高一数学函数补习讲义(自学用).doc

高三补习讲义高三补习讲义 班级班级 姓名姓名 1 已知函数 f x 对于任意实数 x y 都有 f x y f x f y 且当 x 0 时 f x 0 f 1 2 求函数 f x 在区间 2 1 上的值域为 2 已知函数 f x 定义域为 0 且单调递增 满足 f 4 1 f xy f x f y 若 f x f x 3 1 则 x 的范围为 3 函数 f x的定义域为 R 若 1 f x 与 1 f x 都是奇函数 则 A f x是偶函数 B f x是奇函数 C 2 f xf x D 3 f x 是奇函数 4 对于正实数 记M 为满足下述条件的函数 f x构成的集合 12 x x R且 21 xx 有 212121 xxf xf xxx 下列结论中正确的是 A 若 1 f xM 2 g xM 则 12 f xg xM B 若 1 f xM 2 g xM 且 0g x 则 1 2 f x M g x C 若 1 f xM 2 g xM 则 12 f xg xM D 若 1 f xM 2 g xM 且 12 则 12 f xg xM 5 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x x 0 2 1 0 4 log2 xxfxf xx 则 f 3 的值为 6 已知函数 0 4 0 4 2 2 xxx xxx xf若 2 2 faf a 则实数a的取值范围是 7 若函数 1 0 1 0 3 x x x f x x 则不等式 1 3 f x 的解集为 8 已知定义在 R 上的奇函数 xf 满足 4 f xf x 且在区间 0 2 上是增函数 若 方程 f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根 1234 x x x x 则 1234 xxxx 9 定义在上的偶函数在上单调递增 且满足 给Rf x 1 0 1 10f xf x 出下列 5 个判断 是周期函数 的图象关于直线对称 f x 20070f f x 1x 在上是减函数 在处取得最大值f x 1 2f x 0 x 其中正确的判断序号是 10 对每一实数对 x y 函数 f t 满足 f x y f x f y xy 1 若 f 2 2 试求满足 f a a 的所有整数为 11 设函数 y f x x R 且 x 0 对任意实数 x1 x2 满足 f x1 f x2 f x1 x2 1 求证 f 1 f 1 0 2 求证 y f x 为偶函数 3 已知 y f x 在 0 上为增函数 解不等式 f x f x 0 1 2 12 已知函数 f x 0 1 xa x a axb a b xb 2 当时 当时 当时 1 证明 对任意都有 2 ba x 1 4 f x 2 是否存在实数c 使之满足 若存在 请求出它的取值范围 若不存在 2 ab f c 请说明理由 13 设函数的定义域为 对任意实数有 且 xf 2 2 2 ffff 2 1 3 f0 2 f 1 求证 xfxfxf 2 若时 求证 在上单调递减 2 0 x0 xf xf 0 3 求的最小周期并加以证明 xf 14 某地一水库年初有水量 a a 10000 其中含污染物的量为 p0 设水与污染物混合均匀 已知该地降水量与月份的关系为而每月流入水库的污水量 129 28 81 12 Nxxx Nxxx xf 与蒸发的水量都是 r 且此污水中含污染物的量为 p p0 在区间 8 8 上有四个不同的根 1234 x x x x 则 1234 xxxx 8 9 定义在上的偶函数在上单调递增 且满足 给Rf x 1 0 1 10f xf x 出下列 5 个判断 是周期函数 的图象关于直线对称 f x 20070f f x 1x 在上是减函数 在处取得最大值f x 1 2f x 0 x 其中正确的判断序号是 10 对每一实数对 x y 函数 f t 满足 f x y f x f y xy 1 若 f 2 2 试求满足 f a a 的所有整数为 a 1 或 a 2 11 设函数 y f x x R 且 x 0 对任意实数 x1 x2 满足 f x1 f x2 f x1 x2 1 求证 f 1 f 1 0 2 求证 