河南省洛阳市中成外国语学校高考数学 正弦定理与余弦定理复习导练.doc

河南省洛阳市中成外国语学校高考数学复习导练：正弦定理与余弦定理【考点分布】正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、解三角形.【考试要求】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.【基础知识】 1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. = =2r（r为 ）;它们的变形形式有：a = ; . 2余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.a2b2c22bccosa；b2 ；c2 .变形形式有： .3三角形的面积公式：（1）saha （ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；absinc acsinb ；【基础练习】1. 在中，则（ ）.(a) (b) (c) (d)52. 在中，则a为（ ）.3.已知三边长，若满足等式，则角c的大小为（ ）.(a) (b) (c) (d) 4.在中，满足条件的三角形有（ ）.(a)0 个 (b)1 个 (c)2个 (d) 3个5. 在中，,则此三角形一定是 .6. 在中，所对的边，已知,则 .【典型例题】题型一：正弦、余弦定理的简单应用例1（1）在中，已知，解三角形；（2）在abc中，已知，求b及a；变式练习：（1）在中，已知,求边.（2）在abc中，已知，解三角形题型二：判定三角形的形状问题例2 在abc中，分别表示三个内角的对边，如果=,试判断三角形的形状.变式练习：1在abc中，若2cosbsinasinc，则abc的形状一定是（ ）（a）等腰直角三角形(b)直角三角形(c) 等腰三角形(d)等边三角形2. 在abc中，如果，且b为锐角，试判断此三角形的形状.题型三： 正、余弦定理的综合应用例3 在abc中，a、b、c分别是a、b、c的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求a的大小及的值.变式练习：的三个内角为，求当a为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.1. （2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 2（2009浙江文）在中，角所对的边分别为，且满足，（i）求的面积； （ii）若，求的值【争分夺秒】1. 在（ ）2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）（a） 锐角三角形（b） 直角三角形（c） 钝角三角形（d） 锐角或钝角三角形3. 在中，则三角形为（ ） （a） 直角三角形（b） 锐角三角形 （c）等腰三角形（d）等边三角形4. 在中，则是（ ） （a）锐角三角形（b）直角三角形 （c）钝角三角形（d）正三角形5. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（ ） （a）52（b）（c）16（d）4 6如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）.(a) 和都是锐角三角形(b) 和都是钝角三角形(c) 是钝角三角形，是锐角三角形(d) 是锐角三角形，是钝角三角形7. 在中，则_，_8. 在中，化简_ 9. 在中，已知，则_10. 在中，a、b均为锐角，且，则是_.11. 已知在中，解此三角形.12. 在四边形abcd中，四个角a、b、c、d的度数的比为3:7:4:10，求ab的长. 13. （2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（i）求的值；（ii）若，求的值。14.（2009全国卷理）在中，内角a、b、c的对边长分别为、，已知，且 求b15. 已知的外接圆半径是，且满足条件（1）求角c.（2）求面积的最大值. 27正弦定理、余弦定理(教案)【教学目标】1通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。【重点】合理选用正、余弦定理进行边角互化解三角形【难点】如何选用两个定理 【基础知识】 1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.（r为外接圆半径）;它们的变形形式有：a = 2r sina;【感悟】在中，“”是“”的什么条件？答：在中，,所以是的充要条件. 2余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.a2b2c22bccosa；b2c2a22cacosb；c2a2b22abcosc.变形形式有：.3三角形的面积公式：（1）sahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；absincbcsinaacsinb2r2sinasinbsinc；【感悟】三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形哪些自身的特点？答：（1）角的变换因为在abc中，a+b+c=，所以sin(a+b)=sinc；cos(a+b)=cosc；tan(a+b)=tanc. ；（2）在abc中，熟记并会证明：a，b，c成等差数列的充分必要条件是b=60；abc是正三角形的充分必要条件是a，b，c成等差数列且a，b，c成等比数列.【基础练习】 1. 在中，则（ c ）.(a) (b) (c) (d)52. 在中，则a为（ a ）解析： ,答案为a.3.已知三边长，若满足等式，则角c的大小为（ c ）.(a) (b) (c) (d) 4.