映的电影片那样,一切从故事的结局开始.“因果关系”就会颠倒!然而迄今没有任何迹象表明,这样的结论是正确的.1895年,当时在瑞士阿劳州立中学读书的16岁的爱因斯坦就开始思考这个问题,并在10年后的1905年创立了相对论.图1.从飞船上看,光的传播速度是c,从地面上看,它的速度多大?爱因斯坦的相对论有很难懂的名声,但它实际上是相当简单的.相对论之所以难懂,是因为它不合常理,它的基本出发点和结论似乎违背常识.爱因斯坦说:“常识只不过是你18岁之前心中成见的淀积”.因此为了学习相对论,你必须尽量避免成见,积极思考,充分发挥你的想象力.一. 光速不变性 一个看来奇怪,但却为大量精确实验所支持的观念光和电磁波在真空中以光速c运动,现在我们要问:图1中从飞船上向前射出的光,从地面上看它的速度多大?为了回答这个问题,你会想到牛顿力学中的速度合成定律.如图2所示,吉普车以速度v向前运动,枪手朝前射击,子弹的初速是u,我们会说,子弹的速度（以大地作为参考系）是 u=uv. (1) 上式常称为“伽利略-牛顿速度合成公式”. 图2你于是会自然地将上述见解推广到光的情况,光相对于飞船的速度为c,因此根据式（1）,它相对于地面的速度是c+v（这里v是飞船的速度）.然而,物理学家从19世纪末到20初的探索发现,上述将牛顿力学推广应用于电磁现象的企图是行不通的.一个多世纪来,大量实验表明,光的速度相对于飞船来说是c,相对于地面来说还是c.光速与光源的运动速度无关;或者说,真空中的光速在所有惯性系中都是相同的.这个判断称为 “光速不变性”.在20世纪60年代,就有许多物理学家完成了直接测量从高速运动物体上发射的光子速度的实验.例如1966年,一个实验小组在位于瑞士日内瓦郊区的一台大型高能加速器（图3）上,测量了高速运动的介子衰变产生的光子的速度.实验中,介子的速度为0.99975c,按照式(1),其向前发射的光子的速度大约是2c,但是精确的实验结果仍然是c!点击高速运动的质子(p)与原子核碰撞,会产生介子(包括),其中, 介子会衰变为两个光子(2).图3.欧洲联合核子研究所（CERN）高能加速器鸟瞰图.小环显示的加速器周长3km,20世纪60年代建造;大环显示的加速器周长27km,能量更高,20世纪80年代建造.过去的一个多世纪来,许多实验工作者做了大量实验,他们不断地改进测量的精确度,不断地采用了新的实验技术.这些实验都支持光速不变性原理.历史回眸早在1881-1887年,美国年青的物理学家迈克耳孙和莫莱做了一系列实验,观察沿地球公转方向和垂直于公转方向的两束相干光所产生的干涉图样.他们发现, 他们的实验结果不符合牛顿力学中的速度合成公式,但可用光速不变性作出解释.迈克耳孙-莫莱实验有力地支持了爱因斯坦的光速不变性的假设.迈克耳孙也因为他在光速测量上的成就,于1907年成为美国第一位获得诺贝尔物理学奖的人.二.相对论速度变换公式 牛顿力学中的速度合成公式(1)反映了人们的日常经验,但是该式不能反映光速不变这个实验事实.应当有一个更好的理论把两者统一起来. 为此,作为一种尝试,我们可将式(1)作如下形式推广: ,并根据以下两点反映实验事实的条件来确定上式中的x:(1) 当u和vc (或u/c和v/c1)时,要求x1,以便在低速情况下上式可近似地化为式(1); (2)若u=c或v=c,要求由上式可得u=c. 不难发现,若取,上式就能满足上面所说的两个要求.所以既能反映光速不变的实验事实,又能与低速运动情况下日常经验相符的速度合成定律应当表示为. (2)此式常称为“相对论速度合成公式”.当分母中的因子 时,式(2)便化为式(1).可见, 牛顿力学中的速度合成公式（1）仅仅是相对论速度合成公式（2）在低速情况下的一种近似. 练习 (1)说说选取 的道理;(2)证明,当或时,由式(2)可得.三.速度的相对性和绝对性光或电磁波与通常所说的实物都是自然界中客观存在的物质.