江西乐安一中高二数学 32球培优教案.doc

江西乐安一中高二数学 32球培优教案基础知识学习指导1.关于球的截面的有关性质.用一个平面去截一个球,截面是圆面.若截面圆过球心，则称为球大圆，同一个球的两个球大圆互相平分；若截面圆不过球心，则称为球小圆，与球心距离相等的球小圆相等，与球心距离不等的球小圆不等，距离近的球小圆较大.2.如何求球面距离？球面距离是球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.要求球面上任意两点的球面距离，一般步骤是：（1）计算线段ab的长度；（2）计算对球心o的张角；（3）计算大圆弧ab (劣弧)的长.3.数学上的经度和纬度是如何规定的?数学上的经度:零度经线所在平面与另一条经线所在平面所成的二面角的平面角度数.经度之差是两条经线所在平面所成的二面角的平面角的度数.数学上的纬度:地球上某点与球心的连线与赤道所在平面所成角的度数.所以数学上的经度,纬度实质上就是前面学习过的二面角和线面成角的应用.如图10-1.例题精析 例1. a, b两地都在北纬的球面上,它们的经度相差,求a, b两地的球面距离.(地球半径为r).分析要求球面距离,根据定义,要先求a,b两点间线段的长,再求的大小,最后利用弧长公式,求所对的劣弧的长.如图10-2,先将北纬的纬线圈的半径求出.解 在. a, b的经度相差, .则a, b两点的球面距离为.解题后的点拨在求有关经度,纬度以及球面距离的问题时,同学们首先要弄清楚概念的含义,要会识图,找到有关角度的位置,才能求对.例2.有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体的各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.分析要想求三个球的表面积之比,就要求出三个球的半径之比,而三个球分别与正方体有不同的位置关系,可以找到球半径与正方体棱长之间的关系,从而得到三个球半径之间的关系.解如图10-3,正方体与球o不同的位置关系,得到截面的情形:设正方体的棱长为a.球与正方体内切,球的直径为正方体棱长，半径,球与正方体的各条棱都相切,球的直径为正方体的面对角线长，半径.球过正方体各个顶点时,球的直径为正方体的体对角线长,半径.表面积之比解题后的点拨解决球与多面体的切与接的问题时,特别应注意截面的选取,寻找多面体与球的几何元素之间的相互关系,将空间问题转化为平面问题解决.例3.一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在这容器内注入水,并且放入一个半径为r的铁球,这时水面恰好和球面相切,如图10-4,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水平面的高是多少?分析若求水平面的高,需先求出水的体积,由题意,不难发现,有这样一个等式成立,.解设球未取出水面高pc,即为圆锥高h,球取出后水面高ph=x. 圆锥轴截面为正三角形. . 球取出后,水面下降到ef,水的体积为:解得球取出后水面高为.解题后的点拨利用体积作桥梁,解决问题,是立体几何中常用的方法.即对于一个几何体,用不同的元素表示它的体积,建立起几何体中某些元素的关系.巩固提高一 .选择题:1.过球面上两点可能作球的大圆个数是( )(a)有且只有一个 (b)一个或无数多个(c)无数多个 (d)不存在这种大圆2.三个球半径之比是1:2:3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )(a)倍 (b)倍 (c)2倍 (d)3倍3.将半径为r的五个球中的四个球放在桌面上,使每相邻的两球相切,第五个球放在这四个球上,使它与此四个球都相切,则第五个球的球心到桌面的距离为( )(a) (b) (c) (d)4.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍,则圆锥的侧面面积和球的面积之比为( ) (a)4:3 (b)3:1 (c)3:2 (d)9:45.一个球的外切正方体的全面积等于,则此球的体积等于( )(a) (b) (c) (d) 三.选择题:6. 