【中考12年】江苏省泰州市2001中考数学试题分类解析 专题9 三角形.doc

2001-2012年江苏泰州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题9：三角形1、 选择题1.（江苏省泰州市2002年4分）rtabc中，c90，a：b3：4，运用计算器计算，a的度数是【 】（精确到1）a、30b、37c、38d、39【答案】b。【考点】三角函数定义，计算器的应用。【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中应用正切函数解题：rtabc中，c90，tan a= a：b3：4=0.75。运用计算器得，a37。故选b。2.（江苏省泰州市2003年4分）如图，某防洪大坝的横断面是梯形，斜坡ab的坡度=12.5，则斜坡ab的坡角为【 】（精确到1）a24 b22 c68 d66【答案】b。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），正切函数定义，计算器的应用。【分析】算出坡角的正切值，用计算器即可求得坡角：如图，坡度tan=铅直高度ac：水平距离bc=1：2.5=0.4，=21.822。故选b。3.（江苏省泰州市2003年4分）在rtabc的直角边ac边上有一点p（点p与点a、c不重合），过点p作直线截abc，使截得的三角形与abc相似，满足条件的直线共有【 】a1条 b2条 c3条 d3条或4条【答案】d。【考点】相似三角形的判定。【分析】过点p作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于abc的另一个角即可：（1）若acbc（如图1），过点p作pd1ab，或作pd2ac，或作pd3ab，或作pd4c=a，这样截得的三角形与abc相似。即满足条件的直线共有4条。（2）若acbc且（如图2），同（1）有pd1，pd2，pd3。但此时作pd4c=a时，d4落在了cb延长线上。即满足条件的直线共有3条。（3）若acbc且（如图3），同（1）有pd1，pd2，pd3，pd4。即满足条件的直线共有4条。（4）若ac=bc（如图4），同（1）有pd1，pd2，pd3。此时作pd4c=a时，pd4与pd3重合。即满足条件的直线共有3条。综上所述，满足条件的直线共有3条或4条。故选d。4.（江苏省泰州市2005年3分）一人乘雪橇沿坡比1的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（米）与时间t（秒）间的关系为s =10t2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为【 】a72 m b36 m c36 m d18 m【答案】c。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），二次函数的应用【分析】如图，过人的脚底b点向地面作垂线bc，垂足为点c。滑下的距离s（米）与时间t（秒）间的关系为s =10t2t2，当t=4时，ab=s=104242=72。坡比为1，ac=bc在rtabc中，由勾股定理得：bc2+ac2=ab2，即bc2+（bc）2=722。解得x=36。故选c。5.（江苏省泰州市2007年3分）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边bc为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在a处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用【 】a3mb5mc7md9m【答案】 a。【考点】勾股定理的应用。【分析】为了不让羊吃到菜，必须不大于点a到圆的最小距离。要确定最小距离，连接oa交半圆于点e，则ae是最短距离。在rtaob中，ob=6，oa=8，根据勾股定理得oa=10。又oe=ob=6，ae=oaoe=4。选用的绳子应该不大于4。故选a。6.（江苏省泰州市2008年3分）在平面上，四边形abcd的对角线ac与bd相交于o，且满足ab=cd有下列四个条件：(1)ob=oc；(2)adbc；(3)；(4)oad=obc若只增加其中的一个条件，就一定能使baccdb成立，这样的条件可以是【 】 a.(2)、(4) b.(2) c.(3)、(4) d.(4)【答案】d。【考点】全等和相似三角形的判定和性质【分析】所增加的条件只要能证明aobdoc即可。aob和doc全等已经具备的条件是：ab=cd，aob=doc，只要验证一下四个条件是否满足这个关系即可判断：ob=oc，两个三角形是两边及一边的对角对应相等，不能判定三角形全等，故选项错误；当adbc时，可推出四边形abcd是等腰梯形或平行四边形，梯形时可证明baccdb，但平行四边形时，不能证明baccdb，故选项错误；，不能判定aodcob，bac=cdb不一定相等，故选项正确；当oad=obc时，aod=boc，oadobc。