早在17世纪初,物理学家伽利略首先认识到物体运动的相对性;后来,从19世纪末以来关于光速的精确实验表明,光的速度却是绝对的.式（2）正是一个既能反映实物运动速度的相对性,又能反映电磁波或光运动速度绝对性的速度合成公式.相对论公式(2)与非相对论牛顿力学公式(1)相比,分母上多了一个因子.所以按照相对论,同方向速度u和v合成结果一般比牛顿力学的结果小些.而且随着速度u和v的增加,这种减小效果越来越明显.事实上,牛顿力学速度合成公式(1)存在一个根本性缺陷,即它容许物体的速度达到无限大.无限大的速度意味着物体的运动可以不需要时间并超越空间,这显然在物理上是不合理的.自然界中的任何物体、能量、信息的传递速度只能是有限的.相对论是一个能正确反映自然界中一切物质（包括常见的实物和光或电磁波）运动速度的有限性.【例题】 设想在图(2)中,吉普车(相对于地面)的速度为v=0.8c.如果这时沿吉普车速度方向射出的子弹的速度是u=0.9c.问地面上的观察者测得该子弹的速度u是多少?解: 由式(2)可得.上述示例结果表明,无论相对于那一个参考系来说,任何物体的速度都不会超过光速.在牛顿力学中,物体的速度是没有限止的,可以从较小的速度合成为任何大的速度.相对论则否定了这种可能性,由许多小于光速的运动合成起来,最终的速度仍然不会超过光速c. 可见,光速不仅是自然界的一种物质光或电磁波的运动速度,而且也是自然界一切物体运动速度的极限.拓展联想光速是物质或能量传递速度的一个极限,但并不是一切速度的极限.例如,当探照灯射向云层时,会在云层上看到一个亮点.当地面上的探照灯慢慢转动时,亮点却以极快的速度移动.如果云层足够高,这个亮点的速度就可以超过光速,但这时沿着亮点的轨迹并没有能量的传递.第三节 时间和空间的相对性一列车以极高速度通过某一站台(图.4)时,站台上的人突然看到车厢后面的A先向车厢前面的B开了枪,在极短暂的时间后,B也向A开了枪.因而站台上的人作证,这场枪战是由A挑起的.但是,车上的乘客却提供了相反证词,他们说是B先开了枪,事件是由B挑起的. 到底谁先动手?这可难住了法官! 上述情景在相对论中确实可能发生.图4. 谁先动手?一根尺或一只钟,无论它相对于你是静止的还是运动的,其空间的长度或时间流逝的快慢是相等的.这就是牛顿力学中的空间和时间的绝对性.这个观念与我们的日常经验相符.然而,由精确度极高的实验所支持的光速不变性迫使我们承认,空间和时间不是绝对的,而是相对的.光速不变性是相对论的关键的新概念,相对论的一些看上去非常奇怪的结果都从它而来.点击一百多年来,光速不变性已得到大量精确实验的支持.科学是“求真”的,我们应当通过对自然的不断观察（包括实验）,建立起符合自然本身的观念,而不是始终抱定预先所有的信念.承认自然,承认实践,对科学是一个关键问题.一. 同时的相对性作为光速不变性的一个直接推论,我们通过一个“理想实验”来考察两个“事件”的同时性问题.在这里,事件可以指一个光子对观察仪器的碰撞,或者闪电对地面的打击,还可以指一个婴儿的诞生,或者一个基本粒子的产生或淹灭. 设一列车在一条平直的轨道上飞快地匀速行驶,车厢中央有一光源发出了一次闪光,闪光照到了车厢的前壁与后壁,这是两个事件.对于列车上的观察者来说,车厢是个惯性系,光向前与向后的传播速度都是c,光源又在中央,因此他必然发现闪光将同时到达前后两壁图5(a).点击理想实验在物理学发展过程中起到了很重要的作用.伽利略利用不断减小倾角的斜面实验,建立了惯性定律,为牛顿力学的建立奠定了基础.在相对论和量子力学理论的建立过程中,用到了许多理想实验.图5地面上的观察者对此则有不同看法.根据光速不变性,他认为地面也是一个参考系,闪光向前后的传播速度应当对地面来说才是c.因为列车在前进,当闪光传向车厢前、后两壁的过程中,车厢向前行进了一段距离,所以光向前的传播的路程长些,到达前壁的时刻将晚些图5(b),这两个事件不同时.人们通常认为,如果两个事件在一个惯性系中是同时发生的,则在另一惯性系中一定也是同时发生的.