高考数学140分必读之把关题解析30讲(1.pdf

高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 1 页 共 42 页 1 1 1 1 重庆一模 重庆一模 21 12 分 已知抛物线 椭圆和双曲线都经过点 1 2M 它们在x轴上有共同焦点 椭圆和双曲线的对称轴是 坐标轴 抛物线的顶点为坐标原点 求这三条曲线的方程 已知动直线l过点 3 0P 交抛物线于 A B两点 是否存在垂直于x轴的直线l 被以AP为直径的圆截得的 弦长为定值 若存在 求出l 的方程 若不存在 说明理由 21 12 分 解 设抛物线方程为 2 20ypx p 将 1 2M代入方程得2p 2 4yx 抛物线方程为 1 分 由题意知椭圆 双曲线的焦点为 2 1 1 0 1 0 FF c 1 2 分 对于椭圆 22 2 12 21 121 1422 2aMFMF 2 2 222 22 12 1232 2 22 2 1 32 222 2 a a bac xy 椭圆方程为 4 分 对于双曲线 12 22 22aMFMF 2 222 22 21 32 2 2 22 1 32 22 22 a a bca xy 双曲线方程为 6 分 设AP的中点为C l 的方程为 xa 以AP为直径的圆交l 于 D E两点 DE中点为H 令 11 11 3 22 xy A x y C 7 分 2 2 11 1 1 11 3 22 31 23 22 DCAPxy x CHaxa 2 2222 2 111 2 1 2 11 323 44 23 2462 22 2 2 DHDCCHxyxa axaa aDH DEDH lx 当时 为定值 为定值 此时 的方程为 12 分 22 14 分 已知正项数列 n a中 1 6a 点 1 nnn Aaa 在抛物线 2 1yx 上 数列 n b中 点 nn Bn b在过 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 2 页 共 42 页 点 0 1 以方向向量为 1 2的直线上 求数列 nn ab的通项公式 若 n n a f n b n为奇数 n为偶数 问是否存在kN 使 274f kf k 成立 若存在 求出k值 若不存 在 说明理由 对任意正整数n 不等式 1 12 0 2111 111 nn n n aa na bbb 成立 求正数a的取值范围 22 14 分 解 将点 1 nnn Aaa 代入 2 1yx 中得 11 1 11 1 15 21 21 nnnn n n aaaad aann l yxbn 直线 4 分 5 21 n f n n n为奇数 n为偶数 5 分 27274 2754 21 4 27 35 227145 2 4 kkf kf k kkk kk kkk k 当 为偶数时 为奇数 当 为奇数时 为偶数 舍去 综上 存在唯一的符合条件 8 分 由 1 12 0 2111 111 nn n n aa na bbb 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 3 页 共 42 页 12 12 121 1 1111 111 23 1111 111 23 11111 11111 25 1 23123 2424 1 232525 n n nn n a bbbn f n bbbn f n bbbbn f n nnnn f nbnnn 即 记 2 2 min 2523 41616 1 41615 1 144 5 1 3155 4 5 0 15 nn nn nn f nf nf n f nf a 由 4y4x 0 x x 2 2 y 22 解得 3 6 y 3 32 x 点 E 的坐标为 3 6 3 32 OEON2 综上 OEON2 的充要条件是3 AB 12 分 22 本小题满分 本小题满分 14141414 分 分 已知函数 24 1 x f x Rx 1 试证函数 x f的图象关于点 4 1 2 1 对称 2 若数列 a n 的通项公式为 m 2 1n Nm m n fan 求数列 a n 的前 m 项和 Sm 3 设数列 b n 满足 3 1 b1 n 2 n1n bbb 设 1b 1 1b 1 1b 1 T n21 n 若 2 中的 n S满足对任意不小于 2 的正整数 n nn TS 由 得 1b 1 b 1 1b b 1 b 1 nnnn1n 即 1nnn b 1 b 1 1b 1 1n1n11nn3221 n b 1 3 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 T 10 分 bb 0bbb n1n 2 nn1n 数列 b n 是单调递增数列 n T关于 n 递增 当2n 且 Nn时 2n TT 81 52 1 9 4 9 4 b 9 4 1 3 1 3 1 b 3 1 b 321 52 75 b 1 3TT 1 2n 12 分 52 75 Sm 即 52 75 1m3 12 1 39 4 6 39 238 m tan EPFtanEPMFPM 221 3 223 222 22 23 1 663 t tttttt M FE O y A B P x 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 6 页 共 42 页 当6t 时 3 30 3 tan EPFEPF 22 14 分 已知数列 n a中 1 1 3 a 当2n 时 