2026中考第一轮复习（知识能力+解题思路+易错警示+真题演练）第16课时：特殊三角形（学生版+教师版合并）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第16课时特殊三角形一、核心知识一、核心知识（一）等腰三角形的性质与判定基本性质：等边对等角：等腰三角形的两腰所对的底角____________；三线合一：等腰三角形的、、重合（核心性质，常作辅助线依据）；对称性：等腰三角形是____________图形，对称轴为。判定定理：等角对等边：有两个角相等的三角形是____________；定义判定：有相等的三角形是等腰三角形。特殊等腰三角形——等边三角形：性质：三边相等，三个内角均为___________，每条边都满足“三线合一”，有条对称轴；判定：①三边都相等的三角形；②三个角都相等的三角形；③有一个角是60°的____________。（二）直角三角形的性质与判定核心性质：内角关系：直角三角形的两个锐角____________；斜边性质：直角三角形的斜边是最长边，斜边的中线等于斜边的__________；30°角性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的____________；勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即若a、b为直角边，c为斜边，则____________。判定定理：定义判定：有一个角是____________的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：若三角形的三边长a、b、c满足，则该三角形是____________；中线判定：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是。特殊直角三角形：等腰直角三角形：两个锐角均为____________，两直角边相等，斜边=直角边×2；30°/60°直角三角形：三边比为____________（短直角边：长直角边：斜边）。（三）直角三角形全等的特殊判定——HL定理适用范围：仅适用于____________的全等判定；定理内容：斜边和一条____________分别相等的两个直角三角形全等（一般三角形的SSA不成立，直角三角形中HL为专属判定）；补充：直角三角形全等仍可使用SSS、SAS、ASA、AAS判定，HL为特殊补充。（四）常用辅助线作法等腰三角形：作底边上的高（中线/顶角平分线），利用“三线合一”转化线段或角度；直角三角形：①作斜边中线，利用“斜边中线等于斜边一半”转化线段；②遇30°/45°角，构造特殊直角三角形利用边长关系计算；求最短路径：利用轴对称将折线转化为线段，结合“两点之间线段最短”求解（如牧马饮马问题）。二、核心能力二、核心能力（一）等腰三角形的计算与证明题型1：角度计算解题思路利用“等边对等角”“三角形内角和180°”，结合角平分线、外角性质建立角度关系，未说明角的类型时需分类讨论（如已知等腰三角形一个角求另外两角）。题型2：线段证明与计算解题思路利用“三线合一”作辅助线，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，结合勾股定理计算线段长度；证明线段相等时，可通过“等角对等边”转化为角的证明。（二）等边三角形的综合应用题型1：性质直接应用解题思路抓住60°角和“三线合一”，结合全等三角形（SAS/ASA）证明线段或角相等，利用30°角性质计算边长。题型2：判定证明解题思路根据题目条件，选择合适的判定方法（如已知等腰三角形+60°角，直接判定为等边三角形）。（三）直角三角形的勾股定理应用题型1：边长计算解题思路直接套用勾股定理，若遇特殊角（30°/45°），结合特殊直角三角形的边长比简化计算；无直角时可作垂线构造直角三角形。题型2：勾股定理的逆定理应用解题思路先计算三角形三边的平方关系，若满足a²+b²=c²，则判定为直角三角形，常用于证明垂直关系。（四）HL定理的应用与直角三角形全等题型1：HL定理直接证明全等解题思路先明确两个三角形为直角三角形，再找斜边相等和一组直角边相等，直接用HL判定。题型2：HL与其他判定结合解题思路直角三角形全等可灵活选用HL、SAS、AAS，若已知斜边相等优先用HL，已知直角边和夹角优先用SAS。（五）最短路径问题（轴对称+等腰/直角三角形）解题思路作定点关于定直线的对称点，连接对称点与另一个定点，与定直线的交点即为最短路径的点，结合等腰三角形或直角三角形的性质计算路径长度。三、易错警示三、易错警示等腰三角形忽略分类讨论：错误：已知等腰三角形一边长为3，另一边长为7，直接求周长为13或17；提醒：先根据三角形三边关系判断腰长，3+3<7，故腰长只能为7，周长为17，未满足三边关系的情况需舍去。混淆“三线合一”的适用条件：错误：任意三角形的角平分线、中线、高都重合；提醒：“三线合一”仅适用于等腰三角形，且必须是顶角平分线、底边上的中线和高。勾股定理应用忽略直角边与斜边：错误：在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=3，直接认为AB=6（未确认BC是否为30°角对的直角边）；提醒：使用30°角性质和勾股定理时，先明确直角边与斜边的对应关系。HL定理的滥用：错误：用HL判定非直角三角形的全等；提醒：HL定理是直角三角形专属，一般三角形全等判定仍为SSS、SAS、ASA、AAS，SSA始终不成立。斜边中线性质的误用：错误：任意三角形一边的中线等于这边的一半；提醒：该性质仅适用于直角三角形，且中线必须在斜边上。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（23-24·陕西模拟）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，已知AB=5,∠B=70∘,∠C=35∘，若∠BAD=A.4 B.5 C.6 D.72.（24-25·陕西模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=20∘，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（

）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

3.（24-25·陕西模拟）已知△ABC的三边分别为a、b、c，且a2+b2+cA.等腰三角形 B.等腰直角三角形

C.直角三角形 D.等边三角形4.（24-25·河南模拟）在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（

）

A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C

C.BD=CD D.AD平分∠BAC5.（24-25·湖北模拟）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（

