【全程复习方略】高中数学 2.3.2.1双曲线的简单几何性质课时作业 新人教A版选修21 (1).doc

双曲线的简单几何性质(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.下列曲线中离心率为62的是()a.x22-y24=1b.x24-y22=1c.x24-y26=1d.x24-y210=1【解析】选b.选项b中,a2=4,b2=2,所以c2=a2+b2=6,所以a=2,c=6,故e=ca=62.【变式训练】已知双曲线x2a2-y25=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于()a.31414b.324c.32d.43【解析】选c.由a2+5=32,得a=2,所以e=ca=32.2.(2014兰州高二检测)已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y-3=0,则该双曲线的离心率为()a. 5或54b.5或52c.3或32d. 5或53【解析】选b.因为双曲线的一条渐近线平行于直线x+2y-3=0,所以ba=-12或ab=-12,所以e=1+b2a2=52或5.【变式训练】(2014白山高二检测)设双曲线x2a2-y29=1(a0)的渐近线方程为3x2y=0,则该双曲线的离心率为.【解析】因为双曲线的焦点在x轴上,且渐近线方程为3x2y=0,所以ba=32,所以该双曲线的离心率e=1+b2a2=132.答案:1323.(2014温州高二检测)双曲线x2-y2=1的渐近线方程是()a.x=1b.y=2xc.y=xd.y=22x【解析】选c.由双曲线x2-y2=1,得a2=1,b2=1,即a=1,b=1,所以渐近线方程为y=bax=x.4.(2014太原高二检测)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为()a.x24-y212=1b.x212-y24=1c.x210-y26=1d.x26-y210=1【解析】选a.设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),由ca=2,c=4,所以a=2,又b2=c2-a2=12,所以双曲线的标准方程为x24-y212=1.5.(2013湖北高考)已知00)的焦点为f1(-5,0),f2(5,0),则双曲线的渐近线方程为_.【解析】由双曲线x29-y2b2=1(b0)的焦点为f1(-5,0),f2(5,0),所以9+b2=52,得b=4,又a=3,所以双曲线方程为x29-y216=1,故渐近线方程为4x3y=0.答案:4x3y=08.(2014南昌高二检测)设圆过双曲线x24-y212=1的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是.【解析】不妨设圆心在右支上且在第一象限,若圆过右焦点和左顶点,则这样的圆不存在,故圆只能过右顶点a2(2,0),右焦点f2(4,0),则圆心p为a2f2的垂直平分线与双曲线的交点,将x=3代入双曲线方程,得p(3,15).故|op|=32+(15)2=26.答案:269.(2014重庆高二检测)设f1,f2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,若在双曲线的右支上存在一点p满足:pf1f2是以pf1为底边的等腰三角形;直线pf1与圆x2+y2=14a2相切,则此双曲线的离心率为.【解析】因为|pf1|-|pf2|=2a,|pf2|=|f1f2|=2c,所以|pf1|=2a+2c,作f2mpf1于m,则|mp|=12|pf1|=a+c,所以|mf2|=|pf2|2-|mp|2=(2c)2-(a+c)2=3c2-a2-2ac,又设圆x2+y2=14a2与直线pf1切于t,则|ot|=12a,由|ot|=12|f2m|得:12a=123c2-a2-2ac,即3c2-2a2-2ac=0,同除以a2得3e2-2e-2=0(e1),解得e=1+73.答案:1+73三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014大庆高二检测)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)和椭圆x216+y29=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍,求双曲线的方程.【解析】由椭圆x216+y29=1,得a2=16,b2=9,c2=a2-b2=7,所以a=4,c=7,故椭圆离心率为e1=ca=74.因为双曲线与椭圆x216+y29=1有相同焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍,所以双曲线的两焦点为f1(-7,0),f2(7,0),离心率e2=72=ca,所以,a=2,b2=c2-a2=7-4=3.所以双曲线的方程为x24-y23=1.11.焦点在x轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为3,焦距为12,求此双曲线的方程及离心率.【解析】由已知可设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),所以两条渐近线为y=bax.因为两条渐近线的夹角为3,故分两种情况,即y=bax的倾斜角为6或3.当y=bax的倾斜角为6时,所以ba=tan6=33,所以b2a2=13,即a2=3b2.又2c=12,所以c=6.由c2=a2+b2,得b2=9,a2=27.所以双曲线方程为x227-y29=1,e=ca=633=233.当y=bax的倾斜角为3时,所以ba=tan3=3,所以b2=3a2.又2c=12,所以c=6.由c2=a2+b2,得a2=9,b2=27.所以双曲线方程为x29-y227=1,e=ca=63=2.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2013福建高考)双曲线x24-y2=1的顶点到渐近线的距离等于()a.25b.45c.255d.455【解析】选c.