高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.4 第1课时 比较法、分析法、综合法课件 北师大版选修45.ppt

第一章不等关系与基本不等式 4不等式的证明 第一课时比较法 分析法 综合法 阅读教材p16 p18的有关内容 完成下列问题 1 比较法 1 作差比较法我们已经知道a b a b 0 a b a b 0 因此 要证明a b 只要证明 即可 这种方法称为作差比较法 a b 0 1 1 作差比较法主要适用的类型是什么 实质是什么 2 作商比较法主要适用的类型是什么 提示 1 作差比较法主要适用于具有多项式结构特征的不等式证明 实质是把判断两个数 或式子 大小的问题转化为判断一个数 或式子 与0大小的问题 2 作商比较法主要适用于积 商 幂 根式 指数式形式的不等式证明 2 分析法从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止 这种证法称为分析法 即 的证明方法 执果索因 3 综合法从已知条件出发 利用不等式的性质 或已知证明过的不等式 推出所要证明的结论 即 的方法 这种证明不等式的方法称为综合法 由因寻果 2 试分析综合法与分析法证明不等式的逻辑关系 提示 综合法a 已知 b1 b2 bn b 结论 逐步推演不等式成立的必要条件 分析法b 结论 bn bn 1 b1 a 已知 步步寻求不等式成立的充分条件 用比较法证明不等式 1 已知a b 则a4 6a2b2 b4 4ab a2 b2 选填 或 1 解析 a4 6a2b2 b4 4ab a2 b2 a4 2a2b2 b4 8a2b2 4ab a2 b2 a2 b2 2 4ab 2ab a2 b2 a b 2 a b 2 4ab a b 2 a b 2 a b 4 因为a b 所以 a b 4 0 所以a4 6a2b2 b4 4ab a2 b2 答案 点评 比较法是证明不等式的一个最基本 最常用的方法 当被证明的不等式的两端是多项式 分式或对数式 一般使用作差比较法 当被证明的不等式 或变形后 的两端都是正数且为积的形式或幂指数的形式时 一般使用作商比较法 1 1 已知a b 0 求证 2a3 b3 2ab2 a2b 2 已知a 2 求证 loga a 1 log a 1 a 证明 1 2a3 b3 2ab2 a2b 2a a2 b2 b a2 b2 a2 b2 2a b a b a b 2a b 因为a b 0 所以a b 0 a b 0 2a b 0 从而 a b a b 2a b 0 即2a3 b3 2ab2 a2b 用分析法证明不等式 点评 用分析法证题时 语气总是假定的 常用 欲证a只需证b 表示 说明只要b成立 就一定有a成立 所以b必须是a的充分条件才行 当然b是a的充要条件也可 有 y x xy 2 xy x y 1 xy 2 1 xy x y x y xy 1 xy 1 x y xy 1 xy 1 xy x y 1 xy 1 x 1 y 1 由x 1 y 1 得 xy 1 x 1 y 1 0 从而所要证明的不等式成立 用综合法证明不等式 3 已知a b c是互不相等的正数 且abc 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a 27 因为a b c是互不相等的正数 所以上述不等式中等号不成立 因为abc 1 所以 1 a b 1 b c 1 c a 27 分析法与综合法结合起来证明不等式 已知a b c 0 且ab bc ca 1 点评 在证明不等式的过程中 分析法 综合法常常是不能分离的 使用综合法证明不等式难以入手时常用分析法探索证题的途径 之后用综合法形式写出它的证明过程 以适应人们习惯的思维规律 有时问题的证明难度较大 常使用分析综合法 实现从两头往中间靠以达到证题目的 3 分析法与综合法 1 分析法与综合法相辅相成 对于较复杂的问题 常常先从结论进行分析 寻求结论与条件的关系 找到解题思路 再运用