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第3章 “状态方程的解”习题解答3.1计算下列矩阵的矩阵指数。（1）解 （2）解 （3）解 （4）解： 3.2 已知系统状态方程和初始条件为(1) 试用拉氏变换法求其状态转移矩阵；(2) 试用化对角标准形法求其状态转移矩阵；(3) 试用化为有限项法求其状态转移矩阵；(4) 根据所给初始条件，求齐次状态方程的解。（1）解 ，其中， 则有 而 ， 所以状态转移矩阵为（2）解 对于，对于，（3）解 矩阵的特征值为, 对于有： 对于有： 因为是二重特征值，故需补充方程 从而联立求解，得：（4）解： 3.3 矩阵是的常数矩阵，关于系统的状态方程式，有时， 时， 试确定这个系统的状态转移矩阵和矩阵。解：因为系统的零输入响应是所以， 将它们综合起来，得而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵满足微分方程和初始条件 因此代入初始时间可得矩阵为：3.9 已知系统的转移矩阵是时，试确定矩阵。解 因为 是状态转移矩阵， 所以有 将，代入得：3.10 已知系统状态空间表达式为(1) 求系统的单位阶跃响应； (2) 求系统的脉冲响应。（1）解 ，时， 时， 将代入求解公式得： + 若取，则有 （2）解 由（1）知取，则有 若取，则有，3.11 求下列系统在输入作用为： 脉冲函数； 单位阶跃函数； 单位斜坡函数下的状态响应。(1) (2) （1）解 ， 取，则 ， 若取，则有 ， 若取，则有（2）解 所以 时， 时， ， 取， 则有 ， 取， 则有 ， 取， 则有 3.12 线性时变系统的系数矩阵如下。试求与之对应的状态转移矩阵(1) (2) (1) 解 因为 说明和是不可交换的，亦即和是不可交换的。则按下式计算状态转移矩阵为此计算： 所以状态转移阵为（2）解 对应系统自治状态方程为求解得到再任取两组线性无关初始状态变量：可导出两个线性无关解：由此，得到系统的一个基本解阵：于是，利用状态转移矩阵关系式，即可定出状态转移矩阵：3.14 已知线性定常离散系统的差分方程如下：若设，试用递推法求出。解 同理，递推得：3.15 设线性定常连续时间系统的状态方程为， 取采样周期，试将该连续系统的状态方程离散化。解 首先计算矩阵指数。采用拉氏变换法： 进而由公式(3.19)计算离散时间系统的系数矩阵。将代入得 故系统离散化状态方程为：3.16 已知线性定常离散时间系统状态方程为；设与是同步采样，是来自斜坡函数的采样，而是由指数函
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