高中数学 第五章 推理与证明 5.2 直接证明与间接证明 5.2.2 间接证明 反证法课件 湘教版选修12.ppt

5 2 2间接证明 反证法 课标要求 1 了解间接证明的一种基本方法 反证法 2 了解反证法的思考过程 特点 3 结合已经学过的数学实例 理解反证法的推理过程 证明步骤 体会直接证明与间接证明的区别与联系 1 间接证明不是从正面确定论题的真实性 而是证明它的为假 或改证它的为真 以间接地达到目的 是间接证明的一种基本方法 2 一般地 先假设原命题的 从这个假设出发 经过推理 得出与已知事实相矛盾的结果 这个矛盾的结果说明原命题结论的否定不成立 从而间接肯定了原命题结论成立 像这样一种间接证法 称为 3 反证法证题的一般步骤 1 2 3 4 运用反证法的关键是 自学导引 反论题 等价命题 反证法 否定成立 反证法 反设 归谬 结论 导出矛盾 有人说 反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题 这种说法对吗 为什么 提示这种说法是错误的 反证法是否定命题 然后再证明命题的否定是错误的 从而肯定原命题正确 不是通过逆否命题证题 命题的否定与原命题是对立的 原命题为真 其命题的否定一定为假 自主探究 1 用反证法证明命题 三角形的三个内角中至少有一个大于等于60 时 反设正确的是 a 三个内角都小于60 b 三个内角都大于60 c 三个内角中至多有一个大于60 d 三个内角中至多有两个大于60 解析 至少有一个 的否定是 一个都没有 则反设为 三个内角都小于60 答案 a 预习测评 2 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是 与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾a b c d 答案d 3 x 0 且y 0 的否定形式为 答案 x 0或y 04 用反证法证明 abc中 若 a b 则a b 的结论的否定为 答案a b 间接证明不是从正面确定命题的真实性 而是证明它的结论的否定不成立 或改证它的等价命题为真 以间接地达到目的 反证法是间接证明的一种基本方法 反证法在于表明 若肯定命题的条件而否定其结论 就会导致矛盾 具体地说 反证法不直接证明命题 若p则q 而是先肯定命题的条件p 并否定命题的结论q 即从原命题的否定入手 由p与綈q合乎逻辑地推出 名师点睛 一个矛盾结果 根据矛盾律 两个互相矛盾的判断不能同真 必有一假 断定命题的否定为假 从而根据排中律 两个互相矛盾的判断不能同假 必有一真 由此肯定命题 若p则q 为真 用反证法证明命题 若p则q 它的全部过程和逻辑根据可以表示如下 应用反证法证明数学命题 一般有下面几个步骤 第一步 分清命题 p q 的条件和结论 第二步 作出与命题结论q相矛盾的假定綈q 第三步 由p和綈q出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假定綈q不真 于是原结论q成立 从而间接地证明了命题p q为真 第三步所说的矛盾结果 通常是指推出的结果与已知公理 已知定义 已知定理或已知条件矛盾 与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况 典例剖析 题型一 至多 至少 型问题 方法点评从正面说明需分多种情况讨论 而从反面进行证明只要研究一种情况的题目 适宜用反证法 证明假设方程f x 0在 a b 上至少有两个实根 即f f 0 不妨设 又 f x 在 a b 上为增函数 f f 这与f f 0矛盾 所以f x 0在 a b 上至多有一个实根 例2 如图所示 设sa sb是圆锥so的两条母线 o是底面圆心 c是sb上一点 求证 ac与平面sob不垂直 题型二 否定性 肯定性 问题 证明假设ac 平面sob 因为直线so在平面sob内 所以so ac 因为so 底面圆o 所以so ab 所以so 平面sab 所以平面sab 底面圆o 这显然与平面sab与底面圆o相交矛盾 所以假设不成立 即ac与平面sob不垂直 方法点评否定性的问题常用反证法 例如证明异面直线 可以假设共面 再把假设作为已知条件推导出矛盾 训练2 若a是整数 且a2能被4整除 求证 a能被2整除 证明假设a不能被2整除 则a 2n n z 所以a2 4n2 所以a2不能被4整除 这与已知相矛盾 假设不成立 即a能被2整除 例3 函数f x 在r上为增函数 对命题 若a b 0 a b r 则f a f b f a f b 1 写出其逆命题 判断其真假 并证明你的结论 2 写出其逆否命题 判断其真假 并证明你的结论 解 1 逆命题是 若f a f b f a f b 则a b 0 真命题 下面用反证法证明 假设a b 0 则a b b a 因为f x 是 上的增函数 则f a f b f b f a 所以f a f b f a f b 与已知条件矛盾 故假设不成立 所以逆命题为真 题型三综合性问题 2 逆否命题 若f a f b f a f b 则a b 0 真命题 下面用反证法证明 假设a b 0 所以a b b a 因为f x 在 上是增函数 所以f a f b f b f a 所以f a