其前n项和 n S满足 2 2 21 n n n S a S 2 求 n S的表达式及 2 lim n n n a S 的值 3 求数列 n a的通项公式 4 设 33 11 21 21 n b nn 求证 当nN 且2n 时 nn ab 22 1 2 111 1 211 22 2 21 n nnnnnnn nnn S aSSSSS Sn SSS 所以 1 n S 是等差数列 则 1 21 n S n 2 22 limlim2 212lim1 n nn nnn n a SSS 2 当2n 时 1 2 112 212141 nnn aSS nnn 综上 2 1 1 3 2 2 14 n n a n n 3 令 11 2121 ab nn 当2n 时 有 1 0 3 ba 当2n 时 11 0 213n 令 23 1 0 3 f xxxx 则 f x在 1 0 3 递增 又 111 0 21213nn 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 7 页 共 42 页 所以 33 11 2121 gg nn 即 nn ab 法 2 2233 33 1111 2121 21 21 nn abbaba nn nn 22 ab ababab 2 22 22 abab abaabb 1 1 22 ba ab a ab b 3 因 333 111110 22222 3 aba ba 所以 1 1 0 22 ba a ab b 由 1 3 4 知 nn ab 法 3 令 22 g bababab 则 1 210 2 a g bbab 所以 22 0 32g bmax gg amax aaaa 因 1 0 3 a 则 2 10aaa a 2 214 323 3 0 339 aaa aa 所以 22 0g bababab 5 由 1 2 5 知 nn ab axax 讲解讲解 解不等式实质上就是等价变形 利用对数函数的单调性 我们不难得到 原不等式等价于 121 012 01 2 xax xa x 即 02 1 2 1 xax a x x 由于1 a 所以 a 1 21 02 1 2 xax a x 解答这个含参数的不等式组 必然需要分类讨论 此时 分类的标准的确定就成了解答的关键 如 何确定这一标准 首先 我们可以从解不等式 02 xax入手 不难看到2 a是一个分界点 这可以看作是本题 分类讨论的第一层次 其次 要解上述不等式组 从两个不等式取交集的角度 必然需要考虑到 a 1 2 a 2 这三个数之间的大小关系 这应该是本题分类讨论的第二层次 但是 在本题的条件及第一分类 标准之下 这三个数的大小关系已经确定 所以 我们只需考虑以2 a为分界点 1 当21 a时 不等式组 等价于 axx a x 或2 1 2 此时 由于 0 11 2 2 a a a a 所以a a 2 2 3 x x 所以2 2 3 xx 且 3 当2 a时 不等式组 等价于 axx a x 或2 1 2 此时 由于2 1 2 或2 1 2 综上可知 当21 2 2 3 xxx 且 当2 a时 原不等式的解集为 a去掉 则在将原不等式等价转化为不等式组 后 就应该开始确定分类标 准 从解不等式 012 xa和 02 xax入手 可知0 a 2 a是两个分界点 另外 从解不 等式组的角度 即不等式取交集的角度 可以看出需要比较 a 1 2 a 1 2 这四个数的大小关系 为 了找到分界点 可以令 a 1 2 a 解得 1 a 于是 我们得到了此题分类讨论的 3 个界点 0 1 2 从不重不漏的原则出发 我们可以画出如下数轴 并标出 0 1 2 三个点 以此把数轴分成 0 1 0 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 9 页 共 42 页 2 1 2四个区间及2 1 0 a三个点 下面只需在各区间及各界点展开讨论即可 结论如下 当0 a时 原不等式的解集为 xx 当21 2 2 3 xxx 且 当2 a时 原不等式的解集为 axx a x或2 1 2 点评 解含参数的不等式时 关键在于分类标准的确定 函数单调性的变化常常作为确定分类标准 的依据 分类需要不重不漏 尤其注意不要忽略参数a在分界点的取值 例 2 设函数 1 2 xaxxf 1 当2 a时 解不等式 1 fxf 2 求a的取值范围 使得函数 xf在 1上为单调函数 讲解 1 2 a时 1 fxf 可化为 112 2 xx 等价于 114 01 2 2 xx x 或 01 01 2 x x 解 得 3 5 1 x 解 得1 x 所以 原不等式的解集为 1 3 5 1xxx或 2 任取 1 21 xx 且 21 xx xx xx a恒成立 或 11 2 2 2 1 21 xx xx a恒成立 因此 只要求出 11 2 2 2 1 21 xx xx 在条件 1 21 xx 且 21 xx 之下的最大 最小值即可 为了探求这个代数式的最值 我们可以考虑极端情况 如 1 1 21 xx 容易知道 此时 11 2 2 2 1 21 xx xx 若考虑 xxxx恒成立 所以 1 11 2 2 2 1 21 xx xx 所 以 在条件 1 21 xx 且 21 xx xfxf 所以 xf在区间 1上单调递减 当1 a时 由 1 可以看出 特例2 a的情况下 存在 3 5 1ff 由此可以猜想 函数 xf在 区间 1上不是单调函数 为了说明这一点 只需找到 1 21 xx 使得 21 xfxf 即可 简便 起见 