电多极矩.doc

五、电多极矩法11、电势的多极展开真空中给定电荷密度(x)激发的电势vVv4 0 r在许多物理问题中，电荷只分布于一个小区域内，而需要求电场例如原子核作用到强度的地点x又距离电荷分布区电子上的电场可以域比较远。在这种情况下，可以把上式表为l/r的展开式，由此得出电势的各级近似值。用本节方法求得各级近似值。2在区域V内取一点O作为坐标原点，以R表示由原点到场点P的距离，有R = x 2 + y 2 + z 2r = x x = (x x)2 + ( y y)2 + (z z )2由于区域线度远小于R，可以把x各分量看作小参量，把x-x的函数对x展开。设f(x-x)为x-x的任意函数，在x=0点附近f(x-x)的展开式为3i =1xiv1xixj 2xi x jvv v v1 v2!3v vvvvf (x x) = f (x ) xif (x ) +i!2 , jf (x ) + L= f (x ) x f (x ) +(x )2 f (xv) + L取v v v v有1r=1R x 1R+1xixj 2 1xi x j R+ L电势为v14 0 1 1 2 1 4f (x x) = 1 x x = 1 rvi!2 , jv 1vV (x) R x R + 2! i , j xixj xi x j R +LdV 令v v vVVVvv则v1 Q p 1R16 i , j 2 1xi x j R+ L上式是电荷体系激发的势在多极展开式。p称为体系的电偶极矩，张量D称为体系的电四极矩。5Q = (x)dV ,p = (x)xdV ,Dij = 3xixj (x)dV 4 0 Rv+ Di , j2、电多极矩已知v1 Q p 1R16 i , j 2 1xi x j R+L第一项是在原点的点电荷Q激发的电势(0 )=Q4 0 R第二项是电偶极矩p产生的电势 (1)= 14 0p 1R=p R4 0 R 364 0 Rv+ Di , jvv v如图所示具有偶极矩pz=Ql 的电偶极子，它产生的电势为 =Q 14 0 r+1 r 若lR，有l2l21r+1r12lcos =lz3= l 7r+ R cos ,r R + cos ,RR 1 z R 电偶极子产生的电势 Ql 14 0 z R= 14 0p z 1z R这里只有一个z方向的导数有贡献，因为另两个方向与pP方向正交。 (1)= 14 0p 1R=p R4 0 R 38vv v第三项(2 )=1 14 0 6 2 1i j是电四极矩Dij产生的电势。电四极矩张量是对称张量，它有6个分量为D11, D22 , D33 , D12 = D21,D23 = D32 ,D31 = D13.9i , j Di , j x x R图示z轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系。这体系可以看作由一对电偶极子+p和-p组成。设正电荷位于z=b，负电荷位于z=b 。这体系的总电荷为零，总电偶极矩为零，它的电四极矩为D33 = 6Q(b 2 a 2 ) = 6Q(b a)(b + a) = 6 pl10这电荷体系产生的电势是一对反向电偶极子所产生的电势。求得电势为 14 0p 1z r+14 0p 1z r= 14 0p 1z r+1 r 14 0pl 2 1z 2 R=1 14 0 6D33 2 1z 2 R11 12下面证明电四极矩只有5个独立分量。当R0时有21R= 0则i , j ij 2 1xi x j R= 0引入符号ij10i = j,i j.加一为零的项，值不变展开式的第三项1 14 0 6v 2 1xi x j R13 ( )3xixj r 2 ij (x)dV 重新定义电四极矩张量Dij = (3xv则势展开式的第三项仍可写为1 14 0 6 2 1i j重新定义的电四极矩张量满足关系D11 + D22 + D33 = 0因而只有5个独立分量。14)i xj r 2 ij (x)dV ij Dij x x R也可用并失形式表示电四极矩t 2 t若电荷分布有v v v球对称性，则=1v因而而且显然有D11 = D22 = D33 = 0D12 = D23 = D31 = 0因此球对称电荷分布没有电四极矩。15( )v vD = 3xx r J (x)dV x 2 (x)dV = y 2 (x)dV = z 2 (x)dV 3 r 2 (x)dV 例 均匀带电的长形旋转椭圆球体半长轴为a，半短轴为b，带总电荷Q，求它的电四极矩和远处的电势。解取z轴为旋转轴，椭球方程为x 2 + y 22z 2a椭球所带电荷密度为 0 =3Q4ab2电四极矩为Dij = 0 (3xi x j r 2 ij )dV由对称性 xydV = yzdV = zxdV = 016b+ 2 = 1因此D12 = D23 = D31 = 0由对称性得2 2 4ab 42 4a 3b 2因此D33 = 0 (3z 2 r 2 )dV = 0 (2 z 2 2 x 2 )dV =25(a 2 b 2 )Q,1215(a 2 b 2 )Q17 x dV = y dV = 15 , z dV = 15D11 = D22 = D33 = 电四极矩产生124 0 22+ D22 22+ D33z R的势为=124 0 1 22+2 2 1=1 324 0 2D33 2 12=Q