高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第三节 圆的方程课件 文.ppt

第三节圆的方程 总纲目录 教材研读 1 圆的定义 考点突破 3 圆的标准方程 4 圆的一般方程 考点二与圆有关的最值问题 考点一求圆的方程 5 确定圆的方程的方法和步骤 6 点与圆的位置关系 考点三与圆有关的轨迹问题 1 圆的定义在平面内 到 定点的距离等于 定长的点的 集合叫做圆 教材研读 2 确定一个圆最基本的要素是 圆心和 半径 3 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 其中 a b 为圆心 r为半径 5 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法 大致步骤如下 1 根据题意 选择标准方程或一般方程 2 根据条件列出关于a b r或d e f的方程组 3 解出a b r或d e f 代入标准方程或一般方程 6 点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种 圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 点为 x0 y0 1 点在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 2 点在圆外 x0 a 2 y0 b 2 r2 3 点在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 1 2015北京 2 5分 圆心坐标为 1 1 且过原点的圆的方程是 a x 1 2 y 1 2 1b x 1 2 y 1 2 1c x 1 2 y 1 2 2d x 1 2 y 1 2 2 答案d由题意得圆的半径为 故该圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 故选d d 2 2015北京海淀二模 圆c x2 y2 4x 2y 3 0的圆心坐标和半径分别是 a 2 1 b 2 1 c 2 1 2d 2 1 2 答案a圆c x2 y2 4x 2y 3 0化为标准方程为 x 2 2 y 1 2 2 所以圆心坐标为 2 1 半径为 故选a a 3 2017北京石景山一模 以 1 1 为圆心且与直线x y 0相切的圆的方程是 a x 1 2 y 1 2 2b x 1 2 y 1 2 4c x 1 2 y 1 2 2d x 1 2 y 1 2 4 答案a以 1 1 为圆心且与直线x y 0相切的圆的半径等于圆心到直线的距离 即r d 所求圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 故选a a 4 2016北京石景山期末 若圆c的半径为1 其圆心与点 1 0 关于直线y x对称 则圆c的标准方程为 a x 1 2 y2 1b x2 y 1 2 1c x2 y 1 2 1d x 1 2 y2 1 答案c 圆c的圆心与点 1 0 关于直线y x对称 圆心c的坐标为 0 1 又 圆c的半径为1 圆c的标准方程为x2 y 1 2 1 c 5 2016北京东城一模 以抛物线y2 4x的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为 x 1 2 y2 1 典例1 1 2015课标 7 5分 过三点a 1 3 b 4 2 c 1 7 的圆交y轴于m n两点 则 mn a 2b 8c 4d 10 2 2017北京海淀一模 圆心为 0 1 且与直线y 2相切的圆的方程为 a x 1 2 y2 1b x 1 2 y2 1c x2 y 1 2 1d x2 y 1 2 1 考点一求圆的方程 考点突破 答案 1 c 2 c 解析 1 设圆心为p a b 由点a 1 3 c 1 7 在圆上 知b 2 再由 pa pb 得a 1 则p 1 2 pa 5 于是圆p的方程为 x 1 2 y 2 2 25 令x 0 得y 2 2 则 mn 2 2 2 2 4 2 设圆的方程为x2 y 1 2 r2 r 0 直线y 2与圆相切 圆心到直线的距离等于半径r r 1 故所求圆的方程为x2 y 1 2 1 故选c 1 1若圆c的半径为1 圆心在第一象限 且与直线4x 3y 0和x轴都相切 则该圆的标准方程是 a x 2 2 y 1 2 1b x 2 2 y 1 2 1c x 2 2 y 1 2 1d x 3 2 y 1 2 1 答案a由于圆c的半径为1 圆心在第一象限且与x轴相切 故设圆心为 a 1 a 0 又由圆与直线4x 