双曲线的右顶点为(2,0),渐近线方程为x-2y=0,则顶点到渐近线的距离为25=255.【变式训练】(2013福建高考)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于()a.12b.22c.1d.2【解题指南】先求顶点,后求渐近线方程,再用距离公式.【解析】选b.顶点1,0到渐近线y=x的距离为22.2.(2013北京高考)双曲线x2-y2m=1的离心率大于2的充分必要条件是()a.m12b.m1c.m1d.m2【解题指南】找出a2,b2,c2,表示出离心率,再解出m.【解析】选c.a2=1,b2=m,c2=1+m,e=ca=1+m2,所以m1.3.(2014唐山高二检测)设f1,f2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点p满足|pf2|=|f1f2|,且cospf1f2=45,则双曲线的渐近线方程为()a.3x4y=0b.4x3y=0c.3x5y=0d.5x4y=0【解题指南】根据|pf2|=|f1f2|,结合双曲线的定义,可得出|pf1|=2a+2c,再由cospf1f2=45,找出ba的值.【解析】选b.作f2qpf1于q,因为|f1f2|=|pf2|,所以q为pf1的中点,由双曲线的定义知|pf1|-|pf2|=2a,所以|pf1|=2a+2c,故|f1q|=a+c,因为cospf1f2=45,所以f1qf1f2=cospf1f2,即a+c2c=45,得3c=5a,所以3a2+b2=5a,得ba=43,故双曲线的渐近线方程为y=43x,即4x3y=0.4.(2014青岛高二检测)已知f1,f2分别是双曲线c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,p为双曲线右支上的一点,pf2f1f2,且|pf1|=2|pf2|,则双曲线的离心率为()a.3b.1+2c.22d.1+5【解题指南】由于|pf1|=2|pf2|又点p是靠近f2的那一支上的一点,则可根据双曲线的定义可得|pf1|-|pf2|=2a,再结合|pf1|=2|pf2|求出|pf1|,|pf2|的值,然后再根据f1f2pf2推出|pf1|2-|pf2|2=|f1f2|2即可得出关于a,c的关系式从而可求出离心率e.【解析】选b.因为|pf1|=2|pf2|,|pf1|-|pf2|=2a,所以|pf1|=2a(2+2),|pf2|=2a(1+2),因为f1f2pf2,|f1f2|=2c,所以|pf1|2-|pf2|2=|f1f2|2,所以c2=(3+22)a2,所以e=ca=1+2.【变式训练】(2013陕西高考)双曲线x216-y29=1的离心率为.【解题指南】利用双曲线的标准方程中c2=a2+b2及离心率的求解公式e=ca得解.【解析】由b2a2=916得e2=c2a2=2516,所以e=54.答案:54二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014哈尔滨高二检测)双曲线的离心率为2,则双曲线的两条渐近线所成的锐角是.【解析】由e=ca=2,所以a2+b2a=2,即ba=3,所以tan=3(其中为一条渐近线的倾斜角).所以=60,因此两条渐近线所成的锐角为60.答案:606.(2014重庆高考改编)设f1,f2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点p使得pf1-pf22=b2-3ab,则该双曲线的离心率为.【解析】由双曲线的定义知,pf1-pf22=4a2,又pf1-pf22=b2-3ab,所以4a2=b2-3ab,等号两边同除a2,化简得ba2-3ba-4=0,解得ba=4或ba=-1(舍去),故离心率e=ca=c2a2=a2+b2a2=1+ba2=17.答案:17三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点p(3,-1),若此圆过点p的切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程.【解析】切点为p(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10,因为双曲线的一条渐近线平行于此切线,且双曲线关于两坐标轴对称.所以双曲线的渐近线方程为3xy=0.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则其渐近线方程为y=bax,即ba=3,则双曲线方程可化为x2a2-y29a2=1,因为双曲线过点p(3,-1),所以9a2-19a2=1,所以a2=809,b2=80,所以所求双曲线方程为x2809-y280=1.当焦点在y轴上时,设双曲线方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),则渐近线方程为y=abx,即ab=3,则双曲线方程可化为y29b2-x2b2=1,因为双曲线过点p(3,-1),所以19b2-9b2=1,得-809b2=1,无解.综上可知所求双曲线方程为x2809-y280=1.【一题多解】切点为p(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10.因为双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称.所以双曲线的两条渐近线方程为3xy=0,设所求的双曲线方程为9x2-y2=(0),因为点p(3,-1)在所求双曲线上,所以=80.所以所求双曲线方程为x2809-y280=1.8.设f1,f2分别为双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点,a1,a2分别为这个双曲线的左、右顶点,p为双曲线右支上的任意一点,求证:以a1a2为直径的圆既与以pf2为直径的圆外切,又与以pf1为直径的圆内切.【解题指南】设n,m分别是pf1,pf2的中点,只要证明|om|=a+12|pf2|,并且|on|=12|pf1|-a即可.注意点p在双曲线的右支上,f1,f2是双曲线的两个焦点,满足了运用定义的条件特征,故应从双曲线的定义入手去探索证明的途径.【证明】如图,以a1a2为直径