不妨取1 1 x 此时 可求得1 1 1 2 2 2 a a x 也即 a a a ff 1 1 1 2 2 所以 xf在区间 1 上不是单调函数 点评 本题是函数 不等式型综合问题 注意 不等式解区间的端点往往与方程的解相关 如 1 中 3 5 1ff 高考真题高考真题 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 11 页 共 42 页 1 1991 年全国高考 已知n为自然数 实数1 a 解关于 x 的不等式 axxnxxx a n a n aa a n 2 1 log 3 21 log2log12log4log 32 2 2000 年全国高考 设函数 其中 a 0 I 解不等式 f x 1 II 求 a 的取值范围 使函数 f x 在区间 0 上是单调函数 答案与提示 1 当n为奇数时 不等式的解集为 2 411a xx 2 I 0 a 1 证 1 t R t 1 c2a 2 16c2 c4a2 16c2 0 c 0 c2a2 16 ac 4 2 由 f x 1 1x 1 法 1 设 1 x1 x2 则 f x2 f x1 1 1x 1 2 1 1x 1 1 1x 1x xx 12 21 1 x1 x2 x1 x2 0 x2 1 0 f x2 f x1 0 即 f x2 0 得 x 1 x 1 时 f x 单调递增 3 仅理科做仅理科做 f x 在 x 1 时单调递增 c a 4 0 f c f a 4 1 a 4 a 4 4 a 4 f a f c 1 a a 4 a 4 4 a a 4 a 4 1 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 12 页 共 42 页 即 f a f c 1 3 3 3 3 南通二模 南通二模 19 本小题满分 15 分 设定义在 R R R R 上的函数 432 01234 f xa xa xa xa xa 其中 i a R R R R i 0 1 2 3 4 当 x 1 时 f x 取得极大值 2 3 并且函数y f x 1 的图象关于点 1 0 对称 1 求f x 的表达式 2 试在函数f x 的图象上求两点 使这两点为切点的切线互相垂直 且切点的横坐标都在区间2 2 上 3 若 212 1 3 N 23 nn nn nn xyn 求证 4 3 nn f xf y 解 1 3 1 3 f xxx 5 分 2 2 0 0 2 3 或 2 0 0 2 3 10 分 3 用导数求最值 可证得 4 1 1 3 nn f xf yff 0 b 0 的右顶点为 A P 是双曲线上异于顶点的一个动点 从 A 引双曲线的两 条渐近线的平行线与直线 OP 分别交于 Q 和 R 两点 1 证明 无论 P 点在什么位置 总有 OP 2 OQ OR O 为坐标原点 2 若以 OP 为边长的正方形面积等于双曲线实 虚 轴围成的矩形面积 求双曲线离心率的取值范围 解 1 设 OP y k x 又条件可设 AR y a b x a 解得 OR bak ab bak kab 同理可得 OQ bak ab bak kab OQ OR bak ab bak ab bak kab bak kab bka k1 ba 222 222 4 分 设 OP m n 则由双曲线方程与 OP 方程联立解得 m2 222 22 kab ba n2 222 222 kab bak OP 2 m2 n2 222 22 kab ba 222 222 kab bak 222 222 kab k1 ba 点 P 在双曲线上 b2 a2k2 0 无论 P 点在什么位置 总有 OP 2 OQ OR 4 分 2 由条件得 222 222 kab k1 ba 4ab 2 分 即 k2 2 2 a4ab abb4 0 4b a 得 e 4 17 2 分 22 本小题满分 12 分 已知常数 a 0 n 为正整数 fn x xn x a n x 0 是关于 x 的函数 1 判定函数 fn x 的单调性 并证明你的结论 2 对任意 n a 证明 f n 1 n 1 0 x 0 fn x a 0 时 fn x xn x a n是关于 x 的减函数 当 n a 时 有 n 1 n n 1 a n nn n a n 2 分 又 f n 1 x n 1 xn x a n f n 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 a n n f n 1 n 1 u v 所以 p x 不满足题设条件 2 分三种情况讨论 10 若 u v 1 0 则 g u g v 1 u 1 v u v 满足题设条件 20 若 u v 0 1 则 g u g v 1 u 1 v v u 满足题设条件 30 若 u 1 0 v 0 1 则 g u g v 1 u 1 v u v v u v u u v 满足题设条件 40若 u 0 1 v 1 0 同理可证满足题设条件 综合上述得 g x 满足条件 故存在 1 使得0 2 FPFBFA 12 分 22 本小题满分 本小题满分 14141414 分 分 设函数x ax x xfln 1 在 1 上是增函数 1 求正实数a的取值范围 2 设1 0 ab 求证 ln 1 b ba b ba ba b ba ba 一方面 由 1 知x ax x xfln 1 在 1 上是增函数 0 1 f b ba f 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 