但是根据光速的有限性和不变性,必然会得出如下推论: 发生在不同地点的两个事件,如果在一个惯性系中发现是同时的,则在另一个惯性系中便不再同时.这个结论称为“同时性相对性”.拓展联想对于在不同地点发生的两个事件,不仅同时性是相对的,它们发生的次序也可能是相对的.因此图4所示的情景是可能发生的.二.运动的钟变慢 爱因斯坦对时间的基本看法是,时间是一个物理量,因此是可以测量的,而且正如只有通过测量一块石头或一束光来了解它们的性质那样,人们也只有通过测量时间才能了解时间本身的性质,了解它究竟是“绝对的”还是“相对的”.为了测量时间,应当用真实的、物理的时钟(包括心跳、地球绕太阳的公转、晶体或原子的振动等);于是为了研究时间的性质,就必须研究钟的性质.这样一来,就把我们所要研究问题复杂化了.为了避免复杂化,爱因斯坦设计了一个如图6所示的理想实验,其中所用的钟不含任何运动部件,唯一的运动是光的运动.点击 公元400年,学者奥古斯丁说: “如过你不问我什么是时间,我对它倒还能意会,你一问起我,我就不知道怎么说了.”图6(a)列车中的观察者看到的激光束的路径;(b)地面上的观察者看到的激光束的路径设想有位旅客坐在一列以速度v作匀速直线运动的列车上,他对准竖直上方h高处的一面反光镜打出激光束,对于他以及所有列车上的人来说,这束激光从发出到回到光源位置如图6(a)“滴答”一次的时间间隔为,然而对于地面上的观察者来说,并不认同这一结果.从地面上看,在光传播过程中列车向前行进了一段距离,因此地面上的观察者发现,这只光钟“滴答”一次过程中光束是沿ABC的路径传播的图6(b),它的路程大于2h,但光速仍然是c.因此在他看来,光钟“滴答”一次的时间t长了.进一步应用勾股定理,可得 ,从以上两式消去h可得. (3)注意到.此结果表明:运动的钟变慢了. 如果设想,将列车里的这只光钟搬到地面上,那么同样的讨论可得到如下结果:列车里的观察者发现,这只光钟滴答一次要花费较长时间.可见,地面上的观察者发现按放在列车里的钟变慢了;同样,列车中的观察者发现,按放在地面上的钟变慢了.时间流逝的快慢与观察者的相对运动速度有关,这就是“时间相对性”的含义.在讨论时间相对性时,不存在什么特殊的惯性系,对于所有的惯性系都是“平等的”.思考如果认为光速是无穷大,列车和地面上的观察者分别测得光钟“滴答”一次的时间和t之间存在怎样的关系?拓展联想从地面上看,列车中的钟变慢,这意味着列车中的一切物理、化学过程和生命过程都变慢了,晶体和原子的振荡频率变慢了,化学反应变慢了,人的心跳和新陈代谢也变慢了.但是列车上的人自己并无这种感觉,他们反而认为地面上的时间进程比列车上慢,因为他们看到,地面正以同样速度朝相反方向运动.在宇宙射线和高能加速器实验中,微观粒子的运动速度常常可接近光速,大量精确的实验已证实了相对论的预言:微观粒子运动时,它们的寿命就会延长;且运动速度愈大,寿命愈长.三.运动的尺缩短图6所示的理想实验也可用来说明“空间的相对性”.设地面上放置了一根尺AB,与列车运动方向平行,如图7所示. 现在列车上的观察者可以通过如下步骤来测量地面的尺的长度:当他的光钟的位置恰好与尺的A端重合时,发出光脉冲;当光钟的位置恰好与尺的另一端B重合时,接收到光脉冲,这根尺相对于列车的速度为v(方向向左),因此他认为这根(运动)尺的长度是 对于地面上的观察者来说,根据式(3),他测得列车中光钟通过尺AB两端的时间为t, 因此他认为这根(静止)尺的长度是 .图7拓展联想GPS与相对论:全球卫星定位系统(GPS)利用了从GPS卫星上不断发出的“光尺”,实时测定地面目标的位置.卫星和地面目标的距离,其中c是光速;t是星载原子钟记录的电磁波发射时刻;t是接收机石英钟记录的收到电磁波的时刻.由于GPS卫星以每秒数十公里的速度在运动,为了精确定位,GPS系统设计中必需考虑相对论: 卫星发出的电磁波的速度仍是c; 星载原子钟要变慢,发射前应当按照相对论对其走时快慢进行调整.