高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定与性质课件 文.ppt

第五节直线 平面垂直的判定与性质 总纲目录 教材研读 1 直线与平面垂直 考点突破 2 直线与平面所成的角 3 二面角的有关概念 考点二面面垂直的判定与性质 考点一线面垂直的判定与性质 考点三空间中的垂直关系与翻折问题 4 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 1 直线与平面垂直 1 直线和平面垂直的定义直线l与平面 内的 任意一条直线都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 2 直线与平面垂直的判定定理及性质定理 教材研读 与 直线与平面垂直 有关的结论 1 直线与平面垂直的定义常常逆用 即a b a b 2 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于该平面 3 垂直于同一条直线的两个平面平行 4 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 5 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 2 直线与平面所成的角 1 定义 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 一条直线垂直于平面 就说它们所成的角是直角 一条直线和平面平行 或在平面内 就说它们所成的角是0 的角 如图所示 pao就是斜线ap与平面 所成的角 2 线面角 的范围 3 二面角的有关概念 1 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 2 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 4 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 1 给出下列四个命题 垂直于同一直线的两个平面互相平行 垂直于同一平面的两个平面互相平行 若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线 那么这条直线垂直于这个平面 其中真命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 b 答案b 正确 2 下列命题中错误的是 a 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 b 如果平面 不垂直平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 c 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 平面 d 如果平面 平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 d 答案d对于选项a 在平面 内凡是平行于交线的直线 就一定平行于平面 故a正确 对于选项b 假设平面 内存在直线垂直于平面 根据面面垂直的判定定理可得两平面垂直 与已知相矛盾 故假设不成立 b正确 对于选项c 在l上任取一点a 在 与 内分别向 与 和 与 的交线作垂线 利用面面垂直的性质可知两直线均垂直于平面 又两直线都过a点 这两条直线垂直 该直线为 与 的交线 选项c正确 故选d 3 设m n表示直线 表示平面 下列命题为真命题的是 a 若m 则m b m m 则 c 若m n m 则n d m n 则m n b 答案b对于a m可以在 内 故a错 对于c n可以在 内 故c错 对于d m与n可以异面 故d错 4 已知m和n是两条不同的直线 和 是两个不重合的平面 下面给出的条件中一定能推出m 的是 a 且m b 且m c m n且n d m n且n c 答案c对于选项a 且m 可得m 或m与 相交或m 故a不成立 对于选项b 且m 可得m 或m 或m与 相交 故b不成立 对于选项c m n且n 则m 故c正确 对于选项d 由m n且n 可得m 或m与 相交或m 故d不成立 故选c 5 已知p为 abc所在平面外一点 且pa pb pc两两垂直 有下列结论 pa bc pb ac pc ab ab bc 其中正确的是 a b c d a 答案a如图 因为pa pb pa pc pb pc p 且pb 平面pbc pc 平面pbc 所以pa 平面pbc 又bc 平面pbc 所以pa bc 同理可得pb ac pc ab 故 正确 无法得到 故选a 6 如图 abc是等腰直角三角形 bac 90 ab ac 1 将 abc沿斜边bc上的高ad折叠 使平面abd 平面acd 则折叠后bc 1 答案1 解析因为ad bc 所以ad bd ad cd 所以 bdc是二面角b ad c的平面角 因为平面abd 平面acd 所以 bdc 90 在 bcd中 bdc 90 bd cd 所以bc 1 典例1如图所示 在四棱锥p abcd中 ab 平面pad ab cd pd ad e是pb的中点 f是dc上的点且df ab ph为 pad中ad边上的高 1 求证 ph 平面abcd 2 求证 ef 平面pab 考点一线面垂直的判定与性质命题方向一证明直线与平面垂直 考点突破 又 df ab me平行df 四边形mefd是平行四边形 ef md pd ad md pa ab 平面pad md ab pa ab a md 平面pab ef 平面pab 典例2如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 已知ac bc bc cc1 设ab1的中点为d b1c bc1 e 求证 1 de 平面aa1c1c 2 bc1 ab1 命题方向二证明线线垂直 证明 1 由题意知 e为b1c的中点 又d为ab1的中点 因此de ac 又因为de 平面aa1c1c ac 平面aa1c1c 所以de 平面aa1c1c 2 因为棱柱abc a1b1c1是直三棱柱 所以cc1 平面abc 因为ac 平面abc 所以ac cc1 又因为ac bc cc1 平面bcc1b1 bc 平面bcc1b1 bc cc1 c 所以ac 平面bcc1b1 又因为bc1 平面bcc1b1 所以bc1 ac 因为bc cc1 所以矩形bcc1b1是正方形 因此bc1 b1c 因为ac b1c 平面b1ac ac b1c c 所以bc1 平面b1ac 又因为ab1 平面b1ac 所以bc1 ab1 规律总结证明线面垂直的常用方法及关键 1 