【三维设计】高考数学大一轮复习配套讲义（备考基础查清+热点命题悟通）第七章 立体几何 理 苏教版(1).DOCVIP

第七章立 体 几 何第一节空间点、直线、平面之间的位置关系1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内作用：可用来证明点、直线在平面内公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线作用：可用来确定两个平面的交线；判断或证明多点共线；判断或证明多线共点公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面作用：用来确定一个平面；证明点线共面推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面公理3及它的三个推论是确定点、线共面的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行作用：判断空间两条直线平行的依据2空间直线的位置关系(1)位置关系的分类：(2)异面直线所成的角：定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点o作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交aa1个平行a0个在平面内a无数个平面与平面平行0个相交l无数个1异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交2直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”试一试1设和为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；(2)若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；(3)设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；(4)直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直上述命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)解析：由面面平行的判定定理可知，(1)正确由线面平行的判定定理可知，(2)正确对(3)来说，l只垂直于和的交线l，得不到l是的垂线，故也得不出.对(4)来说，l只有和内的两条相交直线垂直，才能得到l.也就是说当l垂直于内的两条平行直线的话，l不垂直于.答案：(1)(2)2若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是_解析：b与相交或b或b都可以答案：b与相交或b或b1求异面直线所成角的方法(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法(2)补形法：即采用补形法作出平面角2证明共面问题的两种途径(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合3证明共线问题的两种途径(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上4证明共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点练一练(2014镇江期末)如图，在多面体abcdefg中，ab，ac，ad两两垂直，平面abc平面defg，平面bef平面adgc，abaddg2，acef1.(1)证明：四边形abed是正方形；(2)判断b，c，f，g是否四点共面，并说明理由；(3)连结cf，bg，bd，求证：cf平面bdg.解：(1)证明：abde.同理adbe，则四边形abed是平行四边形又adab，adab，所以四边形abed是正方形(2)取dg的中点p，连结pa，pf.在梯形efgd中，pfde且pfde.又abde且abde，所以abpf且abpf，所以四边形abfp为平行四边形，则apbf.在梯形acgd中，apcg，所以bfcg，所以b，c，f，g四点共面(3)证明：同(1)中证明方法知四边形bfgc为平行四边形又有acdg，efdg，从而acef.beef.又bead2，ef1，故bf.而bc，故四边形bfgc为菱形，所以cfbg.连结ae，又由acef且acef知cfae.在正方形abed中，aebd，故cfbd.cf平面bdg.考点一平面的基本性质及应用1(2013南京、盐城三模)已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面给出下列命题：(1)若m，m，则；(2)若m，n，则mn；(3)若m，m，n，则mn.其中真命题是_(填序号)解析：(2)中，mn，m与n相交都有可能答案：(1)(3)2下列命题：经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合其中正确命题有_个解析：对于，未强调三点不共线，故错误；正确；对于，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故正确；对于，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故错误答案：23如图，已知：e，f，g，h分别是正方体abcd a1b1c1d1的棱ab，bc，cc1，c1d1的中点，证明：ef，hg，dc三线共点证明：连结c1b，he，gf，如图所示由题意知hc1綊eb，四边形hc1be是平行四边形，hec1b.