第五节 度量空间的完备化.doc_第1页
第五节 度量空间的完备化.doc_第2页
第五节 度量空间的完备化.doc_第3页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

第五节 度量空间的完备化 ；第六节 压缩映射原理及其应用 （2学时）一 教学要求1 了解完备化定理，能够证明度量空间的完备性；2 掌握压缩映射原理，并了解它在分析和方程研究中的应用。二 教学重点掌握压缩映射原理及其应用。三 教学过程1 度量空间的完备化我们知道直线上有理数集Q作为R的子空间不是完备的，当在Q中加上“无理数”，它就成为完备的度量空间R，并且Q在R中稠密。下面我们要考虑：是否每一个不完备的度量空间都可以“扩大”，使其成为一个完备的度量空间的稠密子空间呢？首先介绍几个概念：定义：设是两个度量空间，如果存在到上的保距映射，则称和等距同构，此时成为到上的等距同构映射。在泛函分析中，往往把两个等距同构的度量空间视为同一的。定理（度量空间的完备化定理）设是度量空间，那么一定存在一完备度量空间，使与的某个稠密子空间等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即：若也是一完备的度量空间，且与的某个稠密子空间等距同构，则与等距同构。如果把两个等距同构的度量空间视为同一，的上述定理可以阐述为：定理：设是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间，使得为的稠密子空间。（事实上，做 到自身的恒等映射，即为一等距同构）例：证明与的一个子空间等距同构。证明：是有界数列的全体，令，是定义在上连续函数全体 对于，有： 对于，有： 取子空间：如下： ；其余为折线（线性函数）。 则。 做映射： 则有： 则得证。第六节 压缩映射原理及其应用定义：设是到中的映射，如果存在一个数，使得对所有的，成立： （1）则称是压缩映射。压缩映射的几何意义是：原象两点经过映射后，他们象的距离缩短了。定理（压缩映射定理）设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么有且只有一个不动点（即：方程有且只有一个解）。例如：定义在之间的连续压缩映射，如图： 1 0 1 证明：设是中任意一点。令。我们证明点列是中的柯西点列。事实上， （2）由三点不等式，当时， 因为，所以，于是得到： （3）所以当时，。即为柯西点列。由的完备性，则存在，使，又由三点式和条件（1），有： 则当时，上式趋于0，所以，即。下证唯一性。如果有，使，则由条件（1），有： 因为，所以只有。下面介绍定理的应用：定理：设函数在带状域： 中处处连续，且处处有关于的偏导数。如果还存在常数和，满足 则方程在区间上必有唯一的连续函数作为解： 证明：见书，略。定理：设是矩形： 上的二元连续函数，设，又在上关于满足条件，即存在常数，使对任意的，有 ， 那么方程在区间上有唯一的满足初始条件的连续函数解，其中 。证明：略。例：设 为完备度量空间，是到中映射，记 若，则映射有
人人文库> 全部分类> 应用文书 > 技术指导

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论