2007年高考数学《考试大纲》解读之二.doc

2007年高考数学考试大纲解读之二三、重视创新思维，拓展数学视野创新意识是理性思维的高层次表现，对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径。高考对创新意识的考查，主要是要求考生不仅仅能理解一些概念、定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法去解决数学和现实生活中的比较新颖的问题。数学创新题是相对于传统的命题方式而言的，这类题目没有明确的条件或结论，或解题方向不明，自由度大，具有相当大的不确定性，需要通过对问题的观察、分析、类比、归纳等处理过程方能解决。其难度大，要求高，是训练和考查学生的数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型。数学创新题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，为高层次思维创造了条件，是挖掘、提练数学思想方法，充分展示应用数学思想方法的良好载体，所以在高考试题中所占的比重会越来越大。常见的创新题型主要有：（1）探究型创新题、（2）开放型创新题、（3）定义信息型创新题、（4）类比归纳型创新题等。探究型创新题是探究问题的解决方法，常常以实际背景出现，主要考查学生的综合素质与创新精神，是创造力的体现。解答时应注意抓住有限的（或隐含的）题设条件，通过联想创造性地运用知识，设计出解决问题的方法，化归与转化是解决这类问题的常用的数学思想。如：在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线相交于A、B两点。（1）求证：“如果直线l过点T(3,0)，那么”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。分析：本例形式比较新颖，以四种命题为“外衣”，综合考查向量、直线与抛物线的位置关系等核心内容。直线方程y=k（x-a）+b与x=t（y-b）+a这两种形式，前者是过A（a，b）的直线系，但末包含与x轴垂直的直线，后者也是过A（a，b）的直线系，但末包含与y轴垂直的直线，因此要避开本题的讨论可设直线方程为x=ty+3，这样既缩减了运算量，又使解题过程简练而到位。06高考福建理16如图，连结ABC的各边中点得到一个新的A1B1C1，又连结的A1B1C1各边中点得到A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC，A1B1C1，A2B2C2，这一系列三角形趋向于一个点M，已知A(0,0) ,B(3,0),C(2,2)，则点M的坐标是 .分析：本题看似极限问题，实质就是求ABC的重心坐标，根据三角形的重心坐标公式不难得到点M的坐标。06高考福建理21已知函数f(x)=x+8x,g(x)=6lnx+m（）求f(x)在区间t,t+1上的最大值h(t)；（）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。分析：本题中的第二问函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，实质就是函数j(x)=g(x)f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。由已知得j(x)=x28x+16ln x+m,=2x8+ 当x(0,1)时，0，j(x)是增函数；当x(1,3)时，0，j(x)是增函数；当x=1，或x=3时，=0；j(x)极大值=j(1)=m7, j(x)极小值=j(3)=m+6ln 315. 当x充分接近0时，j(x)0.要使j(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 既7mAB.其中真命题的个数为A.0 B.1 C.2 D.3分析：本题以新定义的“距离”为背景，颇具新意，突出考查考生将新颖的信息，通过“形”的角度去理解代数式的意义，这个“距离”实际就是两点横坐标之差的绝对值与这两点纵坐标之差的绝对值的和。由此将题目中的数据全部构造在一个熟悉的直角三角形中，以此为桥梁，对三个选择支逐一判断，即可得到正确答案。从而考查学生学习数学的潜能和数学解题的基本素养。类比归纳型创新题。类比是将解题方法、式子结构、运算法则、问题结论等或引伸、或推广、或迁移，由已知探索未知，由旧知探索新知，有利于培养学生的创新思维；归纳是从若干特殊现象中总结出一般规律。这两种推理可有效锻练学生的创造性思维，培养学生的创造精神和创造能力。因其思维含量高、知识覆盖面广、综合性强，这类创新题在高考中频频亮相，成为高考又一热点。如：考察下列一组不等式：，将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 。分析：在本例中，由已知条件“，”得到共同的特点：具备“”形式。从而得出一般形式：。本例的求解过程是一个逐步深入，先粗略后精细的过程。一般地说，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧。四、坚持数学应用，加强实践能力坚持数学应用，加强实践能力，是时代的需要，是新课程改革的需要，同时也是数学科的特点所决定的。对实践能力的考查主要采用解决应用问题的形式，要求学生能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题，并加以验证；能用数学语言正确地表述和说明。数学应用题从易到难，大至可分为以下四个不同层次：（a）数学模型已给出，可直接套用公式计算；（b）数学模型没有给出，但可以利用现成的数学模型对应用问题进行定量分析；（c）数学模型没有给出，但问题是经过加工提炼过的、数学量已确定，已知量、未知量比较清楚的实际问题；（d）原始的实际问题。考查应用问题这一内容时，在解决应用问题或将实际问题抽象为数学问题的过程中，所形成的有关知识和方法应该是学生已经学过的，而且宜以上述（b）、（c）两个层次来设计应用题。数学应用问题是近年高考的热点内容，数学应用问题通常有三种来源：一是通过改编的与实际生活相关的应用题；二是与横向学科有联系的应用问题；三是从社会热点出发，有实际生活背景、题意新颖的数学问题。解决应用问题是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学答案，然后把数学问题的答案返回到实际问题中去，获得有实际意义的结论。一般步骤大致如下：（1）审题。分为读懂和加深两个层次，把问题中的情境转化为数学语言，找出问题中的主要关系，这个过程可概括为十六个字：把握整体弄清题目所述事件和研究问题，理解局部抓住关键词语，提炼有用信息，正确把握其局部含义，理清关系根据题意，运用关系分析法、表格分析法、图象分析法等理清各相关量的关系；（2）建模。把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，即建立数学模型；（3）解模。选择合适的数学方法求解建立的数学模型；（4）检验。对结果进行检验或评估，最后将结果应用于现实，作出解释或预测。数学应用问题主要有以下六种题型：（1）函数、不等式、导数型应用题、（2）数列型应用题、（3）三角函数、平面向量型应用题、（4）解析几何应用题、（5）立体几何应用题、（6）排列、组合、概率统计型应用题。函数、不等式、导数型应用题，数列应用题，解析几何应用题，排列、组合、概率统计型应用题，是这几年高考频频出现的应用问题。函数、不等式、导数型这类应用题大致有以下两小类：以一次函数、二次函数、分段函数或一元高次函数为背景的应用问题，多采用作相应函数的图象、解不等式或导数手段求解；以函数为背景的应用题，多采用均值不等式或利用函数的图象与性质求解。06高考福建理19、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0x120).已知甲、乙两地相距100千米。（）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？本小题主要考查函数，导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。数列型应用题主要以等差（比）数列，数列通项公式与前n项和，数学归纳法等知识为内容，以等值增减、平均增长率、利率等为形式的实际应用问题。求解这类应用题时，需由具体实际问题构建数列模型，各量用数列的项、项数、通项、前n项和等表达，最终求得结果。04高考福建理20某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）。（）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力.排列、组合、概率统计型应用题。排列、组合、概率统计在生产、科学实验活动和日常生活中有广泛的应用，也是近年高考的热点。这类应用题以选择、填空题形式出现，但概率统计问题多以解答题的形式出现，从教材改革和高考发展趋势来看，高考必会加大这部分考查的力度，而且是常考常新。这部分内容与其他板块的内容有很大的不同，概念性强，思维方法新颖，具有一定的特殊性，在备考时应引起足够的重视。请看近三年福建高考数学试题，对排列、组合、概率统计型应用题的考查，做到连年不断。04高考福建理18甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题。规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（）求甲答对试题数的概率分布及数学期望；（）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.05高考福建理18甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与，投中得1分，投不中得0分。 （）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和x的数学期望；（）甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率。06高考福建理15、一个均匀小正方体的六个面中，三