aob=doc，aobdoc。bac=cdb成立。故选d。7.（江苏省2009年3分）如图，给出下列四组条件：； 其中，能使的条件共有【 】a1组b2组c3组d4组【答案】c。【考点】全等三角形的判定。【分析】根据全等三角形的判定方法可知：，可用“sss”判定；，可用“sas”判定；，可用“asa”判定；，是“ssa”，不能判定；因此能使的条件共有3组。故选c。8.（江苏省泰州市2010年3分）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边截法有【 】a.0种 b. 1种 c. 2种 d. 3种【答案】b。【考点】相似三角形的判定和性质，三角形三边关系。【分析】分两种情况：（1）以27cm为一边，把45cm截成两段，设这两段分别为xcm、ycm（xy）。则由两三角形相似，得或（注：27cm不可能是最小边）。由解得x=18，y=22.5，符合题意。由解得x=，y=，但x+ y=+=5445，不合题意，舍去。（2）以45cm为一边，把27cm截成两段，设这两段分别为xcm、ycm则x+ y=2745，所以三边不能构成三角形。因此，不合题意，舍去综上所述，截法只有一种。故选b。二、填空题1. （2001江苏泰州2分）如果，则锐角的余角是 度。【答案】30。【考点】特殊角的三角函数值，余角定义。【分析】先根据特殊角的三角函数值求，再根据互余两角的关系求解：，=60。锐角的余角9060=30。2. （江苏省泰州市2003年3分）如图所示，在abc和dcb中 ,abdc，要使abodco，请你补充条件 （只要填写一个你认为合适的条件）.【答案】bao=cdo。（答案不唯一）【考点】全等三角形的判定。【分析】在abo和dco中，已知了ab=dc，aob=cod，因此只需添加一组对应角相等即可：当bao=cdo或abd=acd时，abocod。（答案不唯一）。3.（江苏省泰州市2003年3分）如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个abc；在网格上画出一个与abc相似且面积最大的a1b1c1，使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上，则a1b1c1的最大面积是 .【答案】5。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】因为限制条件比较多，关键是新三角形的三个顶点必须都落在小正方形的顶点上，所以可以对原三角形的边扩大一定的倍数来解决：如图所示，abca1b1c1，相似比为，又sabc=1。4.（江苏省泰州市2004年3分）已知：如图，abc中，且d平分abc，d为ac的中点，debc交ab于点e，若bc=4，则eb长为 .【答案】【考点】三角形中位线定理，平行的性质，等腰三角形的判定【分析】根据已知可求得ed为三角形的中位线，从而可求得de的长，再根据平行线的性质及已知可得到be=de，即求得了eb的长：d为ac的中点，debc，bc=4，ed=bc=2，ebd=cbd。bd平分abc，ebd=edb。eb=ed=2。5.（江苏省泰州市2004年3分）李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植,需要修一个如右图的育苗棚,棚宽a=3m,棚顶与地面所成的角约为25, 长b=9m,则覆盖在顶上的塑料薄膜至少需 m2.(利用计算器计算,结果精确到1 m2) 【答案】30。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。【分析】利用25余弦值求得大棚的宽，乘以长即可：棚顶的宽=，覆盖在顶上的塑料薄膜面积=3.3930（m2）6.（江苏省泰州市2005年3分）在边长为3、4、5的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆，此圆的半径为_.【答案】1。【考点】三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理。【分析】根据勾股定理的逆定理，由三角形的三边长可判断出此三角形是直角三角形。已知了直角三角形三边的长，可直接利用直角三角形内切圆半径公式求出此圆的半径：若设该直角三角形的内切圆的半径为r，则有：。故此圆的半径为1cm。7.（江苏省泰州市2006年3分）如图，ab、cd相交于点o，ab=cd，试添加一个条件使得aodcob，你添加的条件是 _（只需写一个）.【答案】ao=co（答案不唯一）。【考点】全等三角形的判定。【分析】要使aodcob，已知ab=cd，aod=cob所以可以再添加一组边从而利用sas来判定其全等，可加ao=co或bo=do：若添加ao=co，ab=cd，ao=co，od=ob。又aod=cob，aodcob（sas）。8.（江苏省泰州市2006年3分）为美化小区环境，某小区有一块面积为30的等腰三角形草地，测得其一边长为10，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则其长度为 【答案】或或。