15 页 共 42 页 0ln 1 b ba b ba a b ba 即 bab ba 1 ln 8 分 另一方面 设函数 1 ln xxxxG 1 0 11 1 x x x x xG xG在 1 上是增函数且在 0 xx 处连续 又01 1 G 当1 x时 0 1 GxG xxln 即 b ba b ba ln 综上所述 ln 1 b ba b ba ba 则 0 0 0 BcD aC c 由3BDDC 得3 caca 即2ca 222 16 124 2 ABACa ABACa ABACa 3 分 解之得1a 2 3cb 双曲线E的方程为 2 2 1 3 y x 5 分 2 设在x轴上存在定点 0 G t 使 BCGMGN 设直线l的方程为xmky 1122 M x yN xy 由MPPN 得 12 0yy 即 1 2 y y 6 分 4 0 BC 1212 GMGNxtxt yy x y D O C A B x y D O C A B N B C O y x G M P 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 16 页 共 42 页 BCGMGN 12 xtxt 即 12 kymtkymt 8 分 把 代入 得 1212 2 0ky ymtyy 9 分 把xmky 代入 2 2 1 3 y x 并整理得 222 31 63 1 0kykmym 其中 2 310k 且0 即 2 1 3 k 且 22 31km 2 1212 22 63 1 3131 kmm yyy y kk 10 分 代入 得 2 22 6 1 6 0 3131 k mkm mt kk 化简得kmtk 当 1 t m 时 上式恒成立 因此 在x轴上存在定点 1 0 G m 使 BCGMGN 12 分 21 本小题满分 14 分 已知数列 n a各项均不为 0 其前n项和为 n S 且对任意 n N N N N都有 1 nn p Sppa p为大于 1 的常数 记 12 12 1CCC 2 n nnnn n n aaa f n S 1 求 n a 2 试比较 1 f n 与 1 2 p f n p 的大小 n N N N N 3 求证 21 11 21 1 2 21 1 12 n pp nf nfffn pp n N N N N 解 1 1 nn p Sppa 11 1 nn p Sppa 得 11 1 nnn p apapa 即 1nn apa 3 分 在 中令1n 可得 1 ap n a是首项为 1 ap 公比为p的等比数列 n n ap 4 分 2 由 1 可得 1 1 11 nn n ppp p S pp 12 12 1CCCn nnnn aaa 122 1CCC 1 1 nnnn nnn ppppp 12 12 1CCC 2 n nnnn n n aaa f n S 1 1 2 1 n nn pp pp 5 分 1 f n 1 11 1 1 2 1 n nn pp pp 而 1 2 p f n p 1 11 1 1 2 n nn pp ppp 且1p 11 10 nn ppp 10p 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 17 页 共 42 页 1 f n 1 2 p f n p n N N N N 8 分 3 由 2 知 1 1 2 p f p 1 f n 1 2 p f n p n N N N N 当2n 时 21 1111 1 2 1 2222 nn pppp f nf nf nf pppp 的右准线l1与一条渐 近线l2交于点 M F 是双曲线 C 的右焦点 O 为坐标原点 I 求证 OMMF II 若 MF 1且双曲线 C 的离心率e 6 2 求双曲线 C 的方程 III 在 II 的条件下 直线l3过点 A 0 1 与双曲线 C 右支交于不同的两点 P Q 且 P 在 A Q 之间 满足 APAQ 试判断 的范围 并用代数方法给出证明 解 I 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 18 页 共 42 页 右准线l1 2 x a c 渐近线l2 y b a x M a c ab c F ccab 2 222 0 OM a c ab c 2 MFc a c ab c b c ab c 22 OM MF a b c a b c OMMF 22 2 22 2 0 3 分 II e b a eab 6 2 1 2 2 2 222 MF b c a b c bba c ba 111 11 4 2 22 2 222 2 22 双曲线 C 的方程为 x y 2 2 2 1 7 分 III 由题意可得01 120 1616 120 4 12 0 4 12 0 2 2 1 0 120 2 22 12 2 12 2 2 2 k kk xx k k x x k k k k k 1 2 2 k 11 分 APAQxyxy 1122 11 得xx 12 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 19 页 共 42 页 1 4 12 4 12 116 4 12 4 21 2 2 21 2 2 2 2 2 22 2 2 22 x k k x k k k k kk 1 2 2 0211 1 4 2 2 kk 14210 22 的取值范围是 0 1 13 分 20 