）

A.b2+a2=c2 B.6.（25-26·全国模拟）如图，已知在△ABC中，∠A=70∘，AC=BC，根据图中尺规作图痕迹，∠ACE=（

）

A.4∘ B.5∘ C.8∘7.（24-25·安徽模拟）如图，等边三角形ABC中，BC=6，D、E是边BC上的两点，BD=CE=1，P是线段DE上一动点，过点P分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点M、N，连接MN、AP，交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为（

）

A.32 B.332 C.38.（23-24·福建模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB=90∘，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论不正确的是（

）

A.AM=CM B.∠AHC=90∘ C.∠ACH=∠B 9.（24-25·新疆模拟）如图，在△ABC中，∠B=90∘,∠A=30∘,BC=2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且ADABA.1 B.2 C.1或3 D.1或210.（24-25·内蒙古模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B=45∘,AB=6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（

）

A.2 B.6−32 C.22 11.（24-25·福建模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD为直径的圆交BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（

）

A.5−1 B.25−2 C.212.（24-25·广东模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠CAB=30∘，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则ADBE的值为（

）A.23 B.733 C.513.（24-25·广西模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=5，过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连结EC，过点E作EF⊥CE，连结CF使tan∠ECF=12．当BF最短时，则AE的长度为（

）

A.5 B.4 C.25 D.14.（24-25·四川中考）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′C，AA.AB.AC.△A′CDD.四边形A′BED的面积15.（24-25·云南中考）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4，则PE+PF的最小值是（

）

A.4 B.27 C.6 D.（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·达州模拟）如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE=AD，则∠EDC=___________．

17.（24-25·河南模拟）如图，∠AOB=90∘，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E．设OC=1，则OE的长是_____________．

18.（23-24·西藏中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点P为BC上一个动点，连接AP，将△ACP沿AP折叠得到△ADP，点C的对应点为D，连接BD，若AC=5，BC=12，当△PBD为直角三角形时，线段CP的长为___________．

19.（24-25·广西模拟）如图，△ABC≅△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=α，则∠CAF的度数为___________________．

20.（24-25·黑龙江模拟）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=3cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB=30∘，则△PMN周长的最小值是__________．

21.（24-25·陕西模拟）如图，分别在三角形纸板ABC的顶点A,B处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线AD和BE，相交于点P，AB=6,AC=8,BC=10．则CP的长度是________________

（23-24·新疆中考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘,∠A=30∘,AB=8．若点D在直线AB上（不与点A，B重合），且∠BCD=23.（24-25·江苏模拟）如图，在△ABC中，AB=6，∠BAC=30∘，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN最小值是__________．

24.（24-25·江苏模拟）如图，在菱形ABCD中，点E为BC的中点，将菱形ABCD沿DE翻折，使点C落在AE上的点F处．若AB=2，则折痕DE的长为______________．

25.（24-25·四川中考）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ(a,θ)变换，现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ(1,180∘)变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1经（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·江西模拟）如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB=6cm，长AD=10cm，求EC的长．

27.（24-25·河北中考）如图．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC=AD，∠ACB=∠ADB，点F在ED上，∠BAF=∠EAD．

（1）求证：△ABC≅△AFD；（2）若BE=FE，求证：AC⊥BD．28.（24-25·吉林模拟）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、E、H均在格点上．只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．

（1）在图①中，以AB为腰画一个等腰直角三角形ABC；（2）在图②中，画△ABE的高线ED；（3）在图③中，在AB边上找一点F，连接HF，使得HF平分△ABH的面积．

29.（24-25·河南模拟）如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90∘，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m．

（1）求四边形ABCD的面积；（2）若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？30.（24-25·广东中考）在△ABC中，点D是线段AB上一动点，连接CD．将线段CD绕点C逆时针旋转至CE，记旋转角为α，连接AE．取AE的中点为点G，连接CG．

【特例感知】（1）如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90∘，α=90∘．延长AC至点F，使AC=CF，连接EF．请直接写出EF与BD的数量关系_______，CG与（2）如图2，已知△ABC是等腰三角形，AC=BC，∠ACB=120∘，α=60∘．探究线段CG与（3）如图3，已知在△ABC中，BC=13，AC=7，∠ABC=30∘，∠ACB=180∘−α31.（24-25·吉林模拟）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60∘得到线段AE，连接CE．

（1）【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；（2）【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60∘得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC（3）【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60∘得到线段DE，连接CE．点D在运动过程中，△DEC的周长最小值=32.（24-25·湖北模拟）如图1，等边△ABC的边长为4，点D是直线AB上异于A，B的一动点，连接CD，以CD为边长，在CD在侧作等边△CDE，连接BE．

（1）求证：BE∥AC；（2）当点D在直线AB上运动时，

①△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求此时AD的长；若不存在，说明理由；

②△BDE能否形成直角三角形？若能，求此时AD的长；若不能，说明理由．33.（24-25·山东模拟）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．

（1）概念理解：如图1，在△ABC和△DBC中，∠A=90∘,AB=3,AC=4,BD=2,CD=21，说明（2）问题探究：如图2，△ABC和△DBC是共边直角三角形，E、F分别是AD、BC的中点，连结EF，求证EF⊥AD．（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△DBC是共边直角三角形，且BD=CD，连结AD，求证：AD平分∠BAC．34.（24-25·安徽模拟）公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾股定理的图形称为“弦图”．1876年美国总统Garfeild用图1（点C、点B、点C′三点共线）进行了勾股定理的证明．△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，两直角边长为a，b，斜边是c．请用此图1证明勾股定理．

