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换元法证明不等式 已知a,b,c,d都是实数,且满足a2+b2=1,c2+d2=4,求证:|ac+bd|2 a=cosA,b=sinA c=2cosB,d=2sinB |ac+bd|=2|cosAcocB+sinAsinB=2|cos(A-B)| =2 得证 若x+y+z=1，试用换元法证明x?+y?+z?1/3 解法一：(换元法) 证明：因为 (x-1/3)2+(y-1/3)2+(z-1/3)20 展开，得 x2+y2+z2-2/3*(x+y+z)+3*1/90 x2+y2+z2-2/3+1/30 x2+y2+z21/3。 其中等号当且仅当x=y=z=1/3时成立 解法二： 因为:x+y+z=1 所以:(x+y+z)?=1 化解为:x?+y?+z?+2xy+2xz+2yz=1 又因为： x?+y?2xy; x?+z?2xz; y?+z?2yz; 所以x?+y?+z?+2xy+2xz+2yz=1bc，求证：1/(a-b)+1/(b-c)4/(a-c) 证明：令x=a-b，y=b-c，则a-c=x+y且x0，y0 原不等式转化为：1/x+1/y4/(x+y) 因此，只要证明：(x+y)/x+(x+y)/y4 只要证：1+y/x+1+x/y4 只要证：y/x+x/y2，而y/x+x/y2恒成立。 1/(a-b)+1/(b-c)4/(a-c)得证。 换元的目的： 化简、化熟命题，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。 例3：已知(x2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0，求证：(3-5)/2x2+y2(3+5)/2 证明：令x2+y2=t 由(x2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0得： (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2 (x2+y2)2-3(x2+y2)+10 t2-3t+10，解之得：(3-5)/2t(3+5)/2 (3-5)/2x2+y2(3+5)/2得证。 换元的目的：转化条件，建立条件与结论间的联系。 例4：已知x-1=(y+1)/2=(z-2)/3，求证：x2+y2+z259/14 证明：设x-1=(y+1)/2=(z-2)/3=k， 则x=k+1，y=2k-1，z=3k+2 x2+y2+z2=(k+1)2+(2k-1)2+(3k+2)2 =14k2+10k+6 =14(k2+5k/7)+6 =14(k+5/14)2+59/1459/14 x2+y2+z259/14得证。 换元的目的：减少数的个数，直接利用已知条件。 例5：已知a0，求证：(a+(a+(a+(a+a0.5)0.5)0.5)0.5)0.50，而tntn-1 tn20 tn0，bc，求证：c(a-c)+c(b-c)ab 证明：要证明原不等式，只要证明： c(a-c)/ab+c(b-c)/ab1 只要证明：(c/b)(1-c/a)+c/a(1-c/b)1 令sin=c/b，sin=c/a，且、(0， 只要证明：sincos+cossin1 只要证明：sin(+)1，而sin(+)1显然成立 原不等式得证。 换元的目的：利用两个正数的和等于1进行三角换元，可以将原问题得到极大 程度的化简，在各种命题的解题中有着广泛的应用。 例7：已知a2+b2=c2，且a、b、c均为