江苏省扬州市邗江中学高二数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2014-2015学年江苏省扬州市邗江中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1椭圆9x2+16y2=144的焦点坐标为2质点的运动方程为s=2t+1（位移单位：m，时间单位：s），则t=1时质点的速度为m/s3在正方体abcda1b1c1d1中，直线ad1与平面abcd所成的角的大小为4如果函数y=f（x）的图象在点p（1，0）处的切线方程是y=x+1，则f（1）=5定点p不在abc所在平面内，过p作平面，使abc的三个顶点到的距离相等，这样的平面共有个6方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是7长方体abcda1b1c1d1中，ab=ad=3cm，aa1=2cm，则四棱锥abb1d1d的体积为cm38已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同则双曲线的方程为9用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：其中真命题的序号是若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则ab；若a，b，则ab10若椭圆的左、右焦点分别为f1，f2，线段f1f2被抛物线y2=2bx的焦点f分成53的两段，则此椭圆的离心率为11已知点p是抛物线y2=2x上的一个动点，则点p到点（0，2）的距离与p到该抛物线准线的距离之和的最小值为12已知三棱锥pabc的所有棱长都相等，现沿pa，pb，pc三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥pabc的体积为13设双曲线的左、右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线的右支上，且pf1=4pf2，则此双曲线离心率的最大值为14在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，若点p是棱上一点，则满足|pa|+|pc1|=2的点p的个数为二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15已知函数f（x）=x2+1，（1）求在区间1，2上f（x）的平均变化率；（2）求f（x）在x=1处的导数16如图，平面pac平面abc，acbc，pecb，m，n分别是ae，pa的中点（1）求证：mn平面abc；（2）求证：平面cmn平面pac17根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴，两准线间的距离为，焦距为2；（2）已知p点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点p 到两焦点的距离分别为和，过p点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点18如图，用一块长为2米，宽为1米的矩形木板，在教室的墙角处围出一个直三棱柱的储物角（使木板垂直于地面的两边与墙面贴紧），试问应怎样围才能使储物角的容积最大？并求出这个最大值19如图，圆o与离心率为的椭圆t：+=1（ab0）相切于点m（0，1）（1）求椭圆t与圆o的方程；（2）过点m引两条互相垂直的两直线l1、l2与两曲线分别交于点a、c与点b、d（均不重合）若p为椭圆上任一点，记点p到两直线的距离分别为d1、d2，求d12+d22的最大值；若3=4，求l1与l2的方程20在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线c1：2x2y2=1（1）过c1的左顶点引c1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）过点q作直线l与双曲线c1有且只有一个交点，求直线l的方程；（3）设椭圆c2：4x2+y2=1若m、n分别是c1、c2上的动点，且omon，求证：o到直线mn的距离是定值2014-2015学年江苏省扬州市邗江中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1椭圆9x2+16y2=144的焦点坐标为（，0）考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 将椭圆的方程9x2+16y2=144化为标准形式即可求得答案解答： 解：椭圆的方程9x2+16y2=144化为标准形式为：，a2=16，b2=9，c2=a2b2=7，又该椭圆焦点在x轴，焦点坐标为：（，0）故答案为：（，0）点评： 本题考查椭圆的简单性质，将椭圆的方程化为标准形式是关键，属于基础题2质点的运动方程为s=2t+1（位移单位：m，时间单位：s），则t=1时质点的速度为2m/s考点： 导数的运算专题： 导数的综合应用分析： 先求质点的运动方程为s=2t+1的导数，再求得t=1秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度解答： 解：质点的运动方程为s=2t+1，s=2，该质点在t=1秒的瞬时速度2；故答案为：2点评： 本题考查变化的快慢与变化率，正确解答本题关键是理解导数的物理意义，即了解质点的运动方程的导数就是瞬时速度3在正方体abcda1b1c1d1中，直线ad1与平面abcd所成的角的大小为45考点： 直线与平面所成的角专题： 计算题分析： 在正方体abcda1b1c1d1中，证明d1d平面abcd，则d1ad=，就是直线ad1平面abcd所成角，解直角三角形d1ad即可解答： 解：正方体abcda1b1c1d1中，d1d平面abcd，直线ad是直线ad1在平面abcd内的射影，d1ad=，就是直线ad1平面abcd所成角，在直角三角形ad1ad中，ad1=d1d，ad1ad=45故答案为：45点评： 考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题4如果函数y=f（x）的图象在点p（1，0）处的切线方程是y=x+1，则f（1）=1考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 根据在点p处的斜率就是在该点处的导数，问题得解解答： 解：在点p处的斜率就是在该点处的导数，f（1）=1，故答案为：1点评： 