本小题满分 13 分 已知函数fx x n xnfnnxnnN 00 111 数列 an满足af n nN n I 求数列 an的通项公式 II 设 x 轴 直 线xa 与 函 数yf x 的 图 象 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为S aa 0 求 S nS nnN 1 III 在 集 合MN NkkZ 2 且10001500 10051 对一切nN 恒成立 若存在 则这样的正整数 N 共有多少个 并求出满足条件的最小 的正整数 N 若不存在 请说明理由 IV 请构造一个与 an有关的数列 bn 使得lim n n bbb 12 存在 并求出这个极限值 解 I nN f nn nnf nnf n 111 f nf nn 1 1 分 ff ff ff 101 212 323 f nf nn 1 将这 n 个式子相加 得 fnfn n n 0123 1 2 f f n n n 00 1 2 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 20 页 共 42 页 a n n nN n 1 2 3 分 II S nS n 1为一直角梯形 n 1时为直角三角形 的面积 该梯形的两底边的长分别为f nf n 1 高为 1 S nS n fnfnaa nn 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 22 2 n nn nn 6 分 III 设满足条件的正整数 N 存在 则 n nnn n 1 2 1005 22 10052010 2 又M 200020022008201020122998 N201020122998 均满足条件 它们构成首项为 2010 公差为 2 的等差数列 设共有 m 个满足条件的正整数 N 则2010212998 m 解得m 495 M中满足条件的正整数 N 存在 共有 495 个 Nmin 2010 9 分 IV 设b a n n 1 即b n nnn n 2 1 2 11 1 则bbb nnn n12 2 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 11 1 2 1 1 1 显然 其极限存在 并且lim lim n n n bbb n 12 2 1 1 2 10 分 注 b c a n n c 为非零常数 bbqq n a n n a n nn 1 2 01 2 1 2 1 等都能使lim n n bbb 12 存在 1 1 1 1 泉州模拟 泉州模拟 21 本小题满分 本小题满分 12121212 分 分 过抛物线yx4 2 上不同两点 A B 分别作抛物线的切线相交于 P 点 0 PBPA 1 求点 P 的轨迹方程 2 已知点 F 0 1 是否存在实数 使得0 2 FPFBFA 若存在 求出 的值 若不存在 请说明 理由 解法 一 1 设 4 4 21 2 2 2 2 1 1 xx x xB x xA 由 4 2 yx 得 2 x y 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 21 页 共 42 页 2 2 21 x k x k PBPA 4 0 21 xxPBPAPBPA 3 分 直线 PA 的方程是 24 1 1 2 1 xx xx y 即 42 2 11 xxx y 同理 直线 PB 的方程是 42 2 22 xxx y 由 得 1 4 2 21 21 21 Rxx xx y xx x 点 P 的轨迹方程是 1Rxy 6 分 2 由 1 得 1 4 2 1 1 x xFA 1 4 2 2 2 x xFB 1 2 21 xx P 4 2 2 21 21 xx xx FP 4 2 1 4 1 4 2 2 2 1 2 2 2 1 21 xxxx xxFBFA 10 分 2 4 4 4 2 2 2 1 2 21 2 xxxx FP 所以0 2 FPFBFA 故存在 1 使得0 2 FPFBFA 12 分 解法 二 1 直线PA PB 与抛物线相切 且 0 PBPA 直线PA PB 的斜率均存在且不为 0 且 PBPA 设 PA 的直线方程是 0 kRmkmkxy 由 yx mkxy 4 2 得 044 2 mkxx 01616 2 mk即 2 km 3 分 即直线 PA 的方程是 2 kkxy 同理可得直线 PB 的方程是 2 11 k x k y 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 22 页 共 42 页 由 2 2 11 k x k y kkxy 得 1 1 y R k kx 故点 P 的轨迹方程是 1Rxy 6 分 2 由 1 得 1 1 1 2 2 2 2 k kP kk BkkA 1 1 2 1 2 2 2 kk FBkkFA 2 1 k kFP 1 2 1 1 1 4 2 2 2 2 k k k kFBFA 10 分 1 24 1 2 222 k kk k FP 1 1 1 1 北京宣武区二模 北京宣武区二模 19 本题满分 14 分 已知点 P ab nnn 满足 aabb b a nN nnnn n n 111 2 1 且已知P0 1 3 2 3 1 求过点PP 01 的直线l的方程 2 判断点 P n n 2与直线l的位置关系 并证明你的结论 3 求点Pn的极限位置 解 1 由ab 00 1 3 2 3 得 