抛物线内接三角形三边的斜率关系及其应用.pdf

2 0 0 4年第 1 O 期 中学数学月刊 1 7 化简得正一 硼 故正 点 一 Yo 一 W X O 硼 所以一硼一薯 一 性质 7 A B是黄金椭圆不与坐标轴平 行的任意非直径弦 是 AB的中点 那么 k A B k o M 一 W 证明 设 A的坐标为 Y B x f 婴 一1 1 y 2 y f 一 1 2 2 一 1 得W 2 一 1 y 2 一Y a z 一 0 y 2 Y 1 y 2 一 Y 1 2 y o 瓦 二 干 一 层 U kA a k O M 一 W 性质 8 在黄金椭圆中 内切圆面积 内 与外切圆面积S 外之比为 W 焦点圆面积S 焦 与外切圆面积S 外之比为W 证明 S 一 r t b z 一 一 一硼 z 一 一 掣 一 叫 S一筹一 一 外 7ca n J 抛物线内接三角形三边的斜率关系及其应用 朱引弟 胡福林 江苏省昆山市震川高级中学 2 1 5 3 0 0 定理 1 设P Pz I 壶 薹1P 坐 标 原 点 如 图 I 0P 三 边 所 在 直 线 一 D P 0 P 尸 P 的 斜 率0 I 2 一 图 1 尸 P 的 方 程为Y 一是 b b 0 则 y 一 整理得 2 re Y z 一 2 ink Y Z 一 b一 0 定 理 2 设 P P P 是抛物线 一 2 my m 0 上任意三 点 如图 2 P 的坐标 为 z o Y o P o P1 P2 三边所在直线 P P P P P P 的斜率分别 为正 正 正 贝 0 正 十足 一 y I 一 D 图 2 正 证明 连 O P O P O P 在 0 P P 0 P P 0 尸 P 中 由定理 1 得 f 是 0 十是 一k 正 0 十 足 0 P 2 一是 2 k o e k o v 2 一是 十 一 得k k 一k 一2 是 o P 一 2 一 X 0 nI 正 1 十 足 2一 是 x 7 l 2o 很显然 定理 2是定理 1的推广 定理 3 设 P P 是抛物线 y 一 2 rex 0 上任意两点 o为 坐 标 原 点 如 图 3 0 P P 三边所在直线 0 P 0 P P P 的斜率 1 分别为正 正 正 则 1 1 1 一 一 是 正 y 一 D 图 3 证明 设直线P P 的方程为Y 正 b b 0 则 b 一是 Y 维普资讯 1 8 中学数学月刊 2 0 0 4 年第 1 O 期 y 一 2 z l y k x 整理得 b zY 一 2 m z y 2 mk O k k 是该方程的两根 f足 足 一 一 得 去 1 一 百1 类似于定理 2 的推导方法不难将定理 3 推 广为 定 理 4 设 P P1 P 2 是抛物线 Y 一 2 mx m O 上任意三 点 如图 4 P 的坐标 为 z o Y o P o P1 P2 三边所 在直线 P P P P P P 的斜率分别 为 k k 2 足 则 y 一 D 图 4 l I Yo k 优 例 1 1 9 9 3 年上海高考题 抛物线 Y 一一 z 与过点M O 一1 的直线 相交于 B两点 0为坐标原点 若直线O A与O B的 斜率之和为 1 求直线 的方程 解 设直线 的斜率为k 则由 定理1 知 k k o a k 一 1 所以直线 的方程为Y z 1 例2 过抛物线Y 一z 的点 4 2 作倾 斜角互补的两条直线A B A C 交抛物线于B C 求直线B C的斜率 解 设直线 A B A C B C的斜率分别为 k 1 k 2 k 则由题设知k 一一k 2 又 由 定 理 4 得 丢 1惫 一 丢 4 即 0 一 一 1 一 一 言 4 k 一 一 寺 例 3 已知抛物线Y p x 与Y q x 户 0 q 0 P g 过原点作两条与抛物线都 相交的直线 O A A O B B 求 证 A B A2 B2 y 一 0 0 I璺 I 5 I 圣 I 6 证明 由定理 1 得 足 一是 足 足 2 B 2一 是 2 足 0 B 2 足 1 足 2 足 0 1 足 0 2 足 l B l一 是 2 B2 1 B 1 A 2 B 2 例4 已知抛物线Y 一2 p x p O 0为 坐标原点 过点 0分别作斜率为 k k 的直线 交抛物线于点A B 且 k k 一m m为非零常 数 求证 直线 A B过定点 证明 设直线O A O B A B的斜率分别 为足 足 z 足 点 的坐标为 y 由定理 4 知 f去 1 一 百1 去 一 百1 一 1 Y户Ao 将 化为 1 一 1 一 Yo 一一1 k 足 1 足 2 户 一 得 k k z 一 一 Y o