高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 双曲线及其性质课件 理.ppt

9 5双曲线及其性质 高考理数 考点一双曲线的定义及其标准方程1 双曲线的两焦点f1 f2之间的距离 f1f2 2c 对双曲线上任意一点m都有 mf1 mf2 2a2c 其轨迹 不存在 2 双曲线的标准方程双曲线的标准方程是根据双曲线的定义 通过建立恰当的坐标系求出的 若已知所求曲线是双曲线 也可利用待定系数法求方程 参数b 是由于进一步化简方程的需要而引入的 但它同样具有明确的几何意义 即b表示双曲线虚半轴的长 由双曲线的标准方程可确定双曲线实半轴长a和虚半轴长b 再结合c2 a2 b2 就可得到双曲线的顶点 焦 知识清单 点坐标 实轴长 虚轴长 焦距 离心率 渐近线等性质 求双曲线的标准方程也是从 定形 定式 和 定量 三个方面去考虑 定形 是指对称中心在原点 以坐标轴为对称轴的情况下 焦点在哪条坐标轴上 定式 是根据 形 设双曲线方程的具体形式 定量 是指用定义法或待定系数法确定a b的值 若双曲线的焦点在x轴上 可设双曲线方程为 1 a 0 b 0 若双曲线的焦点在y轴上 可设双曲线方程为 1 a 0 b 0 若焦点位置无法确定 可设双曲线方程为 1 mn 0 或ax2 by2 1 ab 0 的形式 这样可避免讨论 减少运算量 考点二双曲线的几何性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 双曲线为等轴双曲线 双曲线的离心率e 两条渐近线互相垂直 考点三直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系主要是指公共点问题 相交弦问题及其他综合问题 解决这样的问题 常用下面的方法 将双曲线方程c 1与直线方程l y kx m联立消去y 整理得 b2 a2k2 x2 2a2mkx a2m2 a2b2 0 当b2 a2k2 0 即k 时 直线l与双曲线c的渐近线平行 直线l与双曲线c只有一个交点 当b2 a2k2 0 即k 时 设该一元二次方程根的判别式为 1 当 0时 直线与双曲线有两个公共点m x1 y1 n x2 y2 则可结合根与系数的关系 代入弦长公式 mn 求弦长 2 当 0时 直线与双曲线相切 3 当 0时 直线与双曲线相离 知识拓展 1 点p x0 y0 和双曲线 1 a 0 b 0 的关系 1 p在双曲线内 1 含焦点 2 p在双曲线上 1 3 p在双曲线外 1 2 过焦点f1的弦ab与双曲线交在同支上 则ab与另一个焦点f2构成的 abf2的周长为4a 2 ab 3 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 4 p为双曲线上的点 f1 f2为双曲线的两个焦点 且 f1pf2 则 f1pf2的面积为 5 焦点到渐近线的距离为b 6 设a b分别为双曲线 1 a 0 b 0 的左 右顶点 p为双曲线上不同于a b的任意一点 则kpa kpb 1 定义法 根据题目的条件 若满足定义 求出相应的a b的值即可求得方程 2 待定系数法 1 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 定位 确定焦点位置 定型 由焦点位置设方程 定值 根据条件确定相关参数的值 2 利用待定系数法求双曲线方程的常用方法 与双曲线 1共渐近线的方程可设为 0 若双曲线的渐近线方程为y x 则双曲线的方程可设为 0 求双曲线的标准方程的方法 方法技巧 若双曲线过两个已知点 则双曲线的方程可设为 1 mn0 b 0 的右焦点为f 点b是虚轴的一个端点 线段bf与双曲线c的右支交于点a 若 2 且 4 则双曲线c的方程为 d a 1b 1c 1d 1 解题导引 解析不妨设b 0 b 由 2 f c 0 可得a 代入双曲线c的方程可得 1 即 又 4 c2 a2 b2 a2 2b2 16 由 可得 a2 4 b2 6 双曲线c的方程为 1 故选d 1 关于双曲线的渐近线 1 求法 求双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线方程的方法是令 0 即得两渐近线方程为 0 2 两条渐近线的倾斜角互补 斜率互为相反数 且两条渐近线关于x轴 y轴对称 3 与双曲线 1 a 0 b 0 共渐近线的双曲线方程可设为 0 双曲线的几何性质的应用策略 2 关于双曲线的离心率双曲线的离心率e 求双曲线的离心率只需根据一个条件得到关于a b c的齐次方程 结合c2 a2 b2即可求出 例2 2017福建福州3月质检 11 已知双曲线e 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 f1f2 6 p是e右支上的一点 pf1与y轴交于点a paf2的内切圆与边af2的切点为q 若 aq 则e的离心率是 c a 2b c d 解题导引 解析如图所示 设pf1 pf2分别与 paf2的内切圆切于m n 依题意 有 ma aq np mp nf2 qf2 af1 af2 qa qf2 2a pf1 pf2 af1 ma mp np nf2 2 qa 2 故a 从而e 故选c 1 直线与双曲线的位置关系 无交点 有一个交点 可能相切 也可能相交 有两个交点 在一支上或在两支上 2 研究直线与双曲线位置关系问题的通法 将直线方程代入双曲线方程 消元 得关于x或y的方程 当二次项系数等于0时 直线与双曲线相交于某支上一点 当二次项系数不等于0时 用判别式 来判定 例3已知双曲线c x2 y2 1及直线l y kx 1 1 若l与c有两个不同的交点 求实数k的取值范围 2 若l与c交于a b两点 o是坐标原点 且 aob的面积为 求实数k的值 解决直线与双曲线位置关系问题的方法 解题导引 解析 1 双曲线c与直线l有两个不同的交点 则方程组有两个不同的解 消去y整理得 1 k2 x2 2kx 2 0 解得 x2 时 s oab s oad s obd x1 x2 x1 x2 当a b两点在双曲线的两支上且x1 x2时 s oab s oad s obd x1 x2 x1 x2 s oab x1 x2 x1 x2 2 2 2 即 8 解得k 0或k