又c1ggc，cfbf，故gf綊c1b，gfhe，且gfhe，hg与ef相交，设交点为k，则khg.又hg平面d1c1cd，k平面d1c1cd.kef，ef平面abcd，k平面abcd.平面d1c1cd平面abcddc，kdc，ef，hg，dc三线共点备课札记 类题通法1证明共点问题的关键是先确定点后，再证明此点在第三条直线上，这个第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明2证明过程中要注意符号语言表达准确，公理成立的条件要完善考点二空间两直线的位置关系典例(1)已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是_解析依据题意，b，c分别为a在，内的射影，可判断b，c相交、平行或异面均可答案相交、平行或异面(2)已知空间四边形abcd中，e，h分别是边ab，ad的中点，f，g分别是边bc，cd的中点求证：bc与ad是异面直线；求证：eg与fh相交证明假设bc与ad共面，不妨设它们所共平面为，则b，c，a，d.所以四边形abcd为平面图形，这与四边形abcd为空间四边形相矛盾所以bc与ad是异面直线如图，连结ac，bd，则efac，hgac，因此efhg；同理ehfg，则efgh为平行四边形又eg，fh是efgh的对角线，所以eg与hf相交备课札记 类题通法1异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到2客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线针对训练若直线l不平行于平面，且l，则下列结论正确的是_(填写序号)内的所有直线与l异面内不存在与l平行的直线内存在唯一的直线与l平行内的直线与l都相交解析：如图，设la，内直线若经过a点，则与直线l相交；若不经过点a，则与直线l异面答案：课堂练通考点1(2014泰州期末)在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列四个命题：(1)若ab，bc，则ac；(2)若ab，bc，则ac；(3)若a，b，则ab；(4)若a，b，则ab.其中真命题的序号为_解析：根据公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”知(1)是正确的；根据线面垂直性质定理“同垂直一个平面的两条直线平行”知(4)是正确的；(2)(3)均不恒成立故填(1)(4)答案：(1)(4)2已知m，n，l是三条直线， ，是两个平面，下列命题中，正确命题的序号是_(1)若l垂直于内两条直线，则l；(2)若l平行于，则内有无数条直线与l平行；(3)若m，m，n，则mn；(4)若m，m，则.解析：(1)中只有当两条直线相交时，l才成立，所以(1)不正确；若l，则过l任作平面与相交，则交线必与l平行，由于的任意性，故(2)正确；(3)m与n可以平行可以异面，故(3)不正确；(4)正确答案：(2)(4)3(2013南通三模)已知直线l，m，n，平面，m，n，则“l”是“lm，且ln”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)解析：当l时，有lm且ln；当lm且ln时，由于m，n不一定相交，故l不一定垂直于.答案：充分不必要4设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面其中真命题的个数是_解析：ab，bc，a与c可以相交、平行、异面，故错a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交、平行，故错由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面、相交、平行，故错同理错，故真命题的个数为0.答案：05(2014苏州调研)设，为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：(1)若mn，m，n，则n；(2)若，m，n，nm，则n；(3)若mn，m，n，则；(4)若n，m，与相交且不垂直，则n与m不垂直其中所有真命题的序号是_解析：(1)(2)正确；(3)错误，相交或平行；(4)错误，n与m可以垂直，不妨令n，则在内存在mn.答案：(1)(2)课下提升考能第组：全员必做题1(2013苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(一)已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：(1)若l，且，则l；(2)若l，且，则l；(3)若l，且，则l；(4)若m，且lm，则l.则所有正确命题的序号是_解析：对于(1)，若l，且，则l或l或l与相交；对于(3)(4)，还可能l；故(1)(3)(4)错误答案：(2)2(2013南京三模)已知l，m，n是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题：(1)若lm，nm，则nl；(2)若lm，m，则l；(3)若l，m，则lm；(4)若，l，则l.