上海市金山区山阳镇九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.2 圆的基本性质课件 （新版）沪科版.ppt

九年级 下册 初中数学 24 2 2圆的基本性质 知识回顾 1 如图所示 ab是 o的直径 ac是弦 o a b c 1 若 b 40 则 aoc 2 若 aoc 70 则 b 2 如图所示 在 abc中 c 90 1 ab 10 bc 6 则ac 2 ac 6 bc 2 则ab 80 35 8 问题 你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗 赵州桥主桥拱的半径是多少 o 观察现象 o 观察现象 o 观察现象 o 观察现象 o 观察现象 o 观察现象 o 观察现象 o 观察现象 o 观察现象 o 观察现象 o 观察现象 o 观察现象 o 观察现象 o 观察现象 你能得到什么结论 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 它有无数条对称轴 圆的对称性及特性 圆也是中心对称图形 它的对称中心就是圆心 用旋转的方法可以得到 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度 都能与原来的图形重合 这是圆特有的一个性质 圆的旋转不变性 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 ab是 o的一条弦 作直径cd 使cd ab 垂足为e 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 a b d c o e 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 ab是 o的一条弦 作直径cd 使cd ab 垂足为e 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 a b d c o e 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 ab是 o的一条弦 作直径cd 使cd ab 垂足为e 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 a b d c o e 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 ab是 o的一条弦 作直径cd 使cd ab 垂足为e 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 a b d c o e 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 ab是 o的一条弦 作直径cd 使cd ab 垂足为e 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 a b d c o e 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 ab是 o的一条弦 作直径cd 使cd ab 垂足为e 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 a b d c o e 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 ab是 o的一条弦 作直径cd 使cd ab 垂足为e 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 a b d c o e 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 ab是 o的一条弦 作直径cd 使cd ab 垂足为e 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 a b d c o e 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 ab是 o的一条弦 作直径cd 使cd ab 垂足为e 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 a b d c o e 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 ab是 o的一条弦 作直径cd 使cd ab 垂足为e 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 a b d c o e 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 ab是 o的一条弦 作直径cd 使cd ab 垂足为e 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 a b d c o e 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 ab是 o的一条弦 作直径cd 使cd ab 垂足为e 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 a b d c o e 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 ab是 o的一条弦 作直径cd 使cd ab 垂足为e 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 a b d c o e 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 ab是 o的一条弦 作直径cd 使cd ab 垂足为e 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 a b d c o e a 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 a b d c o e a 2 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所 对的两条弧 垂径定理垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 cd 弦ab 如图 cd是 o的直径 o中 cd经过点o am bm am bm 符号语言 o a b d c o e a b c o d a b c o d a b c 应用垂径定理的几个基本图形 请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论 o 探究 a b d c e 如图 若直径cd平分弦ab交ab于e时 你认为都有哪些结论成立 a b d c o e a b o e c d ab是弦 但不能是直径时 才有垂直ab 平分ab所对的两条弧 o a b c d e 推论 垂径定理及其的推论 直线cd 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对的劣弧 5 平分弦所对的优弧以上五个中只要符合两个条件 就能得到其它三个结论 定理辨析 判断下列图形 能否使用垂径定理 注意 定理中的两个条件 直径 垂直于弦 缺一不可 定理辨析 1 填空 如图 在 o中 1 若mn ab mn为直径 则 2 若ac bc mn为直径 ab不是直径 则 3 若mn ab ac bc 则 4 若am bm mn为直径 则 练习 2 判断 1 垂直于弦的直线平分弦 并且平分弦所对的弧 2 弦所对的两弧中点的连线 垂直于弦 并且经过圆心 3 圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 4 平分弦的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 5 圆内两条非直径的弦不能互相平分 问题 你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗 赵州桥主桥拱的半径是多少 d c 的中点 cd就是拱高 ab 37 4 cd 7 2 ad 18 7 设oa oc r od oc cd r 7 2 在rt aod中 oa2 ad2 od2 即r2 18 72 r 7 2 2解得r 27 9 因此 赵州桥的主桥拱的半径约为27 9米 例1 如图所示 已知ab是 o的弦 oc ab于c 且ab 8 oc 3 求 o的半径 o a c b 练习 1 如图 o的半径为8 oc 弦ab于c 且oc 6 求弦长ab 2 如图 o的半径为6 弦ab 8 求圆心o到ab的距离 o a c b o a c b 例2 如图 已知在圆o中 弦ab的长为8 圆心o到ab的距离为3 求圆o的半径 变式1 在半径为5 的圆o中 有长8 的弦ab 求点o与ab的距离 2 在半径为5 的圆o中 圆心o到弦ab的距离为3 求ab的长 例3已知 如图 在以o为圆心的两个同心圆中 大圆的弦ab交小圆于c d两点 ac与bd相等吗 为什么 p 注意 解决有关弦的问题 过圆心作弦的垂线 或作垂直于弦的直径 也是一种常用辅助线的添法 例5 某居民区一处圆形下水管道破裂 修理人员准备更换一段新管道 如图所示 污水水面宽度为60cm 水面至管道顶部距离为10cm 问修理人员应准备半径多大的管道 o 如图 m为 o内的一点 利用尺规作一条弦ab 使ab过点m 并且am bm a b 例4 变式 如图 过 o内一点p 作 o的弦ab 使它以点p为中点 解 过 点作 并延长 交 于 连接 垂径定理和勾股定理相结合 构造直角三角形 把圆的问题化归为直线形问题解决 o 思考 在例2中 我们已计算出 的半径 cm 如果水面宽度由60cm变为80cm 那么污水面下降了多少cm o 两弦在圆心同旁 两弦在圆心两旁 cm cm 作垂径 连半径 构造直角三角形 注意圆的对称性 拓展 1 如图 ab cd是 o的两条平行弦 ac与bd相等吗 为什么 2 在半径为5cm的 o中 弦ab cd 且ab 6cm cd 8cm 求ab cd之间的距离 3 如图 c 90 c与ab交于点d ac 5 cb 12 求ad的长 四 圆的问题可以化归为直线型问题解决 这是一种研究数学的重要思想 二 垂径定理 一 圆是轴对称图形 其对称轴是 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的弧 三 垂径定理和勾股定理相结合 构造直角三角形 可解决计算弦长 半径 圆心到弦的距离等问题 任意一条过圆心的直线 或直径所在直线 小结 练习1 如图 o的直径是10 弦ab的长为8 p是ab上的一个动点 则op的求值范围是 使线段op的长度为整数值的p点位置有个 p1 p2 c 注意圆的轴对称性 3 op 5 5 2 以矩形abcd的边 为直径的 交 于e f de 1cm ef 3cm 则ab 3 如上图 o的直径是10 线段op的长为3 则过点p的所有弦中 最大弦长为 最短弦长为 弦长为整数的有条 连半径 构造直角三角形 4 cd为 o的直径 弦ab cd于点e ce 1 ab 10 求cd的长 c d 5 如图 oa ob ab交 o与点c d ac与bd是否相等 为什么 6 在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后 其横截面如图 若油面宽ab 600mm 求油的最大深度 7 如图 在 o中 ab ac为互相垂直且相等的两条弦 od ab于d oe ac于e 求证四边形adoe是正方形 证明 四边形adoe为矩形 又 ac ab ae ad 四边形adoe为正方形 巩固训练 1 判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中 如果一条直线经过圆心且平分弦 必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线 将弦所对的两条弧分别三等分