拓展应用l：如图2，以△ABC的边AB和边AC为边长分别向外作正方形ABFH和正方形ACED，过点F、E分别作BC的垂线段FM、EN，则FM、EN、BC的数量关系是怎样？直接写出结论．

拓展应用2：如图3，在两平行线m、n之间有一正方形ABCD，已知点A和点C分别在直线m、n上，过点D作直线l // n // m，已知l、n之间距离为1，l、m之间距离为35.（23-24·黑龙江中考）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠MAN=12∠BAC，∠MAN在∠BAC的内部，点M、N在BC上，点M在点N的左侧，探究线段BM、NC、MN之间的数量关系．

（1）如图①，当∠BAC=90∘时，探究如下：

由∠BAC=90∘，AB=AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90∘，得到△ABP，则CN=BP且∠PBM=90∘，连接PM，易证△AMP≅△AMN，可得MP=MN（2）当∠BAC=60∘时，如图②：当∠BAC=120

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第16课时特殊三角形一、核心知识一、核心知识（一）等腰三角形的性质与判定基本性质：等边对等角：等腰三角形的两腰所对的底角______相等______；三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（核心性质，常作辅助线依据）；对称性：等腰三角形是______轴对称______图形，对称轴为底边上的高（中线/顶角平分线）所在直线。判定定理：等角对等边：有两个角相等的三角形是______等腰三角形______；定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。特殊等腰三角形——等边三角形：性质：三边相等，三个内角均为______60°______，每条边都满足“三线合一”，有3条对称轴；判定：①三边都相等的三角形；②三个角都相等的三角形；③有一个角是60°的______等腰三角形______。（二）直角三角形的性质与判定核心性质：内角关系：直角三角形的两个锐角______互余______；斜边性质：直角三角形的斜边是最长边，斜边的中线等于斜边的______一半______；30°角性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的______一半______；勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即若a、b为直角边，c为斜边，则______a²+b²=c²______。判定定理：定义判定：有一个角是______90°______的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：若三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，则该三角形是______直角三角形______；中线判定：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形。特殊直角三角形：等腰直角三角形：两个锐角均为______45°______，两直角边相等，斜边=直角边×2；30°/60°直角三角形：三边比为______1:3:2______（短直角边：长直角边：斜边）。（三）直角三角形全等的特殊判定——HL定理适用范围：仅适用于______直角三角形______的全等判定；定理内容：斜边和一条______直角边______分别相等的两个直角三角形全等（一般三角形的SSA不成立，直角三角形中HL为专属判定）；补充：直角三角形全等仍可使用SSS、SAS、ASA、AAS判定，HL为特殊补充。（四）常用辅助线作法等腰三角形：作底边上的高（中线/顶角平分线），利用“三线合一”转化线段或角度；直角三角形：①作斜边中线，利用“斜边中线等于斜边一半”转化线段；②遇30°/45°角，构造特殊直角三角形利用边长关系计算；求最短路径：利用轴对称将折线转化为线段，结合“两点之间线段最短”求解（如牧马饮马问题）。二、核心能力二、核心能力（一）等腰三角形的计算与证明题型1：角度计算解题思路利用“等边对等角”“三角形内角和180°”，结合角平分线、外角性质建立角度关系，未说明角的类型时需分类讨论（如已知等腰三角形一个角求另外两角）。题型2：线段证明与计算解题思路利用“三线合一”作辅助线，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，结合勾股定理计算线段长度；证明线段相等时，可通过“等角对等边”转化为角的证明。（二）等边三角形的综合应用题型1：性质直接应用解题思路抓住60°角和“三线合一”，结合全等三角形（SAS/ASA）证明线段或角相等，利用30°角性质计算边长。题型2：判定证明解题思路根据题目条件，选择合适的判定方法（如已知等腰三角形+60°角，直接判定为等边三角形）。（三）直角三角形的勾股定理应用题型1：边长计算解题思路直接套用勾股定理，若遇特殊角（30°/45°），结合特殊直角三角形的边长比简化计算；无直角时可作垂线构造直角三角形。题型2：勾股定理的逆定理应用解题思路先计算三角形三边的平方关系，若满足a²+b²=c²，则判定为直角三角形，常用于证明垂直关系。（四）HL定理的应用与直角三角形全等题型1：HL定理直接证明全等解题思路先明确两个三角形为直角三角形，再找斜边相等和一组直角边相等，直接用HL判定。题型2：HL与其他判定结合解题思路直角三角形全等可灵活选用HL、SAS、AAS，若已知斜边相等优先用HL，已知直角边和夹角优先用SAS。（五）最短路径问题（轴对称+等腰/直角三角形）解题思路作定点关于定直线的对称点，连接对称点与另一个定点，与定直线的交点即为最短路径的点，结合等腰三角形或直角三角形的性质计算路径长度。三、易错警示三、易错警示等腰三角形忽略分类讨论：错误：已知等腰三角形一边长为3，另一边长为7，直接求周长为13或17；提醒：先根据三角形三边关系判断腰长，3+3<7，故腰长只能为7，周长为17，未满足三边关系的情况需舍去。混淆“三线合一”的适用条件：错误：任意三角形的角平分线、中线、高都重合；提醒：“三线合一”仅适用于等腰三角形，且必须是顶角平分线、底边上的中线和高。勾股定理应用忽略直角边与斜边：错误：在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=3，直接认为AB=6（未确认BC是否为30°角对的直角边）；提醒：使用30°角性质和勾股定理时，先明确直角边与斜边的对应关系。HL定理的滥用：错误：用HL判定非直角三角形的全等；提醒：HL定理是直角三角形专属，一般三角形全等判定仍为SSS、SAS、ASA、AAS，SSA始终不成立。斜边中线性质的误用：错误：任意三角形一边的中线等于这边的一半；提醒：该性质仅适用于直角三角形，且中线必须在斜边上。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（23-24·陕西模拟）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，已知AB=5,∠B=70∘,∠C=35∘，若∠BAD=A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】根据三角形内角和定理求得∠ADB=75∘,∠DAC=【解答】解：∵∠B=70∘,∠C=35∘，∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=75∘，