其中真命题是_(写出所有真命题的序号)解析：(2)错误在于可能l；(3)错误在于可能l与m为异面直线答案：(1)(4)3(2014广州模拟)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立答案：充分不必要4(2014南京、盐城一模)下列四个命题：(1)过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；(2)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；(3)如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；(4)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内其中所有真命题的序号是_解析：由有关定理、公理易知(1)(3)(4)正确答案：(1)(3)(4)5(2013扬州三调)在所有棱长都相等的三棱锥pabc中，d，e，f分别是ab，bc，ca的中点，下列四个命题：(1)bc平面pdf；(2)df平面pae；(3)平面pdf平面abc；(4)平面pdf平面pae.其中正确命题的序号为_解析：由条件可证bcdf，则bc平面pdf，从而(1)正确；因为df与ae相交，所以(2)错误；取df中点m(如图)，则pmdf，且可证pm与ae不垂直，所以(3)错误；而dmpm，dmam，则dm平面pae.又dm平面pdf，故平面pdf平面pae，所以(4)正确综上所述，正确命题的序号为(1)(4)答案：(1)(4)6(2013南通二模)设，是空间两个不同的平面， m，n是平面及外的两条不同直线从“mn；n；m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_(填序号)解析：因为当n，m时，平面及所成的二面角与直线m，n所成的角相等或互补，所以若mn，则，从而由；同理若，则mn，从而有.答案：或7.(2014苏州调研)如图，ab为圆o的直径，点c在圆周上(异于点a，b)，直线pa垂直于圆o所在的平面，点m是线段pb的中点有以下四个命题：(1)pa平面mob；(2)mo平面pac；(3)oc平面pac；(4)平面pac平面pbc.其中正确的是_(填序号)解析：(1)因为pa在平面mob内，所以(1)错误；(2)因为mopa，mo平面pac，pa平面pac，所以mo平面pac；(3)因为pa垂直于圆o所在的平面，所以pabc.又bcac，acpaa，所以bc平面pac.因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以oc平面pac不成立，(3)错误；(4)由(3)知bc平面pac，且bc平面pbc，所以平面pac平面pbc.正确命题的序号是(2)(4)答案：(2)(4)8过正方体abcd a1b1c1d1的顶点a作直线l，使l与棱ab，ad，aa1所成的角都相等，这样的直线l可以作_条解析：如图，连结体对角线ac1，显然ac1与棱ab，ad，aa1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连结bd1，则bd1与棱bc，ba，bb1所成的角都相等，bb1aa1，bcad，体对角线bd1与棱ab，ad，aa1所成的角都相等，同理，体对角线a1c，db1也与棱ab，ad，aa1所成的角都相等，过a点分别作bd1，a1c，db1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条答案：49.如图，平行六面体abcd a1b1c1d1中既与ab共面又与cc1共面的棱有_条解析：依题意，与ab和cc1都相交的棱有bc；与ab相交且与cc1平行有棱aa1，bb1；与ab平行且与cc1相交的棱有cd，c1d1.故符合条件的有5条答案：510.如图是正四面体的平面展开图，g，h，m，n分别为de，be，ef，ec的中点，在这个正四面体中，gh与ef平行；bd与mn为异面直线；gh与mn成60角；de与mn垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：还原成正四面体知gh与ef为异面直线，bd与mn为异面直线，gh与mn成60角，demn.答案：11如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段ab，cd，ef，gh在原正方体中互为异面的对数为_对解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则ab，cd，ef和gh在原正方体中，显然ab与cd，ef与gh，ab与gh都是异面直线，而ab与ef相交，cd与gh相交，cd与ef平行故互为异面的直线有且只有3对答案：312如图所示，正方体的棱长为1，bcbco，则ao与ac所成角的度数为_解析：acac，ao与ac所成的角就是oac.ocob，ab平面bbcc，ocab.又abbob，oc平面abo.又oa平面abo，ocoa.在rtaoc中，oc，ac，sinoac，oac30.即ao与ac所成角的度数为30.答案：30第组：重点选做题1(2013苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二)在矩形abcd中，对角线ac与相邻两边所成的角为，则有cos2cos21.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体abcda1b1c1d1中，对角线ac1与相邻三个面所成的角为，则_解析：设长方体的棱长分别为a，b，c，如图所示，所以ac1与下底面所成角为c1ac，记为，所以cos2，同理cos2 ，cos2，所以cos2cos2cos22.