山东大学卧龙东校区高三数学竞赛试题 理 新人教A版.doc

卧龙东校区高三理科数学竞赛试题第卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知实数集r，集合集合，则=( )a.b. c. d. 2. 直线:kx+(1k)y3=0和:(k1)x+(2k+3)y2=0互相垂直，则k=( )a. 3或1 b. 3或 c. 3或 d. 1或3 3. 函数的最小正周期是( )a. b. c. 2 d. 4 4. 如图，正三棱柱abc的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为( )a. b. 4 c. d. 5.设为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且,有两个命题：若，则；：若，则；那么( )a“或”是假命题 b“且”是真命题c“非或” 是假命题 d“非且”是真命题 6. 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）a、 b、 c、 d、7. 函数y=lg|的大致图象为( )8. 设p:|4x3|1，q: (2a+1)x+a(a+1)0，若非p是非q的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( )a. b. c. （，0 d.（，0）9. 在等差数列中，=2 012 ，其前n项和为，若=2，则的值等于( )a. 2 011 b. 2 012 c. 2 010 d. 2 01310. 偶函数f(x)满足f(x1)=f(x+1)，且在x0，1时,f(x)=x ，则关于x的方程f(x)= ，在x0，4上解的个数是( )a. 1 b. 2 c. 3 d. 411. 已知实数x,y满足|2x+y+1|x+2y+2|，且，则z=2x+y的最大值( )a. 6 b. 5 c. 4 d. 312. 在abc中，e、f分别为ab，ac中点.p为ef上任一点,实数x，y满足+x+y=0.设abc，pbc，pca，pab的面积分别为s，记,则取最大值时，2x+y的值为( )a. 1 b. 1 c. d. 第卷（非选择题 共90分）二、 填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上.13已知直线经过圆的圆心，则的最小值为 .14不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 .15已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为 16对于各数互不相等的整数数组（是不小于3的正整数），若对任意的，当时有，则称是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2，3，1）的逆序数等于2.若数组，的逆序数为，则数组，）的逆序数为 .三、 解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）在abc中，角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且满足cos,=3.（） 求abc的面积； （） 若c=1,求a、sinb的值.18（本题满分12分）如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是与的交点，平面，是侧棱的中点，异面直线和所成角的大小是60.（）求证：直线/平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）如图,在直角梯形abcp中，ap/bc，apab，ab=bc=ap=2，d是ap的中点，e，f，g分别为pc、pd、cb的中点，将pcd沿cd折起，使得pd平面abcd. (1) 求证：平面pcd平面pad；() 求二面角gefd的大小；20（本题满分12分）已知数列中，且（且）.（）证明：数列为等差数列； （）求数列的前项和.21. （本小题满分12分）已知椭圆的焦点坐标为（1,0），（1,0），过垂直于长轴的直线交椭圆于p、q两点，且|pq|=3，（） 求椭圆的方程；（） 过的直线l与椭圆交于不同的两点m、n，则mn的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.22.（本题满分14分）已知函数（为常数，）.（）若是函数的一个极值点，求的值；（）求证：当时，在上是增函数；（）若对任意的（1，2），总存在，使不等式成立，求实数的取范围.卧龙东校区高三理科数学竞赛试题参考答案一、 选择题1. b 2 c 3 b 4 d 5 d 6 b 7 d 8 a 9 b 10 d 11 b 12 d二、填空题：13. 4 14. 15. 16.三、 解答题17. 解：（1） cosa=21=,而cosa=bc=3，bc=5又a（0，），sina=s=bcsina=5=2. 6分（2） bc=5,而c=1，b=5.2bccosa=20，a=10分又，sinb=.12分18.解：（）连结， 四边形是正方形，是的中点，2分又是侧棱的中点，/. 4分又平面，平面直线/平面.5分（）建立如图空间坐标系，则7分设平面的法向量，则有即 解得9分直线与平面所成角记为，12分19.解 (1) 证明:方法一:pd平面abcdpdcd cdadcd平面padcd平面pcd平面pcd平面pad4分方法二：略（向量法）（2） 如图以d为原点,以为方向向量建立空间直角坐标系dxyz. 则有关点及向量的坐标为: 5分g（1，2，0）,e（0，1，1），f（0，0，1）=（0，1，0），=（1，1，1）6分设平面efg的法向量为=（x，y，z） 第19题图取=(1,0,1) 平面pcd的一个法向量, =(1,0,0)8分cos10分结合图知二面角gefd的大小为4512分20.解：（）设1分=4分所以数列为首项是2公差是1的等差数列.5分（）由（）知，7分8分设 ，得11分所以12分21. 解：（1） 设椭圆方程为=1（ab0）,由焦点坐标可得c=1 由|pq|=3，可得=3， 解得a=2，b=，故椭圆方程为=14分（2） 设m，n,不妨0, 0,设mn的内切圆的径r，则mn的周长=4a=8，（mn+m+n）r=4r因此最大，r就最大， ，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得+6my9=0， 得，9， 则ab（）=， 令t=,则t1,则, 令f（t）=3t+，则f(t) =3，当t1时，f(t)0,f(t)在1,+)上单调递增，有f(t)f(1)=4, =3,即当t=1,m=0时，=3, =4r，=，这时所求内切圆面积的最大值为.故直线l:x=1，amn内切圆面积的最大值为12分22解：1分（）由已知，得即，经检验，满足条件.4分（）当时，5分当时，.又，故在上是增函数6分（）当时，由（）