在中，满足条件的三角形有（ a ）.(a)0 个 (b)1 个 (c)2个 (d) 3个5. 在中，,则此三角形一定是 .解析：由正弦定理所以答案：等腰三角形.6. 在中，所对的边，已知,则 .解析： 答案：【典型例题】题型一：正弦、余弦定理的简单应用例1（1）在中，已知，解三角形；（2）在abc中，已知，求b及a.【审题要津】已知三角形的两边及一边的对角应选用正弦定理，已知三角形的两边及其夹角应选用余弦定理.解析：（1）根据根据正弦定理，；当时，,;当时，,;所以，或，（2）=cos=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即【题后反思】应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形.变式练习：（1）在中，已知,求边.（2）在abc中，已知，解三角形解析：（1）,根据正弦定理，（2）由余弦定理的推论得：cos；cos；题型二：判定三角形的形状问题例2 在abc中，分别表示三个内角的对边，如果=,试判断三角形的形状.【审题要津】合理根据条件利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，将边角关系转化边边关系或角角关系.解：方法一：已知等式可化为 ,由正弦定理，即,所以可得：,即abc为等腰或直角三角线.方法二：同方法一可得，由正弦定理可得：即所以 故abc为等腰或直角三角线.【题后反思】判定三角形的形状通常可以从角、或从边两种角度加以正弦定理或余弦定理为工具进行推理论证.变式练习：1在abc中，若2cosbsinasinc，则abc的形状一定是（ ）（a）等腰直角三角形(b)直角三角形(c) 等腰三角形(d)等边三角形答案：c解析：2sinacosbsin（ab）sin（ab）又2sinacosbsinc，sin（ab）0，ab点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径2. 在abc中，如果，且b为锐角，试判断此三角形的形状.解：由，由b为锐角,由，得所以由正弦定理得.所以故，故abc为等腰直角三角形.题型三： 正、余弦定理的综合应用例3 在abc中，a、b、c分别是a、b、c的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求a的大小及的值.【审题要津】 因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求a，需找a与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。解法一：a、b、c成等比数列，b2=ac.又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc.在abc中，由余弦定理得：cosa=，a=60.在abc中，由正弦定理得sinb=，b2=ac，a=60，=sin60=。解法二：在abc中，由面积公式得bcsina=acsinb.b2=ac，a=60，bcsina=b2sinb. =sina=.【题后反思】 解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理. 变式练习：1. （2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 答案 2， 解：设由正弦定理得由锐角得，又，故，2（2009浙江文）在中，角所对的边分别为，且满足 （i）求的面积； （ii）若，求的值解：（）又，而，所以，所以的面积为：（）由（）知，而，所以所以点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力1. 在（ b ）解析：由题意及正弦定理可得 答案：b 2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ a ） （a） 锐角三角形（b） 直角三角形 （c） 钝角三角形（d） 锐角或钝角三角形解析：长为6的边所对角最大，设它为 则答案：a 3. 在中，则三角形为（ c ） （a） 直角三角形（b） 锐角三角形 （c）等腰三角形（d）等边三角形解析：由余弦定理可将原等式化为 答案：c4. 在中，则是（ c ） （a）锐角三角形（b）直角三角形 （c）钝角三角形（d）正三角形解析： 原不等式可变形为, 答案：c5. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（ b ） （a）52（b）（c）16（d）4 解析：由题意得或2（舍去） 答案：b6如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）.(a) 和都是锐角三角形(b) 和都是钝角三角形(c) 是钝角三角形，是锐角三角形(d) 是锐角三角形，是钝角三角形解析：的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由，得，那么，所以是钝角三角形。故选d.答案:d7. 在中，则_，_ 解析：又8. 在中，化简_ 解析：利用余弦定理，得原式答案： 9. 在中，已知，则_解析：由正弦定理得 设1份为k，则再由余弦定理得 答案： 10. 在中，a、b均为锐角，且，则是_.钝角三角形 解析：由得 a、b均为锐角， 而在上是增函数 即 11. 已知在中，解此三角形。 解：由正弦定理得： , 当时，, , 12. 在四边形abcd中，四个角a、b、c、d的度数的比为3:7:4:10，求ab的长。 解析：设四个角a、b、c、d的度数分别为3x、7x、4x、10x则有， 解得 连bd，在中，由余弦定理得： ， 是以dc为斜边的直角三角形 ， 13. （2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（i）求