答案：cos2cos2cos222如图，平面abef平面abcd，四边形abef与四边形abcd都是直角梯形，badfab90，bc綊ad，be綊fa，g，h分别为fa，fd的中点(1)求证：四边形bchg是平行四边形；(2)c，d，f，e四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由题设知，fgga，fhhd，所以gh綊ad.又bc綊ad，故gh綊bc.所以四边形bchg是平行四边形(2)c，d，f，e四点共面理由如下：由be綊af，g是fa的中点知，be綊gf，所以ef綊bg.由(1)知bgch，所以efch，故ec、fh共面又点d在直线fh上，所以c，d，f，e四点共面第二节直线、平面平行的判定与性质1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行) l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”) lb2平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”) 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ab1直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件2面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件3如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交试一试1下列说法中正确的是_(填序号)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；如果直线l和平面平行，那么过平面内一点和直线l平行的直线在内解析：由线面平行的性质定理知正确；由直线与平面平行的定义知正确；错误，因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面答案：2设l，m，n表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题：若ml，且m，则l；若ml，且m，则l；若l，m，n，则lmn；若m，l，n，且n，则lm.其中正确命题的个数是_解析：易知正确；错误，l与的具体关系不能确定；错误，以墙角为例即可说明；正确，可以以三棱柱为例说明答案：21转化与化归思想平行问题中的转化关系2判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面练一练1a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，现给出四个命题a a其中正确的命题是_(填序号)解析：正确错在与可能相交错在a可能在内答案：2如图所示，在正四棱柱abcda1b1c1d1中，e、f、g、h分别是棱cc1、c1d1、d1d、dc的中点，n是bc的中点，点m在四边形efgh及其内部运动，则m满足条件_时，有mn平面b1bdd1.解析：由平面hnf平面b1bdd1知，当m点满足在线段fh上有mn平面b1bdd1.答案：m线段fh考点一线面平行、面面平行的基本问题1有互不相同的直线m，n，l和平面，给出下列四个命题：若m，la，am，则l与m不共面；若m，l是异面直线，l，m，且nl，nm，则n；若m，n是相交直线，m，m，n，n，则；若l，m，则lm.其中真命题有_个解析：由异面直线的判定定理，易知是真命题；由线面平行的性质知，存在直线l，m，使得ll，mm，m，l是异面直线，l与m是相交直线，又nl，nm，nl，nm，故n，是真命题；由线面平行的性质和判定知是真命题；满足条件l，m，的直线m，l或相交或平行或异面，故是假命题答案：32(2014济宁模拟)过三棱柱abc a1b1c1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面abb1a1 平行的直线共有_条解析：过三棱柱abc a1b1c1的任意两条棱的中点作直线，记ac，bc，a1c1，b1c1的中点分别为e，f，e1，f1，则直线ef，e1f1，ee1，ff1，e1f，ef1均与平面abb1a1平行，故符合题意的直线共6条答案：6备课札记 类题通法解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确考点二直线与平面平行的判定与性质典例(2013新课标卷)如图，直三棱柱abc a1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点(1)证明：bc1平面a1cd；(2)设aa1accb2，ab2，求三棱锥c a1de的体积解(1)证明：连结ac1交a1c于点f，则f为ac1中点又d是ab中点，连结df，则bc1df.因为df平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd.(2)因为abc a1b1c1是直三棱柱，所以aa1cd.由已知accb，d为ab的中点，所以cdab.又aa1aba，于是cd平面abb1a1.由aa1accb2，ab2得acb90，cd，a1d，de，a1e3，故a1d2de2a1e2，即dea1d.所以vc a1de1.备课札记 在本例条件下，线段bc1上是否存在一点m使得dm平面a1acc1？