∵∠BAD=40∘，

∴∠ADB=180∘−∠B−∠BAD=70∘，∠DAC=∠ADB−∠C=702.（24-25·陕西模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=20∘，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（

）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C【解析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出∠B=70∘，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD=AD=BD，根据等边对等角得出∠DCA=∠A=20∘,∠DCB=∠B=70∘【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=20∘，

∴∠B=180∘−∠A−∠ACB=180∘−90∘−20∘=70∘，

∵CD为AB边上的中线，

∴CD=AD=BD，

∴∠DCA=∠A=20∘,∠DCB=∠B=70∘,∠CDB=2∠A=40∘，

3.（24-25·陕西模拟）已知△ABC的三边分别为a、b、c，且a2+b2+cA.等腰三角形 B.等腰直角三角形

C.直角三角形 D.等边三角形【答案】D【解析】本题考查了因式分解的应用，根据完全平方公式进行等式的变形，利用非负数的性质即可求解．【解答】解：∴a2+b2+c2=ab+bc+ca，

∴2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca，

4.（24-25·河南模拟）在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（

）

A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C

C.BD=CD D.AD平分∠BAC【答案】B【解析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可．【解答】解：当∠ADB=∠ADC时，

∵点D在BC上，

∴∠ADB+∠ADC=180∘，

∴∠ADB=∠ADC=90∘，

∴AD⊥BC；故选项A不符合题意；

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，不能得到AD⊥BC；故选项B符合题意；

∵AB=AC，

∴当BD=CD或AD平分∠BAC时，AD⊥BC；故选项C，D均不符合题意；

故选B5.（24-25·湖北模拟）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（

）

A.b2+a2=c2 B.【答案】A【解析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据中间边长为b−a的正方形面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角边为a和b的直角三角形的面积列式求解即可．【解答】解：由题意得，中间小正方形的边长为b−a，大正方形的边长为c，

则(a−b)2=c2−12×4ab，

∴a2−2ab+b6.（25-26·全国模拟）如图，已知在△ABC中，∠A=70∘，AC=BC，根据图中尺规作图痕迹，∠ACE=（

）

A.4∘ B.5∘ C.8∘【答案】B【解析】首先根据等边对等角和三角形内角和定理得到∠ACB=180∘−∠A+∠ABC=40∘，由作图得DE垂直平分BC，BD平分∠ABC【解答】解：∵AC=BC，∴∠ABC=∠A=70∘，

∴∠ACB=180∘−∠A+∠ABC=40∘，

由作图痕迹可知：BE是∠ABC的平分线．

∴∠EBC=12∠ABC=35∘，

EF为线段BC的垂直平分线，

∴BE=CE，

7.（24-25·安徽模拟）如图，等边三角形ABC中，BC=6，D、E是边BC上的两点，BD=CE=1，P是线段DE上一动点，过点P分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点M、N，连接MN、AP，交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为（

）

A.32 B.332 C.3【答案】B【解析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理．过点A作AH⊥BC，垂足为H，先证明四边形PMAN是平行四边形，在点P由点D移动到点E的过程中，点G始终是AP的中点，且到边BC的距离始终等于12AH=332，点G【解答】解：过点A作AH⊥BC，垂足为H，

∵等边三角形ABC，BC=6，

∴BH=3，DE=6−1−1=4，

∴AH=62−32=33，

∵PM // AC，PN // AB，

∴四边形PMAN是平行四边形，

∴AG=PG，

∴在点P由点D移动到点E的过程中，点G始终是AP的中点，且到边BC的距离始终等于12AH=332，

∴点G的运动轨迹是△ADE的中位线，

∴点G的运动距离=12DE=2，

∴线段BG扫过的区域是底为2，高为332的一个三角形，8.（23-24·福建模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB=90∘，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论不正确的是（

）

A.AM=CM B.∠AHC=90∘ C.∠ACH=∠B 【答案】D【解析】根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的高线，中线的性质逐项判定解答即可．【解答】解：∵∠ACB=90∘，CM是斜边AB上的中线，∴AM=BM=CM=12AB，故A选项正确，不符合题意；

∠ACH+∠BCH=90∘，

∵CH分别是斜边AB上的高线，

∴CH⊥AB，

∴∠AHC=∠BHC=90∘，故B选项正确，不符合题意；

∴∠B+∠BCH=90∘，

∴∠ACH=∠B，故C选项正确，不符合题意；

只有当∠A=30∘时，9.（24-25·新疆模拟）如图，在△ABC中，∠B=90∘,∠A=30∘,BC=2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且ADA.1 B.2 C.1或3 D.1或2【答案】D【解析】由含30∘的直角三角形的性质可求AC=2BC=4,∠C=60∘，利用勾股定理求得AB=2【解答】解：在△ABC中，∠B=90∘,∠A=30∘,BC=2，∴AC=2BC=4,AB=23,∠C=60∘，

∵点D是AB的中点，

∴AD=3，

∵ADAB=DEBC，

∴DE=1，

如图，当∠ADE=90∘时，

∵∠ADE=∠ABC，ADAB=DEBC，

∴△ADE∽△ABC，

∴AEAC=ADAB=12，

∴AE=2，

如图，当∠ADE≠90∘时，取AC的中点H，连接DH，

∵点D是AB10.（24-25·内蒙古模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B=45∘,AB=6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（

