高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充课件 苏教版选修22.ppt

3 1数系的扩充 第3章数系的扩充与复数的引入 1 了解引入复数的必要性 理解并掌握虚数单位i 2 理解复数的基本概念及复数相等的充要条件 3 理解复数的分类 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一复数的引入在实数范围内 方程x2 1 0无解 为了解决x2 1 0这样的方程在实数系中无解的问题 我们设想引入一个新数i 使i是方程x2 1 0的根 即使i i 1 把这个新数i添加到实数集中去 得到一个新数集 把实数a与实数b和i相乘的结果相加 结果记作a bi a b r 这些数都应在新数集中 再注意到实数a和数i 也可以看作是a bi a b r 这样的数的特殊形式 所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是c a bi a b r 称i为 答案 虚数单位 思考 1 分别在有理数集 实数集 复数集中分解因式x4 25 答案在有理数集中 x4 25 x2 5 x2 5 在实数集中 x4 25 x2 5 x2 5 答案 在复数集中 x4 25 x2 5 x2 5 2 虚数单位i有哪些性质 答案虚数单位i有如下几个性质 i的平方等于 1 即i2 1 实数与i可进行四则运算 并且原有的加法 乘法运算律仍然成立 i的乘方 i4n 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i n n 答案 知识点二复数的概念 分类1 复数的有关概念 1 复数的概念 形如a bi的数叫做复数 其中a b r i叫做 a叫做复数的 b叫做复数的 2 复数的表示方法 复数通常用字母表示 即 3 复数集定义 所构成的集合叫做复数集 通常用大写字母c表示 答案 虚数单位 实部 虚部 z z a bi 全体复数 2 复数的分类及包含关系 2 集合表示 思考 1 两个复数一定能比较大小吗 答案不一定 只有当这两个复数是实数时 才能比较大小 2 复数a bi的实部是a 虚部是b吗 答案不一定 对于复数z a bi a b r 实部才是a 虚部才是b 答案 知识点三复数相等复数相等的充要条件设a b c d都是实数 那么a bi c di 即它们的实部与虚部分别对应相等 思考 1 若复数z a bi a b r 且z 0 则a b的值为多少 答案0 2 若复数z1 3 ai a r z2 b i b r 且z1 z2 则a b的值为多少 答案4 a c且b d 答案 返回 题型探究重点突破 解析答案 题型一复数的概念例1写出下列复数的实部和虚部 并判断它们是实数 虚数 还是纯虚数 2 3i 解实部为2 虚部为3 是虚数 解析答案 解实部为 虚部为0 是实数 0 解实部为0 虚部为0 是实数 反思与感悟 反思与感悟复数a bi a b r 中 实数a和b分别叫做复数的实部和虚部 特别注意 b为复数的虚部而不是虚部的系数 b连同它的符号叫做复数的虚部 解析答案 跟踪训练1下列命题中 假命题的序号为 若x y c 则x yi 1 i的充要条件是x y 1 若a b r且a b 则a i b i 若x2 y2 0 则x y 0 解析 由于x y c 所以x yi不一定是复数的代数形式 不符合复数相等的充要条件 所以 是假命题 由于两个虚数不能比较大小 所以 是假命题 当x 1 y i时 x2 y2 0成立 所以 是假命题 解析答案 题型二复数的分类例2设 1 若z是虚数 求m的取值范围 解因为z是虚数 故其虚部log2 5 m 0 解得1 m 5 且m 4 解析答案 2 若z是纯虚数 求m的值 解因为z是纯虚数 故其实部 虚部log2 5 m 0 反思与感悟将复数化成代数形式z a bi a b r 根据复数的分类 当b 0时 z为实数 当b 0时 z为虚数 特别地 当b 0 a 0时 z为纯虚数 由此解决有关复数分类的参数求解问题 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2实数k为何值时 复数z 1 i k2 3 5i k 2 2 3i 分别是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 4 零 解由z 1 i k2 3 5i k 2 2 3i k2 3k 4 k2 5k 6 i 1 当k2 5k 6 0时 z r 即k 6或k 1 2 当k2 5k 6 0时 z是虚数 即k 6且k 1 解析答案 题型三两个复数相等例3 1 已知x2 y2 2xyi 2i 求实数x y的值 解 x2 y2 2xyi 2i 2 关于x的方程3x2 x 1 10 x 2x2 i有实数根 求实数a的值 解设方程的实数根为x m 反思与感悟 反思与感悟 两个复数相等 首先要分清两复数的实部与虚部 然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程 从而可以确定两个独立参数 解 z 0 z r x2 4x 3 0 解得x 1或x 3 解析答案 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 若集合a i i2 i3 i4 i是虚数单位 b 1 1 则a b 解析因为i2 1 i3 i i4 1 所以a i 1 i 1 又b 1 1 故a b 1 1 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 2 已知复数z a2 2 b i的实部和虚部分别是2和3 则实数a b的值分别是 1 2 3 4 5 答案 3 在复数范围内 方程x2 2 0的解是 解析答案 1 2 3 4 5 4 已知m 2 m2 2m m2 m 2 i n 1 2 4i 若m n n 则实数m的值为 解析 m n n m n m2 2m m2 m 2 i 1或m2 2m m2 m 2 i 4i 解得m 1或m 2 故实数m的值是1或2 1或2 解析答案 1 2 3 4 5 5 设i为虚数单位 若关于x的方程x2 2 i x 1 mi 0 m r 有一实根为n 则m 解析关于x的方程x2 2 i x 1