【全程复习方略】高中数学 课时提升卷 第四讲 用数学归纳法证明不等式举例 新人教A版选修45(1).doc

课时提升卷 用数学归纳法证明不等式举例（45分钟 100分）一、选择题(每小题5分,共30分)1.用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=1-an+21-a(nn+,a1),在验证n=1时,左边所得的项为()a.1 b.1+a+a2c.1+a d.1+a+a2+a32.用数学归纳法证明2nn2(n5,nn+)成立时第二步归纳假设的正确写法是()a.假设n=k时命题成立b.假设n=k(kn+)时命题成立c.假设n=k(k5)时命题成立d.假设n=k(k5)时命题成立3.(2013日照高二检测)用数学归纳法证明“sn=1n+1+1n+2+1n+3+13n+11(nn+)”时,s1等于()a.12 b.14c.12+13 d.12+13+144.(2013合肥高二检测)利用数学归纳法证明不等式1+12+13+12n-1f(n)(n2,nn+)的过程,由n=k到n=k+1时,左边增加了()a.1项 b.k项 c.2k-1项 d.2k项5.设f(x)是定义在正整数集上的函数,有f(k)满足:当“f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立”.那么下列命题总成立的是()a.若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立b.若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k2成立c.若f(7)49成立,则当k8时,均有f(k)k2成立d.若f(4)=25成立,则当k4时,均有f(k)k2成立6.对于正整数n,下列说法不正确的是()a.3n1+2n b.0.9n1-0.1nc.0.9nn2时,f(2k+1)-f(2k)=_.9.(2013台州高二检测)若数列an的通项公式an=1(n+1)2,记cn=2(1-a1)(1-a2)(1-an),试通过计算c1,c2,c3的值,推测cn=_.三、解答题(1011题各14分,12题18分)10.用数学归纳法证明:(n+12)nn!(n1,nn+).11.设函数f(x)=x-xlnx,数列an满足0a11,an+1=f(an).(1)证明:函数f(x)在区间(0,1)上是增函数.(2)证明:anan+142,因此对于任意的k4,均有f(k)k2成立.6.【解析】选c.结合贝努利不等式(1+x)n1+nx(x-1,且x0,n1,nn+)判断.当x=2时,(1+2)n1+2n,a正确.当x=-0.1时,(1-0.1)n1-0.1n,b正确,c不正确.当x=-0.9时,(1-0.9)n1-0.9n,因此d正确.7.【解析】由贝努利不等式(1+x)n1+nx(x-1,且x0,n1,nn+),当n1时,令x=ba,所以1+ban1+nba,所以a+ban1+nba,即(a+b)nan+nan-1b,当n=1时,m=n,故mn.答案:mn8.【解题指南】先列出f(2k)与f(2k+1),再比较即可.【解析】f(2k)=1+12+13+12k,f(2k+1)=1+12+12k+12k+1+12k+2+12k+1,故f(2k+1)-f(2k)=12k+1+12k+2+12k+1.答案:12k+1+12k+2+12k+19.【解析】c1=2(1-a1)=21-14=32,c2=2(1-a1)(1-a2)=21-141-19=43,c3=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=21-141-191-116=54,故cn=n+2n+1.答案:n+2n+110.【证明】(1)当n=2时,2+122=322=942!=2,不等式成立.(2)假设n=k(k2且kn+)时不等式成立,即k+12kk!,当n=k+1时,(k+1)+12k+1=k+12+12k+1=ck+10k+12k+1+ck+11k+12k12+ck+1k+112k+1k+12k+1+12(k+1)k+12k=(k+1)k+12k(k+1)k!=(k+1)!,所以当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)可知对n1的一切自然数,不等式成立.11.【证明】(1)f(x)=1-(1+lnx)=-lnx.因为x(0,1),所以lnx0,所以f(x)在(0,1)上为增函数.(2)运用数学归纳法证明0an1.当n=1时,由于0a11,所以不等式成立.假设当n=k(k1)时,0ak1,则当n=k+1时,ak+1=f(ak)=ak-aklnak=ak(1-lnak).因为lnak0,令g(x)=f(x)-1=x-xlnx-1.当0x1时,由于g(x)与f(x)有相同的单调性,因此g(x)g(1)=0即f(x)1,所以当0ak1时,ak+11.综上:0ak+11.假设归纳成立,即对于任意的正整数n均有0an1,而an+1-an=-anlnan,当0an0.因此anan+11.12.【证明】由已知,得sn=3n-1,sn+1sn3n+1n等价于3n+1-13n-13n+1n,即3n2n+1.(*)用数学归纳法证明上面不等式成立.当n=1时,左边=3,右边=3,所以(*)式成立.假设当n=k(k1)时,