在北纬的圆上,有甲, 乙两地, 它们的纬圆上的弧长等于, r为地球半径, 则这两个地点间的球面距离是( )(a) (b) (c) (d)四.填空题:7.两球面积之差为,它们的大圆周长之和为30cm,两球的直径之差为_. 8.设地球半径为r,北纬的纬线夹在西经与东经之间的纬线长为_,所夹两点间的球面距离是_.9.(91全国高考试题)在球面上有四个点p, a, b,c,如果pa, pb, pc两两互相垂直,且pa=pb=pc=a,那么这个球面的面积是_.10.如果一个圆柱,一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径,则圆柱,球,圆锥的体积之比为_.11.一球与边长为a的正方体的各棱相切, 则球的体积为_.五.解答题:12.b地在东经北纬,a地在东经北纬,求a, b两地间的球面距离（r=6370，精确到百分位）13.正三棱锥的高为1,底面边长为,内有一个球和四个面都相切,(1)求棱锥的全面积,(2)求球的半径.14.已知一个半径为r的球,内接一四棱锥,各侧棱与底面都成角,底面是两条对角线夹角为的矩形,求四棱锥体积.15.用两个平行平面去截半径为r的球面上截面圆半径为, 两截面间的距离为求球的表面积.16.在面积为的球内有两个平行截面, 其面积分别为和, 球面在这两个平行截面间的部分叫球带, 求这个球带的面积s.自我反馈一 .选择题:1. b.如果这两点是球的直径两端点时,与球心共线,可作大圆无数个,如果这两点不是球的直径两端点时,与球心不共线,只可确定一个平面,作一个大圆.2. b.设三个球半径分别为,则球面积分别为,最大球表面积为其余两个球表面积的倍.3. a. 由五个球心构成一个四棱锥,且每条棱长都是.高为,距桌面距离再加上r.4. c. 如图10-5,球的外切圆锥的轴截面是,设球的半径为r,圆锥母线为l, 高为h,底面圆半径为r.由已知.为正三角形. 5. c. 设正方体的棱长为a,则内切于正方体的球的半径为, 球的半径为. 6. b.由题意, 甲, 乙两地在纬线圈上相应的圆心角, 由得, .甲, 乙两地在纬线上的直径端点上.甲, 乙两地在相应的大圆上的圆心角为.过甲, 乙两地大圆的劣弧长为二.填空题:7.2cm. 设两球半球分别为,且(),由题意 得 ,直径之差为2cm.8.如图10-6.北纬的纬线圈的半径,夹在西经与东经的纬线圈的圆心角的度数为,纬线圈长度由弧长公式可知为,ab的弦长r,所对球心角.a,b两点间球面距离为.9.可将pa,pb,pc看成球内接正方体从一个顶点引出的三条棱,正方体的对角线即为球的直径,对角线长,10.3:2:1.设球的半径为r,则圆柱与圆锥底面直径和高均为2r,则,.11.由已知得,正方体相对棱之间的距离为球直径2r, 则有三.解答题:12.解:如图10-7，设60纬度圈为o2，30纬度圈为o1，过b作bh面o1于h，在在中, 在中，由余弦定理得 在 l =13.解:如图10-8,过a作底面bcd于h,连结bh延长交cd于e,则,连结ae,由三垂线定理,连结球心o和球与正三棱锥的一个切点f.正三棱锥a-bcd,h为底面的中心. ,即 =, 设球半径为r 14.解:如图10-9,设o为球心,为底面圆心,是两对角线交点,三点共线,过o作于e.底面,.,e为vc中点, ,在中, 15.设垂直于截面的大圆而交两截面圆于,上述大圆的垂直于的直径交, 于设则解得16.(1)当球心在两截面之外时过球心o作垂直于两个平行截面的直径mn和两个截面分别相交于是两个平行截面的直径, 则是两截面的圆心,则由已知得:球半径 截面半径: (2)当球心夹在两截面之间. 走向高考1.(98全国高考试题)球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这3个点的小圆的周长为,那么这个球的半径为( )(a) (b) (c)2 (d) 2.(91上海高考试题)圆柱形容器的内壁底半径为5cm,两个直径为的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器内的水面将下降_.解答:1. b.设球半径为r,小圆半径为r,则.设三点为a,b,c, o为球心,为等边三角形,边长为r.r为的外接圆半径,. 2. .设取出小球后,容器水面将下降.两小球体积为,此体积即等