解：存在当m为bc1的中点时成立证明如下：连结dm，在abc1中，d，m分别为ab，bc1的中点dm綊ac1，又dm平面a1acc1ac1平面a1acc1，dm平面a1acc1.类题通法证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；(2)利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；(3)注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可针对训练如图，已知四棱锥p abcd的底面为直角梯形，abcd，dab90，pa底面abcd，且paaddcab1，m是pb的中点(1)求证：amcm；(2)若n是pc的中点，求证：dn平面amc.证明：(1)在直角梯形abcd中，addcab1，ac，bc，bcac，又pa平面abcd，bc平面abcd，bcpa，又paaca，bc平面pac，bcpc.在rtpab中，m为pb的中点，则ampb，在rtpbc中，m为pb的中点，则cmpb，amcm.(2)如图，连结db交ac于点f，dc綊ab，dffb.取pm的中点g，连结dg，fm，则dgfm，又dg平面amc，fm平面amc，dg平面amc.连结gn，则gnmc，gn平面amc，mc平面amc.gn平面amc，又gndgg，平面dng平面amc，又dn平面dng，dn平面amc.考点三平面与平面平行的判定与性质典例(2013陕西高考)如图，四棱柱abcd a1b1c1d1的底面abcd是正方形，o是底面中心， a1o底面abcd，abaa1.(1)证明：平面 a1bd平面cd1b1；(2)求三棱柱abd a1b1d1的体积解(1)证明：由题设知，bb1綊dd1，四边形bb1d1d是平行四边形，bdb1d1.又bd平面cd1b1，bd平面cd1b1.a1d1綊b1c1綊bc，四边形a1bcd1是平行四边形，a1bd1c.又a1b平面cd1b1，a1b平面cd1b1.又bda1bb，平面a1bd平面cd1b1.(2)a1o平面abcd，a1o是三棱柱abd a1b1d1的高又aoac1，aa1，a1o1.又sabd1，vabd a1b1d1sabda1o1.备课札记 类题通法判断面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(，)；(3)利用线面垂直的性质(l，l)针对训练如图，在直四棱柱abcd a1b1c1d1中，底面是正方形，e，f，g分别是棱b1b，d1d，da的中点求证：(1)平面ad1e平面bgf；(2)d1eac.证明：(1)e，f分别是b1b和d1d的中点，d1f綊be.四边形bed1f是平行四边形，d1ebf；又d1e平面bgf，bf平面bgf，d1e平面bgf.fg是dad1的中位线，fgad1；又ad1平面bgf，fg平面bgf，ad1平面bgf.又ad1d1ed1，平面ad1e平面bgf.(2)连结bd，b1d1，底面是正方形，acbd.d1dac，d1dbdd，ac平面bdd1b1.d1e平面bdd1b1，d1eac.课堂练通考点1已知直线a，b，平面，则以下三个命题：若ab，b，则a；若ab，a，则b；若a，b，则ab.其中真命题的个数是_解析：对于，若ab，b，则应有a或a，所以不正确；对于，若ab，a，则应有b或b，因此不正确；对于，若a，b，则应有ab或a与b相交或a与b异面，因此是假命题综上，在空间中，以上三个命题都是假命题答案：02下列四个正方体图形中，a，b为正方体的两个顶点，m，n，p分别为其所在棱的中点，能得出ab平面mnp的图形的序号是_解析：对于图形，平面mnp与ab所在的对角面平行，即可得到ab平面mnp；对于图形，abpn，即可得到ab平面mnp；图形无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行答案：3(2014南京学情调研)已知，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线， 下列命题：(1)若mn，n，则m；(2)若m，m，则；(3)若n，m，m，则mn；(4)若，m，n，则mn.其中是真命题的是_(填序号)解析：对于(1)，由mn，n得m或m，故(1)错误；根据空间中直线与平面的平行、垂直关系进行一一判断答案：(2)(3)(4)4.如图所示，在四面体abcd中，m，n分别是acd，bcd的重心，则四面体的四个面中与mn平行的是_解析：连结am并延长，交cd于e，连结bn，并延长交cd于f，由重心性质可知，e，f重合为一点，且该点为cd的中点e，由，得mnab.因此，mn平面abc且mn平面abd.答案：平面abc、平面abd5.如图，在三棱柱abc a1b1c1中，e，f，g，h分别是ab，ac，a1b1，a1c1的中点，求证：(1)b，c，h，g四点共面；(2)平面efa1平面bchg.证明：(1)gh是a1b1c1的中位线，ghb1c1.又b1c1bc，ghbc.b，c，h，g四点共面(2)e，f分别为ab，ac的中点，efbc.ef平面bchg，bc平面bchg，ef平面bchg.a1g綊eb，四边形a1ebg是平行四边形a1egb.a1e平面bchg，gb平面bchg.a1e平面bchg.a1eefe，平面efa1平面bchg.课下提升考能第组：全员必做题1(2014常州模拟)给出下列命题：(1)若线段ab在平面内，则直线ab上的点都在平面内；(2)若直线a在平面外，则直线a与平面a没有公共点；(3)两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；(4)设a，b，c是三条不同的直线，若ab，ac，则bc.