）

A.2 B.6−32 C.22 【答案】D【解析】由折叠的性质可知，∠AEB=∠AEF=90∘，BE=EF，再根据菱形的性质，得出AE=BE，从而求出BE=32，则BF=6【解答】解：由折叠的性质可知，∠AEB=∠AEF=90∘，BE=EF，

在菱形ABCD中，∠B=45∘,AB=6，

∴∠BAE=∠B=45∘，BC=AB=6，

∴AE=BE，

∴AB=AE2+BE2=2BE=6，

∴BE=311.（24-25·福建模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD为直径的圆交BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（

）

A.5−1 B.25−2 C.2【答案】D【解析】如图，取BC的中点F，连接EF，CE，AF．解直角三角形可以求出AC和BC的长度，以及AF，EF的长度，因为AE≥AF−EF，可以得出AE的最小值．【解答】如图所示，取BC的中点F，连接EF，CE，AF．

∵∠ACB=90∘，AC=BC，AB=4

∴AC=BC=22

∵F是BC的中点

∴CF=2

∴AF=AC2+CF2=(22)2+(2)2=10

∵CD是直径

∴∠CED=∠CEB=

12.（24-25·广东模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠CAB=30∘，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则ADBEA.23 B.733 C.5【答案】A【解析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设BC=x，根据含30度的直角三角形的性质，得到AB=2x,AC=3x，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到CDBD=ACAB，进而求出CD的长，勾股定理求出AD的长，等角的正弦值相等，得到CDAD【解答】解：∵∠ACB=90∘，∠CAB=30∘，

∴AB=2BC,AC=3BC，

设BC=x，则：AB=2x,AC=3x，

∵AD平分∠CAB，∠ACB=90∘，

∴点D到AC,AB的距离相等均为CD的长，∠CAD=∠BAD，

∴S△ACDS△ABD=12AC⋅CD12AB⋅CD=CDBD，

∴CDBD=ACAB=32，

∴CD=13.（24-25·广西模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=5，过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连结EC，过点E作EF⊥CE，连结CF使tan∠ECF=12．当BF最短时，则AE的长度为（

）A.5 B.4 C.25 D.【答案】B【解析】在点A的右侧取一点G，使得AG=12AC=2，连结CG，GF，过点F作FH⊥l于点H，先根据相似三角形的判定与性质，推得∠HGF都是定值，点F在射线GF上运动，从而得到当BF⊥GF时，BF最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得GF和CG【解答】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得AG=12AC=2，连结CG，GF，过点F作FH⊥l于点H，

∵直线l∥BC，∠ACB=90∘，

∴∠CAG=90∘，

∵EF⊥CE，tan∠ECF=12，

∴tan∠ECF=EFCE=12，

∴EFCE=AGAC=12，

∵∠CEF=∠CAG=90∘，

∴△CEF∽△CAG，

∴CFCG=CECA，∠ECF=∠ACG，

∴CFCE=CGCA，∠GCF=∠ACE，

∴△GCF∽△ACE，

∴∠CGF=∠CAE=90∘，

∴∠ACG+∠AGC=90∘，∠AGC+∠HGF=90∘，

∴∠HGF=∠ACG，

∵tan∠ACG=AGAC=12，

∴∠ACG和∠HGF都是定值，

∴点F在射线GF上运动，

∴当BF⊥GF时，BF最短（如图2所示），

延长HF，CB相交于点N，

∵∠ACB=∠CAH=∠AHN=90∘，

∴四边形ACNH是矩形，

∴HN=AC=4，AH=CN，

∵BF⊥GF，∠CGF=90∘，

∴BF∥CG，

∴∠FBN=∠GCN，

∵AH∥CN，

∴∠CGA=∠GCN，

∴∠FBN=∠CGA，

∵∠FNB=∠CAG=90∘，

∴△FNB∽△CAG，

∴FNCA=BNGA，

∵AG=12AC，

∴FN=2BN，

设BN=x，则FN=2x，CN=5+x，

∴FH=4−2x，

∴AH=CN=x+5，

∴GH=(x+5)−2=x+3，

14.（24-25·四川中考）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′C，A.AB.AC.△A′CDD.四边形A′BED的面积【答案】D【解析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点A′作FG // AB，分别交AD、BC于点F、G，由折叠的性质得∠AEB=∠A′EB，求得DE=A′E，推出∠EDA=∠EA′D，由∠AEA′是△A′ED的外角，可求得∠AEB=∠EDA′，即可判断选项A；设AB=BC=CD=DA=10，DF=CG=x【解答】解：过点A′作FG // AB，分别交AD、BC于点F、G，

由折叠的性质得∠AEB=∠A′EB，AE=A′E，

∵E为边AD的中点，

∴AE=DE，

∴DE=A′E，

∴∠EDA=∠EA′D，

∵∠AEA′是△A′ED的外角，

∴∠AEA′=∠EDA+∠EA′D，

∴∠AEB=∠EDA′，

∴A′D∥BE，故选项A正确，不符合题意；

∵正方形ABCD，

∴AB=BC=CD=DA，∠BAE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=90∘，

设AB=BC=CD=DA=10，

∵E为边AD的中点，

∴AE=DE=5，

由折叠的性质得∠BAE=∠BA′E=90∘，AE=A′E=5，AB=A′B=10，

∵FG // AB，

∴四边形ABGF和DCGF为矩形，

∴FG=AB=10，∠EFA′=∠A′GB=∠EA′B=90∘，

设DF=CG=x，则EF=5−x，BG=10−x，

∴∠EA′F=90∘−∠GA′B=∠A′BG，

∴△EA′F∽△A′BG，

∴A′FBG=EFA′G=EA′15.（24-25·云南中考）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4，则PE+PF的最小值是（

