【全程复习方略】高中数学 课时提升卷(十八) 2.4.2 第1课时 抛物线的简单几何性质 新人教A版选修21.doc

抛物线的简单几何性质（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013济宁高二检测)设抛物线y2=12x的焦点为f,点p在此抛物线上且横坐标为5,则|pf|等于()a.4b.6c.8d.102.(2013宜春高二检测)抛物线顶点在原点,焦点在y轴上,其上一点p(m,1)到焦点的距离为5,则抛物线方程为()a.x2=8yb.x2=-8yc.x2=16yd.x2=-16y3.(2013四川高考)抛物线y2=8x的焦点到直线x-3y=0的距离是()a.23 b.2 c.3 d.14.(2013冀州高二检测)设f为抛物线y2=2px(p0)的焦点,a,b,c为该抛物线上三点,当fa+fb+fc=0,且|fa|+|fb|+|fc|=3时,此抛物线的方程为()a.y2=2xb.y2=4xc.y2=6xd.y2=8x5.点a是抛物线c1:y2=2px(p0)与双曲线c2:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的交点,若点a到抛物线c1的准线的距离为p,则双曲线c2的离心率等于()a.2b.3c.5d.6二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013安阳高二检测)经过抛物线y=14x2的焦点作直线交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,若y1+y2=5,则线段ab的长等于.7.已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p0)的焦点的距离是5,则p=.8.(2013天水高二检测)ab是过c:y2=4x焦点的弦,且|ab|=10,则ab中点的横坐标是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.若抛物线的顶点在原点,开口向上,f为焦点,m为准线与y轴的交点,a为抛物线上一点,且|am|=17,|af|=3,求此抛物线的标准方程.10.直角aob的三个顶点都在抛物线y2=2px上,其中直角顶点o为原点,oa所在直线的方程为y=3x,aob的面积为63,求该抛物线的方程.11.(能力挑战题)如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于a,b两点,试在抛物线aob这段曲线上求一点p,使pab的面积最大,并求出这个最大面积.答案解析1.【解析】选c.y2=12x中,p=6,由焦半径公式得|pf|=xp+p2=5+62=8.2.【解题指南】运用焦半径公式.【解析】选c.由条件可知,抛物线开口向上,设抛物线方程为x2=2py(p0),由1+p2=5.p=8,故抛物线方程为x2=16y.3.【解析】选d.根据点到直线的距离公式,可得抛物线y2=8x的焦点(2,0)到直线x-3y=0的距离d=2-02=1.4.【解题指南】利用向量的性质及焦半径公式求解.【解析】选a.设a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),fa+fb+fc=0,(x1-p2)+(x2-p2)+(x3-p2)=0,即x1+x2+x3=32p.又|fa|+|fb|+|fc|=3,(x1+p2)+(x2+p2)+(x3+p2)=3,即3p=3,p=1,故抛物线方徎为y2=2x.5.【解析】选c.求抛物线c1:y2=2px(p0)与双曲线c2:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的交点:y2=2px,y=bax,解得x=2pa2b2,y=2pab,所以2pa2b2=p2,c2=5a2,e=5,选c.【变式备选】(2013南安高二检测)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点是抛物线y2=8x的焦点,两曲线的一个公共点为p,且|pf|=5,则该双曲线的离心率为()a.52b.5c.2d.233【解析】选c.抛物线的准线为x=-2,设p(x0,y0),则x0+2=5,x0=3,y02=24.9a2-24b2=1,a2+b2=4,解得a2=1,b2=3.离心率e=ca=2.6.【解题指南】利用焦点弦的弦长公式,即y1+y2+p.【解析】抛物线y=14x2,即x2=4y的准线方程为y=-1,|ab|=|af|+|bf|=y1+y2+2=5+2=7.答案:77.【解析】y2=2px(p0)的焦点为(p2,0).由题意得(p2+2)2+9=5,解得p=4或p=-12(舍去).答案:4【误区警示】容易把点(-2,3)看成抛物线上的点,使用焦半径公式,而导致出错.8.【解题指南】利用焦点弦公式.【解析】设a(x1,y1),b(x2,y2),则ab的中点的横坐标x0=x1+x22.又抛物线的准线方程为x=-1,且|ab|=10,x1+x2+p=x1+x2+2=10.x1+x2=8,x1+x22=4.答案:49.【解析】设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p0),设a(x0,y0),m(0,-p2).|af|=3,y0+p2=3,|am|=17,x02+(y0+p2)2=17,x02=8,代入方程x02=2py0得,8=2p(3-p2),解得p=2或p=4.所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.10.【解题指南】运用解方程组分别求出a,b坐标,从而求出|oa|和|ob|,利用面积公式求出p即可.【解析】因为oaob,且oa所在直线的方程为y=3x,所以ob所在直线的方程为y=-33x.由y2=2px,y=3x,得a点坐标(2p3,23p3),由y2=2px,y=-33x,得b点坐标(6p,-23p).|oa|=43|p|,|ob|=43|p|,soab=833p2=63,所以p=32.即该抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.【拓展提升】抛物线中恒过定点问题过抛物线y2=2px(p0)的顶点任作两条互相垂直的直线oa和ob,则直线ab恒过定点(2p,0).【举一反三】若本题中oa的直线方程为y=kx,“aob的面积为63”去掉,证明ab恒过定点(2p,0).【证明】由y=kx,y2=2px,得a的坐标为(2pk2,2pk),oaob,ob的直线方程为y=-1kx.由y=-1kx,y2=2px,得b的坐标为(2pk2,-2pk).kab=2pk+2pk2pk2-2pk2=(1+k2)k(1+k2)(1-k2)=k1-k2,ab的方程为y+2pk=k1-k2(x-2pk2),整理得k(x-2p)+(k2-1)y=0.由x-2p=0,y=0,得x=2p,y=0,故直线恒过定点(2p,0).11.【解题指南】先求出弦长|ab|,再求出点p到直线ab的距离,从而可表示出pab的面积,再求最大值即可.【解析】由y=2x-4,y2=4x,解得x=4,y=4,或x=1,y=-2.a(4,4),b(1,-2),|ab|=35,设p(x0,y0)为抛物线aob这段曲线上一点,d为点p到直线ab的距离,则有d=|2x