证明直线和平面垂直的常用方法 判定定理 垂直于平面的传递性 a b a b 面面平行的性质 a a 面面垂直的性质 2 证明线面垂直的关键是证线线垂直 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 因此 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 1 1如图 在三棱锥a bcd中 ab ad bc bd 平面abd 平面bcd 点e f e与a d不重合 分别在棱ad bd上 且ef ad 求证 1 ef 平面abc 2 ad ac 证明 1 在平面abd内 因为ab ad ef ad 所以ef ab 又因为ef 平面abc ab 平面abc 所以ef 平面abc 2 因为平面abd 平面bcd 平面abd 平面bcd bd bc 平面bcd bc bd 所以bc 平面abd 因为ad 平面abd 所以bc ad 又ab ad bc ab b ab 平面abc bc 平面abc 所以ad 平面abc 又因为ac 平面abc 所以ad ac 1 2如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 1 证明 cd ae 2 证明 pd 平面abe 证明 1 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd cd 平面abcd pa cd ac cd pa ac a cd 平面pac 而ae 平面pac cd ae 2 由pa ab bc abc 60 可得ac pa e是pc的中点 ae pc 由 1 知 ae cd 且pc cd c ae 平面pcd 而pd 平面pcd ae pd pa 底面abcd pd在底面abcd内的射影是ad 又 ab ad ab pd 又ab ae a pd 平面abe 考点二面面垂直的判定与性质 典例3如图 四棱锥p abcd中 ab ac ab pa ab cd ab 2cd e f g m n分别为pb ab bc pd pc的中点 1 求证 ce 平面pad 2 求证 平面efg 平面emn 证明 1 取pa的中点h 连接eh dh 因为e为pb的中点 所以eh ab eh ab 又ab cd cd ab 所以eh cd eh cd 因此四边形dceh是平行四边形 所以ce dh 又dh 平面pad ce 平面pad 因此 ce 平面pad 探究 1 在本例条件下 证明 平面emn 平面pac 2 在本例条件 证明 平面efg 平面pac 证明 1 因为ab pa ab ac 且pa ac a 所以ab 平面pac 又mn cd cd ab 所以mn ab 所以mn 平面pac 又mn 平面emn 所以平面emn 平面pac 2 因为e f g分别为pb ab bc的中点 所以ef pa fg ac 又ef 平面pac pa 平面pac 所以ef 平面pac 同理 fg 平面pac 又ef eg f 所以平面efg 平面pac 1 证明面面垂直的思路 1 利用面面垂直的定义 不常用 2 可以考虑证线面垂直 即设法先找到其中一个平面的一条垂线 再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行 一般方法 先从现有的直线中寻找平面的垂线 若图中存在这样的直线 则可通过线面垂直来证明面面垂直 若图中不存在这样的直线 则可通过作辅助线来解决 常用方法 方法指导 2 三种垂直关系的转化线线垂直线面垂直面面垂直 2 1如图 三棱台def abc中 ab 2de g h分别为ac bc的中点 1 求证 bd 平面fgh 2 若cf bc ab bc 求证 平面bcd 平面egh 证明 1 连接dg cd 设cd gf m 连接mh 在三棱台def abc中 ab 2de g为ac的中点 可得df gc df gc 所以四边形dfcg为平行四边形 则m为cd的中点 又h为bc的中点 所以hm bd 又hm 平面fgh bd 平面fgh 所以bd 平面fgh 2 连接he eg 因为g h分别为ac bc的中点 2 2 2017山东 18 12分 由四棱柱abcd a1b1c1d1截去三棱锥c1 b1cd1后得到的几何体如图所示 四边形abcd为正方形 o为ac与bd的交点 e为ad的中点 a1e 平面abcd 1 证明 a1o 平面b1cd1 2 设m是od的中点 证明 平面a1em 平面b1cd1 证明 1 取b1d1的中点o1 连接co1 a1o1 由于abcd a1b1c1d1是四棱柱 所以a1o1 oc a1o1 oc 因此四边形a1oco1为平行四边形 所以a1o o1c 又o1c 平面b1cd1 a1o 平面b1cd1 所以a1o 平面b1cd1 2 因为ac bd e m分别为ad和od的中点 所以em bd 又a1e 平面abcd bd 平面abcd 所以a1e bd 因为b1d1 bd 所以em b1d1 a1e b1d1 又a1e em 平面a1em a1e em e 所以b1d1 平面a1em 又b1d1 平面b1cd1 所以平面a1em 平面b1cd1 典例4 2016课标全国 19 12分 如图 菱形abcd的对角线ac与bd交于点o 点e f分别在ad cd上 ae cf ef交bd于点h 将 def沿ef折到 d ef的位置 1 证明 ac hd 2 若ab 5 ac 6 ae od 2 求五棱锥d abcfe的体积 考点三空间中的垂直关系与翻折问题 解析 1 证明 由已知得ac bd ad cd 又由ae cf得 故ac ef 由此得ef hd ef hd 所以ac hd 2 由ef ac得 由ab 5 ac 6得do bo 4 所以oh 1 d h dh 3 于是od 2 oh2 2 2 12 9 d h2 故od oh 由 1 知ac hd 又ac bd bd hd h 所以ac 平面bhd 于是ac od 又由od oh ac oh o 所以od 平面abc 又由 得ef 五边形abcfe的面积s 6 8 3 所以五棱锥d abcfe的体积v 2 规律总结对于翻折问题 应明确 在同一个平面上的性质不发生变化 不在同一个平面上的性质可能会发生变化 解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值 这是解决翻折问题的主要方法 3 1如图1 在直角梯形abcd中 ad bc bad ab bc ad a e是ad的中点 o是ac与be的交点 将 abe沿be折起到图2中 a1be的位置 得到四棱锥a1 bcde 1 证明 cd 平面a1oc 2 当平面a1be 平面bcde时 四棱锥a1 bcde的体