y f x 为偶函数 3 已知 y f x 在 0 上为增函数 解不等式 f x f x 0 1 2 证明 1 令 x1 x2 1 得 f 1 f 1 f 1 1 f 1 0 令 x1 x2 1 得 f 1 f 1 f 1 1 f 1 0 f 1 0 2 令 x1 x2 x 得 2f x f x2 令 x1 x2 x 得 2f x f x2 f x f x 即 y f x 为偶函数 3 f x f x 0 即 f x x f 1 或 f x x 1 2 1 2 1 2 f 1 由 2 和 y f x 在 0 上为增函数 可得 0 x x 1 或 1 2 1 x x 0 1 2 解得 x 且 x 0 1 2 12 已知函数 f x 0 1 xa x a axb a b xb 2 当时 当时 当时 1 证明 对任意都有 2 ba x 1 4 f x 2 是否存在实数c 使之满足 若存在 请求出它的取值范围 若不存在 2 ab f c 请说明理由 解解 1 证明 当时 2 ab x 若 则是增函数 2 ab xb 2 2 1 f xxa ab 2 2 11 24 ab f xa ab 若 则 时 成立 xb 1 1 4 f x 2 ab x 1 4 f x 2 当时 0ab 0f x 对任何 恒成立 c R 2 ab f c 当时 这时不存在 1 2 ab 1f x c 当时 若 则 01 2 ab cb 1f x 若时 解之 得 0cb 2 2 2 caab f c ab 2 ab baacb 故 使 2 ab cbaa 2 ab f c 综上所述 当时 不存在实数 使 2ab c 2 ab f c 当时 恒有 0ab c R 2 ab f c 13 设函数的定义域为 对任意实数有 且 xf 2 2 2 ffff 2 1 3 f0 2 f 1 求证 xfxfxf 2 若时 求证 在上单调递减 2 0 x0 xf xf 0 3 求的最小周期并加以证明 xf 解 1 且 0 3 2 3 3 ffff 2 1 3 f1 0 f 又 0 2 xffxfxf xfxf 且 2 2 2 xffxfxf 0 2 f xfxfxf 2 且 时 当时 xfxf 2 0 x 0 xf 22 x0 xf 设 则 21 0 xx 2121 xfxfxfxf 2 2 2 2121 xx f xx f 222 22 0 2121 xxxx 0 2 0 2 2121 xx f xx f 即在上单调递减 21 xfxf xf 0 3 由 1 得 xfxf xfxf 2 xfxf 说明是原函数的一个周期 2 xfxf 2 假设也是原函数的一个周期 且 则由得 0 T 2 0 0 T 0 xfxTf 0 0 Tff 但若时 因原函数是单调递减函数 所以 0 0 T 两者矛盾 0 0 Tff 若时 从而 2 0 T 0 2 0 T 两者矛盾 所以不是原函数的一个周期 即是原函 2 0 000 TfTfTff 0 T 2 数的最小正周期 14 某地一水库年初有水量 a a 10000 其中含污染物的量为 p0 设水与污染物混合均匀 已知该地降水量与月份的关系为而每月流入水库的污水量 129 28 81 12 Nxxx Nxxx xf 与蒸发的水量都是 r 且此污水中含污染物的量为 p p r 设当年水库中的水不作它用 求第 x 月水库中水的含污比 g x 的表达式 含污比 总库量 污染物 当 p0 0 时 求水质量差的月份及此月的含污比 解 I 第 x 月水库含污染物为 p0 px 则库容总量为 a f 1 f 2 f x 1 分 当 1 x 8 x N 时 库容总量为 a 13 14 12 x 2 分 2 225 2 1213 2 axxxx a 当 9 x 12 x N 时 库容总量为 a 132 19 18 28 x 6 分 129 112255 22 81 225 22 5 2 112255 2 0 2 0 2 Nxx axx pxp Nxx ax pxp xg axx 分 II p0 0 当 1 x 8 x N 时 内是减函数且恒大于零 8 分 2 0 25 2 25 2 2 a x a x x a x p xg在而 g x 是增函数 当 x 8 时 9 分 a p xg 132 8 max 当 9 x 1