本题考查了导数的几何意义，比较基础5定点p不在abc所在平面内，过p作平面，使abc的三个顶点到的距离相等，这样的平面共有4个考点： 平面的基本性质及推论专题： 空间位置关系与距离分析： 利用线面、面面平行的性质即可找出满足题意的平面解答： 解：如图所示：过点p作平面平面abc则abc的三个顶点到的距离相等；分别取线段ab、bc、ca的中点，则三个平面pfd、pde、pef皆满足题意综上可知：满足题意的平面共有4个故答案为4点评： 熟练掌握线面、面面平行的性质是解题的关键6方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是k3考点： 椭圆的定义专题： 计算题分析： 根据题意，方程+=1表示椭圆，则，解可得答案解答： 解：方程+=1表示椭圆，则，解可得 k3，故答案为k3点评： 本题考查椭圆的标准方程，注意其标准方程的形式与圆、双曲线的标准方程的异同7长方体abcda1b1c1d1中，ab=ad=3cm，aa1=2cm，则四棱锥abb1d1d的体积为6cm3考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积专题： 空间位置关系与距离分析： 如图所示，连接ac，bd，相交于点o由ab=ad=3cm，可得矩形abcd是正方形，aobd，平面bb1d1d平面abcd，可得ao平面bb1d1d利用四棱锥abb1d1d的体积v=即可得出解答： 解：如图所示，连接ac，bd，相交于点oab=ad=3cm，矩形abcd是正方形，ac=bd=3aobd，又平面bb1d1d平面abcd，ao平面bb1d1dao是四棱锥abb1d1d的高四棱锥abb1d1d的体积v=6故答案为：6点评： 本题考查了长方体的性质、正方形的判定与性质、线面与面面垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同则双曲线的方程为=1考点： 双曲线的标准方程专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 先由双曲线的渐近线方程为y=x，易得，再由抛物线y2=16x的焦点为（4，0）可得双曲线中c=4，最后根据双曲线的性质c2=a2+b2列方程组，解得a2、b2即可解答： 解：由双曲线渐近线方程可知因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4又c2=a2+b2联立，解得a2=4，b2=12，所以双曲线的方程为故答案为点评： 本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程及几何性质9用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：其中真命题的序号是若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则ab；若a，b，则ab考点： 平面的基本性质及推论专题： 计算题分析： 由平行公理知正确；由ab，bc，知a与c平行、相交或异面；由直线与平面平行的性质，知a与b平行、相交或异面；由直线与平面垂直的性质知ab解答： 解：若ab，bc，由平行公理，知ac，故正确；ab，bc，a与c平行、相交或异面，故不正确；a，b，a与b平行、相交或异面，故不正确；a，b，ab，故正确故答案为：点评： 本题考查平面的性质及其推论的基本应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答10若椭圆的左、右焦点分别为f1，f2，线段f1f2被抛物线y2=2bx的焦点f分成53的两段，则此椭圆的离心率为考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题分析： 先求出抛物线的焦点坐标，依据条件列出比例式，得到c、b间的关系，从而求离心率解答： 解：，a2b2=c2，=故答案为：点评： 本题考查椭圆和抛物线的几何性质、抛物线的简单性质的应用，关键是由条件得到11已知点p是抛物线y2=2x上的一个动点，则点p到点（0，2）的距离与p到该抛物线准线的距离之和的最小值为考点： 抛物线的简单性质专题： 计算题分析： 先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|pf|+|pa|af|，再求出|af|的值即可解答： 解：依题设p在抛物线准线的投影为p，抛物线的焦点为f，则 ，依抛物线的定义知p到该抛物线准线的距离为|pp|=|pf|，则点p到点a（0，2）的距离与p到该抛物线准线的距离之和故答案为：点评： 本小题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想12已知三棱锥pabc的所有棱长都相等，现沿pa，pb，pc三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥pabc的体积为9考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积专题： 计算题分析： 根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，然后根据体积公式计算即可解答： 解：根据题意几何体为正三棱锥，如图，pd=a；od=a；op=设棱长为a，则od+pd=a+a=a=2a=3，v棱锥=a2a=9，故答案是9点评： 本题考查锥体的体积13设双曲线的左、右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线的右支上，且pf1=4pf2，则此双曲线离心率的最大值为考点： 双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用已知条件和双曲线的定义即可得到|pf1|，|pf2|，再利用|pf1|+|pf2|f1f2|=2c，即可得出解答： 解：点p在双曲线的右支上，且|pf1|=4|pf2|，|pf1|pf2|=3|pf2|=2a，|pf2|=，则，故此双曲线离心率的最大值为故答案为点评： 熟练掌握双曲线的定义、三角形的三边关系、离心率计算公式即可得出14在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，若点p是棱上一点，则满足|pa|+|pc1|=2的点p的个数为6考点： 棱柱的结构特征专题： 综合题；空间位置关系与距离分析： 由题意可得点p是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，为短半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求解答： 