）

A.4 B.27 C.6 D.【答案】C【解析】如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，由垂径定理得AC⌢=CF⌢=BF⌢，进而得∠AOC=∠COF=∠BOF=60∘，∠BOM=∠AOC=60∘=∠BOF，点F关于AB的对称点为点M【解答】解：如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，

∵AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，

∴AC⌢=CF⌢=BF⌢

∴∠AOC=∠COF=∠BOF，

∵∠AOC+∠COF+∠BOF=180∘，

∴∠AOC=∠COF=∠BOF=60∘，

∴∠BOM=∠AOC=60∘=∠BOF，

∴点F关于AB的对称点为点M，

∴PM=PF，

∴PE+PF=PE+PM≥EM,

当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，

∵∠AOC=60∘，AD⊥AB，

∴∠D=30∘，

∴OD=2OA，

∵CD=4，

∴OD=OC+4=2OA=2OC，即OC=4，

∴OC=OA=OB=OM=OF=4，

∵AF⊥OC，∠AOC=（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·达州模拟）如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE=AD，则∠EDC=_____15°_______．

【答案】15【解析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD=30∘，又由AD=AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，

∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×60∘=30∘，

∴∠ADC=90∘，

∵AD=AE17.（24-25·河南模拟）如图，∠AOB=90∘，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E．设OC=1，则OE的长是______3________．

【答案】3【解析】本题考查了等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．

先确定△OCD是等边三角形，则∠OCD=60【解答】解：连OD，由作图可得OD=OD=CD，

∴△OCD是等边三角形，

∴∠OCD=60∘，

∴OE=OC×tanC=3×1=3，

故答案为：18.（23-24·西藏中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点P为BC上一个动点，连接AP，将△ACP沿AP折叠得到△ADP，点C的对应点为D，连接BD，若AC=5，BC=12，当△PBD为直角三角形时，线段CP的长为______103或5______．

【答案】103或5【解析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，分当∠DPB=90∘时，当【解答】解：如图所示，当∠DPB=90∘时，则∠DPC=90∘，

由折叠的性质可得∠APC=∠DPA=12∠DPC=45∘，

∵∠ACB=90∘，

∴△ACP是等腰直角三角形，

∴CP=AC=5；

如图所示，∠BDP=90∘时，

由折叠的性质可得CP=DP,∠ADP=∠C=90∘，

∴∠ADP+∠BDP=180∘，

∴A、D、B三点共线，

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=AC2+BC2=13，

∵S△ABC19.（24-25·广西模拟）如图，△ABC≅△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=α，则∠CAF的度数为______90∘−α______________．

【答案】90∘【解析】由全等三角形的性质可求得∠ACB=∠DCE，进而得出∠BCE=∠ACD=α，由直角三角形的性质即可求解∠CAF的度数．【解答】解：∵△ABC≅△DEC，

∴∠ACB=∠DCE，

∴∠ACB−∠ACE=∠DCE−∠ACE，即∠BCE=∠ACD=α，

在△AFC中，

∵AF⊥CD，

∴∠AFC=90∘，

∴∠CAF=90∘−α，

20.（24-25·黑龙江模拟）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=3cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB=30∘，则△PMN周长的最小值是_____3cm_______．

【答案】3cm【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．

∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，

∴PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA；

∵点P关于OB的对称点为D，

∴PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB，

∴OC=OD=OP=3cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60∘，

∴△COD是等边三角形，

∴CD=OC=OD=3cm．

∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3cm．

故答案为：3cm．21.（24-25·陕西模拟）如图，分别在三角形纸板ABC的顶点A,B处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线AD和BE，相交于点P，AB=6,AC=8,BC=10．则CP的长度是______2733__________

【答案】273【解析】本题考查了三角形重心的性质，根据题意得出P为Rt△ABC的重心，连接CP并延长交AB于点F，勾股定理求得CF，进而根据重心的性质，即可求解．【解答】解：如图所示，连接CP并延长交AB于点F，

∵AB=6,AC=8,BC=10

∴AB2+AC2=BC2

∴△ABC是直角三角形，

依题意，P为Rt△ABC的重心

∴AF=FB=12AB=3

在（23-24·新疆中考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘,∠A=30∘,AB=8．若点D在直线AB上（不与点A，B重合），且∠BCD=30∘，则AD【答案】6或12【解析】本题考查了含30∘的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，分①点D在线段AB时，②点D在线段AB延长线上时，③点D在线段BA【解答】解：∵∠C=90∘，∠A=30∘，AB=8，

∴∠B=60∘，BC=12AB=4，

①点D在线段AB时，

∵∠BCD=30∘，∠B=60∘，

∴∠BDC=90∘，

∴BD=12BC=2，

∴AD=AB−BD=6；

②点D在线段AB延长线上时，

∵∠BCD=30∘，∠ABC=60∘，

∴∠D=∠ABC−∠BCD=30∘=∠BCD，

∴BC=BD=4，

∴AD=AB+BD=1223.（24-25·江苏模拟）如图，在△ABC中，AB=6，∠BAC=30∘，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN最小值是____3_______．

【答案】3【解析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，直角三角形的性质，角平分线的性质，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过点M′作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′【解答】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过点M′作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴M′H=M′N′，