ba 1 2 1 2 3 1 1 3 3 4 1 3 3 4 1 4 显然直线l的方程为xy 1 3 分 2 由ab 11 1 4 3 4 得 ba 2 2 2 3 4 1 1 4 4 5 1 4 4 5 1 5 点Pl 2 猜想点 P n n 2在直线l上 以下用数学归纳法证明 当 n 2 时 点Pl 2 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 23 页 共 42 页 假设当nk k 2时 点Pl k 即ab kk 1 当nk 1时 ababb kkkkk 1111 1 1 11 1 1 2 a b a b a b a kk k k k k k 点Pl k 1 综上 点 Pl n n 2 8 分 3 由aabb b a ab nnnn n n nn 1112 1 1 得 aa b a a a a a a a aa nn n n n n n n n n nn 1 22 1 1 1 11 0 11 1 数列 1 an 是以 1 3 0 a 为首项 公差为 1 的等差数列 1 3 1 3 11 1 3 2 3 1 3 0 2 3 1 2 1 3 1 a na n ba n n n a n b n n n n n n nn n n n n n nn limlim limlimlim PP n 01 即点Pn的极限位置为点 P 0 1 14 分 20 本题满分 14 分 已知直线lymx 1与曲线 CaxymaR 22 2 交于两点 A B 1 设OPOA OB 当a 2时 求点 P 的轨迹方程 2 是否存在常数 a 对任意mR 都有OAOB 2 如果存在 求出 a 的值 如果不存在 说明理由 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 24 页 共 42 页 3 是否存在常数 m 对任意aR 都有OAOB 为常数 如果存在 求出 m 的值 如果不存在 说明理 由 解 1 设 A xyB xy 1122 则 OPOA OBxxyy 1212 由 ymx xy 1 20 22 消去 y 得 mxmx 22 22101 依题意有 m mm 2 2 2 20 2420 解得 m21 且m22 即m 1且m 2 xx m m x x m yymxmxm xx m 12 2 12 2 121212 2 2 2 1 2 112 4 2 点 P 的坐标为 x m m y m 2 2 4 2 2 2 消去 m 得 220 22 xyy 即 y x 1 1 2 1 2 2 由y m 4 2 2 得m y y 2 24 24 1 24 2 y y y y 解得y 4 点 P 的轨迹方程为 y x 1 1 2 1 2 2 y 4 5 分 2 假设存在这样的常数 a 由 ymx axy 1 2 22 消去 y 得 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 25 页 共 42 页 ma xmx xx m ma x x ma 22 12 2 12 2 2102 21 OAOBx xy y 1212 x xmxmx mx xm xx 1212 2 1212 11 11 m ma m m ma m ma 2 22 2 2 1 12 1 31 1 2 解得 a 1 3 当a 1 3 时 m2 1 3 0 且方程判别式 44 1 3 0 22 mm 对任意mR A B 两点总存在 故当a 1 3 时 对任意mR 都有OAOB 2 10 分 3 假设这样的常数 m 存在 对任意的aR 使OAOB 为一常数 M 即OAOBx xy yM 1212 即 31 1 2 2 m ma M 化简 得 121 2 M aMm a 为任意正实数 10 210 2 M Mm 即310 2 m 矛盾 故这样的常数 m 不存在 14 分 3 3 3 3 德州模拟 德州模拟 21 12 分 已知定点 A 0 1 B 0 1 C 1 0 动点 P 满足APBPk PC 2 1 求动点 P 的轨迹方程 并说明方程表示的曲线 2 当kAPBP 2时 求的最大值和最小值 解 1 设 p x y 则APxyBPxyPCxy 111 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 26 页 共 42 页 由APBPk PC 2得 xyk xy 2222 11 3 分 整理得 kxkxkyk 2 12110 2 4 分 当 k 1 时 式化为 x 1 表示直线5 分 当 k 1 时 式化为 x k k y k 2 1 1 1 2 2 表示心 k kk 1 0 1 1 为圆 为半径的圆6 分 2 当 k 2 时 式化为 xyx 2113 22 此时 APBPxyx 22 43 22 其最小值为 2 最大值为 612 分 22 14 分 ABC 中 AB AC 1 ABAC 1 2 P1为 AB 边上的一点 BPAB 1 2 3 从 P1向 BC 作垂线 垂足是 Q1 从 Q1向 CA 作垂线 垂足是 R1 从 R1向 AB 作垂线 垂足是 P2 再由 P2开始重复上述作法 依次得 Q2 R2 P3 Q3 R3 P4 1 令 BPn为 xn 寻求 BPn与BPn 1 即xx nn 与 1 之间的关系 2 点列PPPPPn 1234 是否一定趋向于某一个定点 P0 说明 理由 3 若 ABBP 1 1 3 1 则是否存在正整数 m 使点 P0与 Pm之间 的距离小于 