3y 0相切可得 1 解得a 2 舍负 故圆的标准方程为 x 2 2 y 1 2 1 a 1 2求经过点a 5 2 b 3 2 且圆心在直线2x y 3 0上的圆的方程 解析 圆过a 5 2 b 3 2 两点 圆心一定在线段ab的垂直平分线上 易知线段ab的垂直平分线的方程为y x 4 设所求圆的圆心坐标为c a b 则有解得 c 2 1 r ca 所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 典例2已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最大值和最小值 2 求y x的最大值和最小值 3 求x2 y2的最大值和最小值 考点二与圆有关的最值问题 解析原方程可化为 x 2 2 y2 3 表示以 2 0 为圆心 为半径的圆 1 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率 所以设 k 即y kx 当直线y kx与圆相切时 斜率k取最大值或最小值 此时 解得k 所以的最大值为 最小值为 2 y x可看作是直线y x b在y轴上的截距 当直线y x b与圆相切时 纵截距b取得最大值或最小值 此时 解得b 2 所以y x的最大值为 2 最小值为 2 3 x2 y2表示圆上的一点与原点距离的平方 由平面几何知识及题意知 在x轴与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为2 所以x2 y2的最大值是 2 2 7 4 x2 y2的最小值是 2 2 7 4 方法技巧 1 与圆的几何性质有关的最值 1 记o为圆心 圆外一点a到圆上距离的最小值为 ao r 最大值为 ao r 2 过圆内一点的弦最长的是圆的直径 最短的是以该点为中点的弦 3 记圆心到直线的距离为d 若直线与圆相离 则圆上点到直线的最大距离为d r 最小距离为d r 4 过两定点的所有圆中 面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆 2 与圆上点 x y 有关的最值 1 形如形式的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 2 形如ax by形式的最值问题 可转化为动直线截距的最值问题 也可用三角代换求解 3 形如 x a 2 y b 2形式的最值问题 可转化为动点到定点距离的平方的最值问题 2 1 2015北京西城一模 设p q分别为直线x y 0和圆x2 y 6 2 2上的点 则 pq 的最小值为 a 2b 3c 4d 4 答案a由圆的方程x2 y 6 2 2知圆心为 0 6 设圆心到直线x y 0的距离为d 则d 3 而圆的半径r 所以 pq 的最小值为d r 3 2 故选a a 2 2已知m为圆c x2 y2 4x 14y 45 0上任意一点 且点q 2 3 1 求 mq 的最大值和最小值 2 若m m n 求的最大值和最小值 解析 1 由题意知 圆c的标准方程为 x 2 2 y 7 2 8 圆心c的坐标为 2 7 半径r 2 又 qc 4 2 mq max 4 2 6 mq min 4 2 2 2 因为表示直线mq的斜率 所以设直线mq的方程为y 3 k x 2 即kx y 2k 3 0 由题意知直线mq与圆c有交点 所以 2 解得2 k 2 所以的最大值为2 最小值为2 典例3已知a 2 0 为圆x2 y2 4上一定点 b 1 1 为圆内一点 p q为圆上的动点 1 求线段ap中点的轨迹方程 p与a不重合 2 若 pbq 90 求线段pq中点的轨迹方程 考点三与圆有关的轨迹问题 解析 1 设ap的中点为m x y 由中点坐标公式可知 p点坐标为 2x 2 2y 因为p点在圆x2 y2 4上 所以 2x 2 2 2y 2 4 故线段ap中点的轨迹方程为 x 1 2 y2 1 x 2 2 设pq的中点为n x y 在rt pbq中 pn bn 设o为坐标原点 连接on 则on pq 所以 op 2 on 2 pn 2 on 2 bn 2 所以x2 y2 x 1 2 y 1 2 4 故线段pq中点的轨迹方程为x2 y2 x y 1 0 方法技巧求与圆有关的轨迹问题时 根据题设条件的不同采用以下方法 1 直接法 直接根据题设给定的条件列出方程 2 定义法 根据圆的定义列方程 3 几何法 利用圆的几何性质列方程 4 代入法 找出要求的点与已知点的关系 代入已知点满足的关系式 3 1已知定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 点o是坐标原点 以om on为边作平行四