解：正方体的棱长为1ac1=，|pa|+|pc1|=2，点p是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭圆，p在正方体的棱上，p应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱b1c1，c1d1，cc1，aa1，ab，ad上各有一点满足条件故答案为：6点评： 本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15已知函数f（x）=x2+1，（1）求在区间1，2上f（x）的平均变化率；（2）求f（x）在x=1处的导数考点： 导数的运算；变化的快慢与变化率专题： 导数的概念及应用分析： （1）利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值，再利用平均变化率公式求出该函数在区间1，2上的平均变化率（2）先求导，再代入求值即可解答： 解：（1）f（x）=x2+1，f（1）=2，f（2）=5该函数在区间1，2上的平均变化率为=3，（2）f（x）=2x，f（1）=2点评： 本题考查函数在区间上的平均变化率，以及导数公式，考查学生的计算能力，属于基础题16如图，平面pac平面abc，acbc，pecb，m，n分别是ae，pa的中点（1）求证：mn平面abc；（2）求证：平面cmn平面pac考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题： 证明题；综合题分析： （1）要证mn平面abc，只需证明mn平行平面abc内的直线bc即可；（2）要证平面cmn平面pac，只需证明bc平面pac，又有mnbc，即可证明平面cmn平面pac解答： 证明：（1）m，n分别是ae、pa的中点，mnpe，pecb，mncb，mn不在平面abc中，bc平面abc，mn平面abc（2）平面pac平面abc，交线为ac，acbc，bc平面pac，mnbc，mn平面pacmn平面cmn，平面cmn平面pac点评： 本题为考查直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题17根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴，两准线间的距离为，焦距为2；（2）已知p点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点p 到两焦点的距离分别为和，过p点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点考点： 椭圆的标准方程专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）据题意列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c，写出椭圆的方程；（2）利用椭圆的定义及勾股定理列出方程组，求出a，b，c写出椭圆的方程解答： 解：（1）据题意解得a=3，c=，a2=9，b2=a2c2=4椭圆的标准方程：（2）据题意得2a=+=，a=，又解得椭圆的标准方程：或点评： 本题考查椭圆方程的定义及有关性质，椭圆中三个参数的关系，属于一道中档题18如图，用一块长为2米，宽为1米的矩形木板，在教室的墙角处围出一个直三棱柱的储物角（使木板垂直于地面的两边与墙面贴紧），试问应怎样围才能使储物角的容积最大？并求出这个最大值考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积专题： 应用题；空间位置关系与距离分析： 求出以木板的宽为三棱柱的高时，围成的三棱柱的体积是多少，再求出以木板的长为三棱柱的高时，围成的三棱柱的体积是多少，二者比较得出结论解答： 解：设木板与一面墙的夹角为，以木板宽1为三棱柱的高，则棱柱的底面积是：s=2cos2sin=sin21，当=时等号成立；此时棱柱的体积v1=hs=11=1；若以木板的长2为三棱柱的高，则最大体积为v2=2=，v1v2，应取底面为等腰三角形，且高为1时，围成的容积最大点评： 本题考查了三棱柱的体积计算问题，也考查了实际应用问题，解题的关键是设计出两种围成的三棱柱的方案，是中档题19如图，圆o与离心率为的椭圆t：+=1（ab0）相切于点m（0，1）（1）求椭圆t与圆o的方程；（2）过点m引两条互相垂直的两直线l1、l2与两曲线分别交于点a、c与点b、d（均不重合）若p为椭圆上任一点，记点p到两直线的距离分别为d1、d2，求d12+d22的最大值；若3=4，求l1与l2的方程考点： 直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）由题意可知圆的半径等于1，椭圆的短半轴等于1，根据e=，结合a2=b2+c2求出椭圆的长半轴，则椭圆方程和圆的方程可求；（2）因为两直线l1、l2相互垂直，所以点p到两直线的距离d1、d2的平方和可转化为p点到m点距离的平方，利用点p在椭圆上把要求的式子化为含p点纵坐标的函数，利用二次函数可求最大值；设出直线l1的方程，分别和圆的方程及椭圆方程联立a，c点的坐标，利用置换k的方法求出b，d点的坐标，分别写出向量的坐标，代入若中求出k的值，则l1与l2的方程的方程可求解答： 解：（1）由题意知：，b=1又a2=b2+c2，所以a2=c2+1，联立，解得a=2，c=所以椭圆c的方程为圆o的方程x2+y2=1；（2）设p（x0，y0）因为l1l2，则，因为，所以=，因为1y01，所以当时，取得最大值为，此时点设l1的方程为y=kx+1，由，得：（k2+1）x2+2kx=0，由xa0，所以，代入y=kx+1得：所以由，得（4k2+1）x2+8kx=0，由xc0，所以，代入y=kx+1得：所以把a，c中的k置换成可得，所以，由，得=，整理得：，即3k44k24=0，解得所以l1的方程为，l2的方程为或l1的方程为，l2的方程为点评： 本题考查了圆的标准方程，椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数学转化思想和方程思想方法，训练了学生的计算能力，属难题20在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线c1：2x2y2=1（1）过c1的左顶点引c1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）过点q作直线l与双