∴BH是点B到直线AC24.（24-25·江苏模拟）如图，在菱形ABCD中，点E为BC的中点，将菱形ABCD沿DE翻折，使点C落在AE上的点F处．若AB=2，则折痕DE的长为______6________．

【答案】6【解析】由菱形ABCD，折叠的性质可知，∠ADE=∠AED，则AE=AD=AB=2，如图，作AG⊥BC于G，则BG=12BE=12，由勾股定理得，AG=152，如图，作DH⊥BC的延长线于H，证明Rt△ABG≅Rt△DCH【解答】解：∵菱形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠ADE=∠CED，

由折叠的性质可知，∠AED=∠CED，

∴∠ADE=∠AED，

∴AE=AD=AB=2，

如图，作AG⊥BC于G，

∴BG=12BE=12，

由勾股定理得，AG=AB2−BG2=152，

如图，作DH⊥BC的延长线于H，

∴DH=AG，

又∵AB=CD，

∴Rt△ABG≅Rt△DCHHL，

25.（24-25·四川中考）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ(a,θ)变换，现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ(1,180∘)变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1【答案】−2027【解析】本题考查坐标旋转中的规律探究，过点C作CD⊥x轴，根据斜边上的中线，得到CD=12AB=AD=12，进而得到C12,12，根据变化规则，得到C212+1−2,12，C3−12−1+2−3,−【解答】解：过点C作CD⊥x轴，

∵△ABC为斜边为1的等腰直角三角形，

∴CD=12AB=AD=12，

∴C12,12，

∴C1是由C12,12先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转180∘，即根据平移后的点关于原点对称得到的，

∴C1−12−1,−12，

同理：C212+1−2,12，（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·江西模拟）如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB=6cm，长AD=10cm，求EC的长．

【答案】8【解析】本题考查翻折问题，勾股定理，熟练运用勾股定理是解题的关键．根据长方形的性质可得AD=BC，根据翻转变换的性质可得AF=AD，EF=DE，利用勾股定理列式求出BF，求出FC，然后设DE=xcm，表示出EC，在Rt△CEF中，利用勾股定理列方程求出x的值，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10cm，CD=AB=6cm，

∵长方形纸片沿AE折叠，点D落在BC边的点F处，

∴AF=AD=10cm，EF=DE，

在Rt△ABF中，BF=AF2−AB2=102−62=8；

∴FC=BC−BF=10−8=2cm，

设DE=xcm，则EC=CD−DE=6−x，

在Rt△CEF中，E27.（24-25·河北中考）如图．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC=AD，∠ACB=∠ADB，点F在ED上，∠BAF=∠EAD．

（1）求证：△ABC≅△AFD；（2）若BE=FE，求证：AC⊥BD．【答案】证明见解答证明见解答【解析】（1）先证明∠BAC=∠FAD，结合AC=AD，∠ACB=∠ADB，即可得到结论；（2）先证明AB=AF，结合BE=FE即可得到结论.【解答】（1）解：证明：∵∠BAF=∠EAD，

∴∠BAC=∠FAD，

∵AC=AD，∠ACB=∠ADB，

∴△ABC≅△AFD；（2）证明：∵△ABC≅△AFD，

∴AB=AF，

∵BE=FE，

∴AE⊥BF，即AC⊥BD.28.（24-25·吉林模拟）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、E、H均在格点上．只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．

（1）在图①中，以AB为腰画一个等腰直角三角形ABC；（2）在图②中，画△ABE的高线ED；（3）在图③中，在AB边上找一点F，连接HF，使得HF平分△ABH的面积．【答案】见解答见解答见解答【解析】（1）根据等腰三角形的定义，作图即可；（2）根据高线定义，作图即可；（3）根据长方形的性质结合三角形中线的性质作图即可．【解答】（1）解：如图，△ABC或△ABC′都是满足条件的等腰直角三角形．

（2）解：如图所示,ED即为所求；

；（3）解：如图所示,HF即为所求．

．

29.（24-25·河南模拟）如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90∘，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m．

（1）求四边形ABCD的面积；（2）若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【答案】(1)36平方米．(2)7200(元)．

【解析】（1）仔细分析题目，需要求得四边形ABCD的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得△DBC为直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△DBC构成，则容易求解；（2）根据总价=单价×数量计算即可求解．【解答】（1）解：(1)连接BD，如图，

∵∠A=90∘，AB=3m，DA=4m，

∴BD2=AB2+AD2=32+42=52.

∵BC=12m，CD=13m，

∴122+5（2）36×200=7200(元)．

答：学校需要投入7200元资金买草皮．

30.（24-25·广东中考）在△ABC中，点D是线段AB上一动点，连接CD．将线段CD绕点C逆时针旋转至CE，记旋转角为α，连接AE．取AE的中点为点G，连接CG．

【特例感知】（1）如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90∘，α=90∘．延长AC至点F，使AC=CF，连接EF．请直接写出EF与BD的数量关系___EF=BD____，CG与BD的数量关系___（2）如图2，已知△ABC是等腰三角形，AC=BC，∠ACB=120∘，α=60∘．探究线段CG与（3）如图3，已知在△ABC中，BC=13，AC=7，∠ABC=30∘，∠ACB=180∘−α【答案】EF=BD，CG=12CG=132【解析】（1）利用余角性质可得∠BCD=∠FCE，进而由SAS可证明△BCD≅△FCE，得到EF=BD，再由三角形中位线性质可得CG=12BD；