0 001 若存在 求 m 的最小值 解 1 由 AB AC 1 ABACBAC 1 2 60 从而 ABC 为边长为 1 的正三角形2 分 则BPxBPx nnnn 则 11 于是BQ BPx nnn cos60 1 2 CQx nn 1 1 2 3 分 同样CRCQx nnn cos 60 1 2 1 1 2 ARxx nnn 1 1 2 1 1 2 1 2 1 4 4 分 又APARx nnn 1 60 1 2 1 2 1 4 cos BPxx nnn 1 1 1 2 1 2 1 4 3 4 1 8 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 27 页 共 42 页 即xx nn 1 3 4 1 8 5 分 2 由 1 可得 xx nn 1 2 3 1 8 2 3 xxx n 2 3 2 3 2 3 1 8 11 当 时 是以为首项 公比为的等比数列 xx n n 2 3 2 3 1 8 1 1 7 分 当nxn 时 2 3 点 Pn趋向点 P0 其中 P0在 AB 上 且 BP0 2 3 9 分 3 P Pxx mm mm 01 11 2 3 2 3 1 8 1 3 1 8 11 分 由 P Pm mm 0 11 0001 1 8 00038 1000 3 得 当m m 48 1000 3 1 时 mm 4 的最小值为 414 分 2 2 2 2 大连二模 大连二模 20 本小题满分 12 分 数列 n a 设 Sn是数列的前 n 项和 并且满足 2 4 1 11 nn aSa 令 3 2 1 2 1nnnn bnaab证明 是等比数列 并求 bn 的通项公式 令 lim loglog 1 3 1222 n n nn n n n Tn CC T b C 求项和的前为数列 解 23 2 abxbaxxf 依题意知 s t 是二次方程0 xf的两个实根 0 0 0 0 22 abbabbbfbaaabaafabf 2 分 0 xf在区间 0 a 与 a b 内分别有一个实根 0 btasts 4 分 由 s t 是0 xf的两个实根 知 3 3 2ab st ba ts 3 2 27 4 32233 baabbatsabtsbatstfsf 6 分 2 1 3 1 27 2 3 2 3 tfsfbaabba ba f ts f 故 AB 的中点 C 2 2 ts f ts 在曲线 y f x 上 8 分 过曲线上点 11 yx的切线方程为 23 11 2 11 xxabxbaxyy 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 28 页 共 42 页 1111 bxaxxy 又切线过原点 23 1 2 11111 abxbaxxbxaxx 解得 1 x 0 或 2 1 ba x 当 1 x 0 时 切线的斜率为ab 当 2 1 ba x 时 切线的斜率为 4 1 2 abba 10 分 22 0 0 baba 两斜率之积 11 1 2 4 1 4 1 22222 ababababbaabababba 故两切线不垂直 12 分 21 本小题满分 12 分 已知函数 0 babxaxxxf 其中 设txsxxf 及在 处取到极值 其中 0 btasts 求证 设 tftBsfsA求证 线段 AB 的中点 C 在曲线 y f x 上 若22 由 5 2 5 2 23 1 1 hy x ECBE得 6 分 因为 E C 两点在双曲线上 所以 1 1 25 4 25 4 1 4 1 222 2 2 2 2 2 2 bac b h a b h a 8 分 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 29 页 共 42 页 解得 7 6 7 1 2 2 b a 双曲线方程为1 7 6 7 1 22 yx 10 分 设 2211 yxNyxM 2 02 2 2 2 01 2 1 xxyxxyTNTM 2 210 2 1 2 2 2 01 2 02 2 2 2 1 xxxxxxxxxyy 又 M N 在双曲线上 满足 6 1 6 7 7 1 6 7 7 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 xxyyyxyx 将 代入 2 7 210 2 2 2 1 xxxxx 02121 2 7 xxxxx 12 分 又 7 2 7 7 72 21021 xxxxx 0 x取值范围为 7 14 分 1 1 1 1 北京丰台区二模 北京丰台区二模 19 本小题满分 14 分 设双曲线 y a x 2 2 2 3 1 的两个焦点分别为FF 12 离心率为 2 I 求此双曲线的渐近线ll 12 的方程 II 若 A B 分别为ll 12 上的点 且25 12 ABF F 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲 线 III 过点N 10 能否作出直线l 使l与双曲线交于 P Q 两点 且OPOQ 0 若存在 求出直线l的 方程 若不存在 说明理由 解 I eca 24 22 caac 22 312 双曲线方程为y x 2 2 3 1 渐近线方程为yx 3 3 4 分 II 设A xyB xy 1122 AB 的中点 M xy 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 30 页 共 42 