高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 最大值与最小值课件 苏教版选修22.ppt

1 3 3最大值与最小值 第1章1 3导数在研究函数中的应用 1 理解最值的概念 了解最值与极值的区别 2 会用导数求在给定区间上函数的最大值 最小值 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一函数最值的概念如果在函数f x 定义域i内存在一点x0 使得对任意的x i 总有 那么称f x0 为函数的定义域上的最大值 如果在函数f x 定义域i内存在一点x0 使得对任意的x i 总有 那么称f x0 为函数在定义域上的最小值 答案 f x f x0 f x f x0 思考函数的极值与最值的区别是什么 答案函数的最大值和最小值是一个整体性概念 最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值 最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值 函数的最大值 最小值是比较整个定义区间的函数值得出的 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 函数的极值可以有多个 但最值只能有一个 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点取得 有极值的未必有最值 有最值的未必有极值 极值有可能成为最值 最值只要不在端点必定是极值 当连续函数f x 在开区间 a b 内只有一个导数为零的点时 若在这一点处f x 有极大值 或极小值 则可以判定f x 在该点处取得最大值 或最小值 这里 a b 也可以是无穷区间 答案 知识点二求函数的最值1 求f x 在区间 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在区间 a b 上的极值 2 将 1 中求得的与比较 得到f x 在区间 a b 上的最大值与最小值 2 函数在开区间 a b 的最值在开区间 a b 内连续的函数不一定有最大值与最小值 若函数f x 在开区间i上只有一个极值 且是极大 小 值 则这个极大 小 值就是函数f x 在区间i上的最大 小 值 答案 极值 f a f b 思考 1 函数f x 在 1 2 上有最值吗 答案没有 2 函数f x lnx在 1 2 上有最值吗 答案有最大值ln2 最小值0 答案 返回 题型探究重点突破 解析答案 题型一求函数的最值例1求下列各函数的最值 1 f x x4 2x2 3 x 3 2 解f x 4x3 4x 令f x 4x x 1 x 1 0 得x 1 x 0 x 1 当x变化时 f x 及f x 的变化情况如下表 当x 3时 f x 取最小值 60 当x 1或x 1时 f x 取最大值4 解析答案 2 f x x3 3x2 6x 2 x 1 1 解f x 3x2 6x 6 3 x2 2x 2 3 x 1 2 3 f x 在 1 1 内恒大于0 f x 在 1 1 上为增函数 故x 1时 f x 最小值 12 x 1时 f x 最大值 2 即f x 的最小值为 12 最大值为2 反思与感悟一般地 在闭区间 a b 上的连续函数f x 必有最大值与最小值 在开区间 a b 上的连续函数f x 不一定有最大值与最小值 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1设函数f x ax3 bx c a 0 为奇函数 其图象在点 1 f 1 处的切线与直线x 6y 7 0垂直 导函数f x 的最小值为 12 1 求a b c的值 解 f x 为奇函数 f x f x 即 ax3 bx c ax3 bx c c 0 f x 3ax2 b的最小值为 12 a 0 b 12 又直线x 6y 7 0的斜率为 因此f 1 3a b 6 故a 2 b 12 c 0 解析答案 2 求函数f x 的单调递增区间 并求函数f x 在 1 3 上的最大值和最小值 当x 3时 f x 取得最大值为18 解析答案 题型二含参数的函数的最值问题例2已知a是实数 函数f x x2 x a 求f x 在区间 0 2 上的最大值 反思与感悟 解f x 3x2 2ax f x 在 0 2 上单调递增 从而f x max f 2 8 4a f x 在 0 2 上单调递减 从而f x max f 0 0 反思与感悟 反思与感悟 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化 从而导致最值的变化 所以解决这类问题常常需要分类讨论 并结合不等式的知识进行求解 解析答案 跟踪训练2a为常数 求函数f x x3 3ax 0 x 1 的最大值 解f x 3x2 3a 3 x2 a 若a 0 则f x 0 函数f