上述命题中，假命题的序号是_解析：对于(1)，若线段ab在平面内，则a，b，故由公理1可得直线ab上的点都在平面内；对于(2)，直线a在平面外还包含直线a与平面相交；对于(3)，两个平面平行，则一个平面内所有直线都平行于另一个平面，故其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面是其必要条件；对于(4)，b，c还可能相交或异面故(2)(3)(4)为假命题答案：(2)(3)(4)2(2014河北教学质量检测)已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：存在一条直线a，a，a；存在一个平面，；存在两条平行直线a，b，a，b，a，b；存在两条异面直线a，b，a，b，a，b.可以推出的是_(填写序号)解析：对于，平面与还可以相交；对于，当ab时，不一定能推出，所以是错误的，易知正确答案：3(2014南通一模)关于直线m，n和平面，有以下四个命题：(1)若m，n，则mn；(2)若mn，m，n，则；(3)若m，mn，则n且n；(4)若mn，m，则n或n.其中假命题的序号是_解析：(1)中，m，n也可以相交，故(1)是假命题；(2)正确；(3)中，n还可以在内或内，故(3)是假命题；(4)中，只有当时，命题才成立故假命题的序号是(1)(3)(4)答案：(1)(3)(4)4(2014南京一模)已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面下列命题：(1)若l，m，l，m，则；(2)若l，l，m，则lm；(3)若，l，则l；(4)若l，ml，则m.其中真命题是_(填序号)解析：(1)只有当l与m相交时，才可得到；(3)l可能在平面内；(2)(4)正确答案：(2)(4)5(2013盐城二调)已知l是一条直线，是两个不同的平面若从“l；l；”中选取两个作为条件，另一个作为结论，试写出一个你认为正确的命题_(请用序号表示)解析：由两个作为条件，另一个作为结论的所有可能情形有：；.其中不正确，l还可以在平面内；不正确，l还可以在平面内，也可以平行于平面；是正确命题答案：6(2014惠州调研)已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的有_若m，n，则mn；若，则；若m，m，则；若m，n，则mn.解析：若m，n，m，n可以平行，可以相交，也可以异面，故不正确；若，可以相交，故不正确；若m，m，可以相交，故不正确；若m，n，则mn，正确答案：7在正四棱柱abcd a1b1c1d1中，o为底面abcd的中心，p是dd1的中点，设q是cc1上的点，则点q满足条件_时，有平面d1bq平面pao.解析：假设q为cc1的中点，因为p为dd1的中点，所以qbpa.连结db，因为p，o分别是dd1，db的中点，所以d1bpo，又d1b平面pao，qb平面pao，所以d1b平面pao，qb平面pao，又d1bqbb，所以平面d1bq平面pao.故q满足条件q为cc1的中点时，有平面d1bq平面pao.答案：q为cc1的中点8设，为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题，n；m，n；n，m.可以填入的条件有_解析：由面面平行的性质定理可知，正确；当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确答案：或9.已知直三棱柱abc abc满足bac90，abacaa2，点m，n分别为ab，bc的中点(1)求证：mn平面aacc；(2)求三棱锥c mnb的体积解：(1)证明：如图，连结ab，ac，四边形abba为矩形，m为ab的中点，ab与ab交于点m，且m为ab的中点，又点n为bc的中点，mnac，又mn平面aacc，且ac平面aacc，mn平面aacc.(2)由图可知vc mnbvm bcn，bac90，bc2，又三棱柱abc abc为直三棱柱，且aa4，sbcn244.abac2，bac90，点n为bc的中点，anbc，an.又bb平面abc，anbb，an平面bcn.又m为ab的中点，m到平面bcn的距离为，vc mnbvm bcn4.10(2013江苏高考)如图，在三棱锥s abc中，平面sab平面sbc，abbc，asab.过a作afsb，垂足为f，点e，g分别是棱sa，sc的中点求证：(1)平面efg平面abc；(2)bcsa.证明：(1)因为asab，afsb，垂足为f，所以f是sb的中点又因为e是sa的中点，所以efab.因为ef平面abc，ab平面abc，所以ef平面abc.同理eg平面abc.又efege，所以平面efg平面abc.(2)因为平面sab平面sbc，且交线为sb，又af平面sab，afsb，所以af平面sbc.因为bc平面sbc，所以afbc.又因为abbc，afaba，af平面sab，ab平面sab，所以bc平面sab.因为sa平面sab，所以bcsa.第组：重点选做题1在梯形abcd中，abcd，ab平面，cd平面，则直线cd与平面内的直线的位置关系只能是_解析：因为abcd，ab平面，cd平面，所以cd平面，所以cd与平面内的直线可能平行，也可能异面答案：平行或异面2(2014汕头质检)若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是_若m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线；若m，n都垂直于平面，则m，n