【考点】解直角三角形的应用，勾股定理，等腰三角形的性质。【分析】分类讨论：如图，abc中作bc边上的高ad。（1）当底边bc=10时，s=30，高ad=6。在rtabd中，由勾股定理求出，周长= 。（2）当ab=ac=10时，设bd=x，ad=h，则bc=2 x。s=30，xh=30。在rtabd中，由勾股定理得，即 （舍去负值）。x，h是一元二次方程的两个根，解得。当时，bc=，abc的周长=（此时abc是钝角三角形），当时，bc=，abc的周长=（此时abc是锐角三角形）。 综上所述，这块三角形草地上低矮栅栏长度为或或。9.（2012江苏泰州3分）如图，abc中，c=90，bac的平分线交bc于点d，若cd=4，则点d到ab的距离是 【答案】4。【考点】点到直线距离的概念，角平分线的性质。【分析】过点d作deab于点e，则de即为点d到ab的距离。 ad是bac的平分线，cd=4， 根据角平分线上的点到角的两边距离相等性质，得de= cd=4， 即点d到ab的距离为4。三、解答题1.（2001江苏泰州8分）求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。 已知： 求证： 证明：2.（2001江苏泰州8分）已知：e是aob的平分线上一点，ecoa，edob，垂足分别是c、d。求证：（1）ecd=edc； （2）oc=od； （3）oe是cd的垂直平分线。【答案】证明：（1）点e是aob的平分线上一点，ecoa，edob， ec=ed。edc为等腰三角形。ecd=edc。（2）ecoa，edob，oce=ode=90。又oe平分aob，ec=ed。在rtoce和rtode中，oe=oe，ec=ed，rtocertode（hl）。oc=od。 （3）ec=ed，oc=od，e、o都在cd的垂直平分线上。 oe是cd的垂直平分线。【考点】角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定。【分析】（1）点e是aob的平分线上一点，ecoa，edob，根据角平分线的性质可知ec=ed，根据等腰三角形等边对等角的性质得ecd=edc。 （2）由已知条件结合角的平分线上的点到角的两边的距离相等证明rtpdortpeo（hl），即可求得oc=od。 （3）由ec=ed，oc=od即知e、o都在cd的垂直平分线上，根据两点确定一条直线的公理知oe是cd的垂直平分线。3.（江苏省泰州市2002年8分）台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于a、b两处的上海救捞人局所属专业救助轮“华意”轮、“沪救12”轮前往出事地点协助搜索。接到通知后，“华意”轮测得出事地点c在a的南偏东60、“沪救12”轮测得出事地点c在b的南偏东30。已知b在a的正东方向，且相距100浬，分别求出两艘船到达出事地点c的距离。【答案】解：如图：过点c作ceae于点e，过点b作bfce于点f，过点b作bgac于点g，则四边形aefb是矩形。点c在点a的南偏东60，2=60，1=902=9060=30。又点c在点b的南偏东30，3=30。在rtabc中，1=30，则abc=90+30=120。bca=18030120=30。1=bca。bc=ab=100浬。ac=2ac。在rtabg中，ag=ab1=abcos30=100（浬）。ac=（浬）。答：a到达出事地点c的距离浬，b到达出事地点c的距离100浬。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。【分析】根据题意画出图形，将实际问题转化为解直角三角形的问题来解答。4.（江苏省泰州市2004年7分）已知：如图，点d、e在abc的边bc上,ad=ae,bd=ec.求证：ab=ac【答案】证明：adae，aebadc。bdec，becd。abeacd（sas）。abac。【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】欲证ab=ac，可以证明它们所在的abe与acd全等，全等的条件已经有两组边对应相等，只要再证明它们的夹角相等就可以了，根据等腰三角形等边对等角的性质，得aebadc。从而得证。5.（江苏省泰州市2005年9分）高为12.6米的教学楼ed前有一棵大树ab（如图1）（1）某一时刻测得大树ab、教学楼ed在阳光下的投影长分别是bc=2.4米，df=7.2米，求大树ab的高度（3分）（2）用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树ab高度的方案，要求：在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n 表示，角度用希腊字母、 表示）；（3分）根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树ab高度（用字母表示）（3分）【答案】解：（1）连结ac、ef，太阳光线是平行线，acef。