页 25 5 2 5 2 210 10 3 3 3 3 22 3 3 3 3 3 3 3 10 12 12 12 2 12 2 11221212 12121212 12 2 12 2 ABF F ABF Fc xxyy yxyxxxxyyy yyxxyyxx yyxx 又 3 2 1 3 2100 75 3 25 1 22 22 yx xy 即 则 M 的轨迹是中心在原点 焦点在 x 轴上 长轴长为10 3 短轴长为 10 3 3 的椭圆 9 分 III 假设存在满足条件的直线l 设lyk xlPxyQxy 与双曲线交于 1 1122 OPOQ x xy y x xkxx x xkx xxxi 0 0 110 10 1212 12 2 12 12 2 1212 由得 则 yk x y x kxk xk xx k k x x k k ii 1 3 1 316330 6 31 33 31 2 2 222 12 2 2 12 2 2 由 i ii 得k 2 30 k 不存在 即不存在满足条件的直线l 14 分 20 本小题满分 13 分 已知数列 an的前 n 项和为SnN n 且Smma nn 1对任意自然数都成立 其中 m 为常数 且m 1 I 求证数列 an是等比数列 II 设数列 an的公比qf m 数列 bn满足 babf b nn111 1 3 nnN 2 试问当 m 为何值时 lim lg lim n ba n b bb bb b nn 3 122334 bb nn1 成立 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 31 页 共 42 页 解 I 由已知Smma nn 11 11 Smma nn 1 2 由 12 得 amama nnn 11 即 mama nn 1 1 对任意nN 都成立 mm a a m m a n n n 为常数 且 即为等比数列分 ba b y a x 的左焦点为F 上顶点为A 过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴 于P Q两点 且P分向量AQ所成的比为 8 5 1 求椭圆的离心率 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 32 页 共 42 页 2 若过FQA 三点的圆恰好与直线l 033 yx相切 求椭圆方程 解 1 设点 0 0 0 cFxQ 其中 0 22 bAbac 由P分AQ所成的比为 8 5 得 13 5 13 8 0 bxP 2 分 ax a x 2 3 1 13 5 13 8 0 2 2 2 02 4 分 而AQFAbxAQbcFA 0 0 AQFA c b xbcx 2 0 2 0 0 5 分 由 知0232 32 222 aaccacb 2 1 0 232 2 eee 6 分 2 满足条件的圆心为 0 2 22 c cb O 0 22 22222 cOc c cca c cb 8 分 圆半径a c a c b r 22 2 2 2 10 分 由圆与直线l 033 yx相切得 a c 2 3 又3 2 1 2 bacca 椭圆方程为1 34 22 yx 12 分 22 本小题满分 14 分 理 给 定 正 整 数n和 正 数b 对 于 满 足 条 件baa n 2 11 的 所 有 无 穷 等 差 数 列 n a 试 求 1221 nnn aaay 的最大值 并求出y取最大值时 n a的首项和公差 文 给 定 正 整 数n和 正 数b 对 于 满 足 条 件baa n 2 11 的 所 有 无 穷 等 差 数 列 n a 试 求 1221 nnn aaay 的最大值 并求出y取最大值时 n a的首项和公差 理 解 设 n a公差为d 则 1111 aandndaa nn 3 分 高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲 1 doc第 33 页 共 42 页 dnan ndadaa aaay n nnn nnn 21 1 1 111 1221 d nn an n 2 1 1 1 4 分 2 1 2 1 11 11 aa an nd an n nn 3 2 1 11 aa n n 7 分 又 2 11 2 11 nn ababaa 4 49 4 49 2 3 33 2 11 2 111 bb abaaaa nnnn 当 且 仅 当 2 3 1 n a时 等 号 成 立 11 分 8 49 1 3 2 1 11 bn aa n y n 13 分 当数列 n a首项 4 9 1 ba 公差 n b d 4 34 时 8 49 1 bn y y的最大值为 8 49 1 bn 14 分 文 解 设 n a公差为d 则 1111 aandndaa nn 3 分 2 1 2 1 1 21 1 11 1 111 1221 nd and nn an dnan ndadaa aaay nn n nnn nnn 3 2 1 2 1 11 11 1 aa naa an n n n 6 分 又 2 11 2 11 nn ababaa 4 49 4 49 2 3 33 2 11 2 111 bb abaaaa nnnn 当且仅当 2 3 1 n a时 等号成立 11 分 8 49 1 3 2 1 11 bn aa n y n 13 分 当数列 n a首项 4 9 1 ba 公差 n b d 4 34 时 8 49 1 bn y y的最大值为