x 单调递减 当x 0时 有最大值f 0 0 解析答案 则当0 x 1时 f x 0 函数f x 在 0 1 上单调递增 当x 1时 f x 有最大值f 1 3a 1 综上可知 当a 0 x 0时 f x 有最大值0 当a 1 x 1时 f x 有最大值3a 1 解析答案 题型三函数最值问题的综合应用例3已知函数f x x3 ax2 bx c在x 与x 1处都取得极值 1 求a b的值与函数f x 的单调区间 解对f x x3 ax2 bx c求导 得f x 3x2 2ax b f x 3x2 x 2 3x 2 x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 解析答案 2 若对x 1 2 不等式f x c2恒成立 求c的取值范围 而f 2 2 c 则f 2 2 c为最大值 要使f x c2 x 1 2 恒成立 只需c2 f 2 2 c 解得c 1或c 2 c的取值范围是 1 2 反思与感悟 反思与感悟 由不等式恒成立求参数的取值范围是一种常见的题型 这种题型的解法有很多 其中最常用的方法就是分离参数 将其转化为函数的最值问题 在求函数最值时 可以借助导数来求解 解析答案 跟踪训练3设函数f x 2x3 9x2 12x 8c 1 若对任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范围 解 f x 6x2 18x 12 6 x 1 x 2 当x 0 1 时 f x 0 当x 2 3 时 f x 0 当x 1时 f x 取极大值f 1 5 8c 又f 3 9 8c f 1 x 0 3 时 f x 的最大值为f 3 9 8c 对任意的x 0 3 有f x c2恒成立 9 8c c2 即c 1或c 9 c的取值范围为 1 9 当x 1 2 时 f x 0 解析答案 2 若对任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范围 解由 1 知f x f 3 9 8c 9 8c c2 即c 1或c 9 c的取值范围为 1 9 例4求函数f x x3 2x2 1在区间 1 2 上的最大值与最小值 易错易混 求最值时因忽略极值与区间端点值的对比致误 解析答案 返回 防范措施 错解由已知得f x 3x2 4x 当x 1 0 时 f x 0 f x 单调递增 函数f x 在x 0处取得最大值f 0 1 错因分析求出函数的极值后 要与区间端点的函数值进行比较后方可确定函数的最值 否则会出现错误 解析答案 防范措施 正解由已知得f x 3x2 4x 当x 1 0 时 f x 0 f x 单调递增 函数f x 在x 0处取得极大值f 0 1 又f 1 2 f 2 1 函数f x 的最大值是1 最小值是 2 防范措施 若连续函数y f x 在 a b 上为单调函数 则其最值必在区间端点处取得 若该函数在 a b 上不单调 即存在极值点 则最值可能在端点处取得 也可能在极值点处取得 返回 防范措施 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 函数y f x 在区间 a b 上的最大值是m 最小值是m 若m m 则f x 0 填 或 或 解析据题f x 为常数函数 故f x 0 解析答案 1 2 3 4 5 2 函数f x x3 3x 1在闭区间 3 0 上的最大值 最小值分别是 解析f x 3x2 3 令f x 0 即3x2 3 0 解得x 1 当x 1 时 f x 0 当x 1 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 所以f x 在x 1处取得极大值 f x 极大值 3 在x 1处取得极小值 f x 极小值 1 而端点处的函数值f 3 17 f 0 1 比较可得f x 的最大值为3 最小值为 17 3 17 1 2 3 4 5 3 函数f x x3 3x x 1 填 有 或 无 最大值 解析f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当x 1 1 时 f x 0 所以f x 在 1 1 上是单调递减函数 无最大值和最小值 解析答案 无 解析答案 1 2 3 4 5 解析f x ex sinx cosx 解析答案 1 2 3 4 5 5 已知f x 2x3 6x2 a a为常数 在 2 2 上有最小值3 那么f x 在 2 2 上的最大值是 解析令f x 6x2 12x 0 解得x 0或x 2 当x 2 0 时 f x 0 当x 0 2 时 f x 0 x 2 0 2对应的f x 的值分别为a 40 a a 8 因为a 40 a 8 a 所以a 40为最小值 a为最大值 则a 40 3 a 43 故f x 在 2 2 上的最大值是43 43 课堂小结 返回 1 求解函数在固定区间上的最值 在熟练掌握求解步骤的基础上 还需注意 对函数进行