acb=efd。abc=edf=90，abcedf 。 。ab=4.2。答：大树ab的高是4.2米。（2）如图mg=nb=m，mn=gb= h，abg=，ag=m tan。 ab=aggb= m tanh（米）。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）首先根据平行线的性质判断出abcedf；得到比例关系式，可求得ab的值。（2）根据题意，设计测量方法，符合三角函数的定义，且易于操作即可。6.（江苏省泰州市2007年10分）2007年5月17日我市荣获“国家卫生城市称号”在“创卫”过程中，要在东西方向m，n两地之间修建一条道路已知：如图点周围180m范围内为文物保护区，在mn上点a处测得c在a的北偏东方向上，从a向东走500m到达b处，测得c在b的北偏西方向上（1）mn是否穿过文物保护区？为什么？（参考数据：）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？【答案】解：（1）过c作chab于点h，设，则cae=450，cbf=600，cah=450，cbh=300，。ahhb=ab，。mn不会穿过保护区。（2）设原计划完成这项工程需要天，则， 解之得：。经检验知：是原方程的根。答：原计划完成这项工程需要25天。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），分式方程的应用。【分析】（1）要求mn是否穿过原始森林保护区，也就是求c到mn的距离要构造直角三角形，再解直角三角形即可判断。（2）根据题意列方程求解。7.（江苏省泰州市2008年9分）如图，某堤坝的横截面是梯形abcd，背水坡ad的坡度i（即tan）为11.2，坝高为5米.现为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶cd加宽1米，形成新的背水坡ef，其坡度为11.4.已知堤坝总长度为4000米.（1）求完成该工程需要多少土方？（4分）（2）该工程由甲、乙两个工程队合作完成，按原计划需要20天.准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率.甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成.问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？【答案】解：（）作dgab于g，作ehab于h。 cdab，ehdg米。 背水坡ad的坡度i=11.2， 。ag=6米,。 新的背水坡ef坡度=11.4，。fh=7米。fa=fh+ghag=716=2（米）。sadef=（ed+af）eh= (1+2)5=7.5（平方米）v=7.54000=30000 (立方米)。答：完成该工程需要30000立方米土方。(2)设甲队原计划每天完成x立方米土方，乙队原计划每天完成y立方米土方。根据题意，得， 化简，得， 解之，得。答：甲队原计划每天完成1000立方米土方，乙队原计划每天完成500立方米土方。【考点】解直角三角形的应用，二元一次方程的应用（工程问题）。【分析】（1）作dgab于g，作ehab于h，构造直角三角形dag和efh，由已知坡度解两个直角三角形，即可梯形的下底，从而求出梯形面积和体积。 （2）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解。本题等量关系为： 原计划工时20天甲、乙两个工程队工效之和=工作总量30000 20 = 30000 实际工时15天甲、乙两个工程队新工效之和=工作总量30000 15 = 30000。8. （江苏省2009年10分）如图，在航线的两侧分别有观测点a和b，点a到航线的距离为2km，点b位于点a北偏东60方向且与a相距10km处现有一艘轮船从位于点b南偏西76方向的c处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点a的正北方向的d处（1）求观测点b到航线的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）（参考数据：，）【答案】解：（1）设ab与交于点o。在中，oad=600，ad=2。又ab=10，ob=aboa=6。在中，obe=oad=600，（km）。观测点b到航线的距离为3km。（2）在中，在中，de=odoe=。在中，cbe=760，be=3，。（km）。，（km/h）。答：该轮船航行的速度约为40.6km/h。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）解和即可求得观测点b到航线的距离。 （2）解、和，求得cd的长，即可根据路程、时间和速度的关系求得该轮船航行的速度。9.（江苏省泰州市2