可见,观察者相对于一根尺的运动速度不同,他们测得它的长度也不同,且有. (4)注意到1,所以.可见,运动的尺缩短了! 如果设想,将地面上的这根尺搬到列车上,那么同样的讨论可知,地面上的人测得这根尺的长度要比列车里的人测得的短些.尺的长度或空间间隔与观察者的相对速度有关, 这就是“空间相对性”的含义.示例1.以的速度运动的钟每天要慢43.2ns;运动的一公里长的尺要短0.5nm.2.以的速度运动的钟每天要慢3.22小时;运动的一公里长的尺要短134m!著名物理学家伽莫夫在他撰写的物理世界奇遇记（剑桥大学出版社,1939年）中说到一个故事,汤普金斯先生在听了相对论的通俗讲座后,昏昏然进入了梦景,到了一座奇境城市,哪儿的光速只有20km/s.于是发生了如图8所示的情景.图8点击1959年,即相对论建立半个多世纪后,才有物理学家指出,“测量得到的”运动物体的长度与“看到的”并不一样,所以图8 中汤普金斯先生看到的情景可能完全不是那样.四.时间和空间的相对性和统一性同时性相对性和运动钟变慢的事实表明,时间(间隔)是相对的;运动尺缩短的事实表明,空间(间隔)是相对的.时间和空间与观察者的相对运动有关,同样两个事件的时间间隔和空间间隔对于不同惯性系来说是不同的.但是相对论发现,时间和空间又是统一的,可用称为“四维时空”的物理量来统一描写两个事件的时空关系.四维时空包括三维空间分量和一维时间分量.相对论可以证明,对于不同惯性系的观察者来说,任何两个事件的四维时空间隔是相同的,绝对的;但是它的空间分量和时间分量是不同的,相对的.第四节 质速关系和质能关系（a）（b）1905年,爱因斯坦的第一篇狭义相对论论文发表后不到三个月,他又补充发表了一篇不到两千字的论文,题为.在德文中懒惰性与惯性是同一个字;活泼性与能量是同一个字. 他的答案是:物体的惰性也就是它的活泼性.他于是得到了被誉为新时代标志之一的著名公式:.由于这个公式,地球上发生了原子弹和氢弹爆炸;同样由于这个公式,地球上已建起了数百座核电站,目前世界上大约1/6的电来自核电站;许多国家正在投入巨资,探索可控核聚变,以便利用这个公式获得更为巨大的能量（图9）.（c）图9(a)第二次世界大战中,落在广岛的原子弹直径只有70cm,长度不到3m,但是它毁灭了这座城市的2/3;(b) 我国新近落成的探索可控核聚变的大型实验装置（超导托卡马克）;(c) 全球核电站分布一.质量的相对性物体的惯性是相对的 爱因斯坦的光速不变原理几乎影响到物理学的每一方面:时间、空间、相对速度等等.相对论也改变了牛顿运动定律.这条定律说:一个物体的加速度a等于施于该物体上的力F除以该物体的质量m.即.这意味着,如果对一个物体施加一个恒力,且由于m不变,该物体便会得到一个不变的加速度,因此物体的速度与时间呈线性正比关系图10(v=at).可见,只要外力作用的时间足够长,物体的速度一定会达到并超过光速（图10中的直线1所示）.可见,牛顿力学最基本的定律牛顿运动定律与相对论不相容,相对论应当改造牛顿定律,使物体不能加速到光速.牛顿定律的这个缺陷与物体的质量m（或惯性）不变的,或者说是“绝对的”这一观念有关.人们通常认为,任何一个物体无论是静止还是运动,它的质量都一样.反之,如果物体的质量（或惯性）是“相对的”,其值随它的运动速度的增加而增加,且当物体的速度增加到接近光速c时,它的质量趋于无穷大,则牛顿运动定律违背光速不变性的问题就可能得到解决.因为如果物体的速度愈大,它的质量或惯性愈大,那么它的加速度愈小,它的速度的增加就愈困难;当物体的速度增加到接近光速c时,它的质量趋于无穷大,因此它的加速度趋于0,从而保证它的速度不会继续增加,以至达到或超过光速（图10中的直线2所示）.因此,在相对论中质量m不再是常量,而是一个与速度有关的量,且物体的速度越大,其质量越大;当速度趋近于光速时,物体的质量将趋于无穷大.物体静止时的质量最小,称为 “静质量”,用m0表示.物体运动时的质量称为 “动