(2)如图2，延长AC至点F，使得CF=AC，连接EF，同理(1)即可求解；

(3)如图3，在线段CB上作CA′=CA，连接DA′，延长AC至点F，使得CF=AC，连接EF，同理(1)可得CG=12EF=【解答】（1）解：∵α=90∘，

∴∠DCE=90∘，

∴∠BCD+∠BCE=90∘，

∵∠ACB=90∘，

∴∠FCE+∠BCE=90∘，

∴∠BCD=∠FCE，

∵AC=BC，AC=CF，

∴BC=FC，

又由旋转可知，CD=CE，

∴△BCD≅△FCESAS，

∴BD=EF，

即EF=BD，

∵G是AE的中点，AC=CF，

∴CG为△AEF的中位线，

（2）CG=12BD．

证明：如图2，延长AC至点F，使得CF=AC，连接EF，

∵∠ACB=120∘，

∴∠BCF=60∘，

∵AC=BC，CF=AC，

∴BC=CF，

由旋转得CD=CE，∠DCE=60∘，

∴∠BCF=∠DCE，

∴∠BCF−∠BCE=∠DCE−∠BCE，

∴∠DCB=∠ECF，

∴△DCB≅△ECFSAS，

∴BD=EF，

∵AG=GE（3）解：如图3，在线段CB上作CA′=CA，连接DA′，延长AC至点F，使得CF=AC，连接EF，

∴CA′=CF，∠A′CF=180∘−∠ACB=180∘−α，

由旋转得DC=CE，∠DCE=β，

∵α+β=180∘，

∴∠A′CF=∠DCE，

∴∠A′CF−∠A′CE=∠DCE−∠A′CE，

∴∠DCA′=∠ECF，

∵CA′=CF，

∴△DCA′≅△ECFSAS，

∴DA′=EF

∵AG=GE，AC=CF，

∴CG=12EF=131.（24-25·吉林模拟）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60∘得到线段AE，连接CE．

（1）【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；（2）【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60∘得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC（3）【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60∘得到线段DE，连接CE．点D在运动过程中，△DEC的周长最小值=____2+【答案】BD=CE，证明见解答见解答2+3【解析】（1）由旋转的性质可得AD=AE，∠DAE=60∘，由“SAS”可证△ABD≅△ACE，可得（2）由旋转的性质可得AD=AE，∠DAE=60∘，由“SAS”可证△ABD≅△ACE，可得∠ADB=∠AEC=120（3）连接AE，由旋转可得AD=DE，∠DDE=60∘，则△ADE是等边三角形，所以DE=AD，由(1)知BD=CE，所以△DCE的周长=CD+CE+DE=CD+BD+AD=BC+AD=2+AD，所以当AD最小时，△DCE的周长最小，最小值=2+AD，所以当AD⊥BC时，AD最小，此时△DCE的周长最小，由等边三角形性质求得BD=1【解答】（1）解：BD=CE，

证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转60∘得到AE，

∴AD=AE，∠DAE=60∘，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60∘=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，（2）证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转60∘得到AE，

∴AD=AE，∠DAE=60∘，

∴∠ADE=∠AED=60∘，

∴∠ADB=120∘，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60∘=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≅△ACESAS，

∴∠ADB=∠AEC=120（3）解：连接AE，如图，

由旋转可得AD=DE，∠ADE=60∘，

∴△ADE是等边三角形，

∴DE=AD

由(1)知BD=CE

∴△DCE的周长=CD+CE+DE=CD+BD+AD=BC+AD=2+AD，

∴当AD最小时，△DCE的周长最小，最小值=2+AD，

∴当AD⊥BC时，AD最小，此时△DCE的周长最小，

∵AD⊥BC，等边△ABC，

∴BD=12BC=1，

由勾股定理，得AD=AB232.（24-25·湖北模拟）如图1，等边△ABC的边长为4，点D是直线AB上异于A，B的一动点，连接CD，以CD为边长，在CD在侧作等边△CDE，连接BE．

（1）求证：BE∥AC；（2）当点D在直线AB上运动时，

①△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求此时AD的长；若不存在，说明理由；

②△BDE能否形成直角三角形？若能，求此时AD的长；若不能，说明理由．【答案】证明见解答①△BDE的周长存在最小值，此时AD的长为2；②AD=8或AD=4【解析】（1）根据等边三角形的性质，证明△ACD≅△BCESAS，得到∠4=∠6，推出∠4=∠7（2）①△ACD≅△BCE，得到AD=BE，进而得到△BDE的周长=DE+DB+BE=DE+DB+AD=DE+AB=DE+4=CD+4，根据垂线段最短，得到CD⊥AB时，CD最短，利用三线合一进行求解即可；②分点D在AB的延长线上和在BA的延长线上，两种情况进行讨论求解．【解答】（1）解：证明：∵等边△ABC，

∴∠ACB=∠4=∠5=60∘，AC=BC

∴∠1+∠3=60∘

∵等边△CDE，

∴∠DCE=60∘，DC=EC

∴∠2+∠3=60∘，

∴∠1=∠2，

在△ACD和△BCE中AC=BC∠1=∠2DC=EC ，

∴△ACD≅△BCESAS

∴∠4=∠6，

（2）解：①由(1)知△ACD≅△BCE，

∴AD=BE，

∴△BDE的周长=DE+DB+BE=DE+DB+AD=DE+AB=DE+4=CD+4，

由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD最短，

故△BDE的周长最小，

当CD⊥AB时，在等边△ABC中，由三线合一可得：点D为AB的中点，

∴此时AD的长为12AB=2，

∴△BDE的周长存在最小值，此时AD的长为2；

②分以下情况讨论：

当点D在AB的延长线上时，

由(1)知∠7=60∘