【全程复习方略】高中数学 2.3.1数乘向量课时作业 北师大版必修4.doc

数乘向量一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014开远高一检测)0ab=()a.0b.0c.abd.ba【解析】选b.0ab=0.2.如图,在正方形abcd中,点e为cd的中点,点f为bc上靠近点b的一个三等分点,则ef=()a.12ab-13adb.14ab-12adc.13ab+12add.12ab-23ad【解析】选d.在正方形abcd中,点e为cd的中点,点f为bc上靠近点b的一个三等分点,故ef=ec+cf=12ab+23cb=12ab-23ad.3.如图,在正方形abcd中,下列描述中正确的是()a.ab=bcb.ab=cdc.ac=2abd.|ab+bc|=|ab-bc|【解析】选d.在正方形abcd中,设边长等于1,因为ab+bc=ac,所以|ab+bc|=|ac|=2,|ab-bc|=|ab-ad|=|db|=2,所以|ab+bc|=|ab-bc|,故选d.4.已知o,a,b是平面上不共线的三点,若点c满足ac=cb,则向量oc等于()a.oa-obb.oa+obc.12(oa-ob)d.12(oa+ob)【解题指南】由于o,a,b是平面上不共线的三点,若点c满足ac=cb,可得c是ab的中点.【解析】选d.由已知oc=oa+ac,又ac=cb,所以oc=oa+cb=oa+ob-oc,故2oc=oa+ob,oc=12(oa+ob),故选d.5.设m是abcd的对角线的交点,o为任意一点(且不与m重合),则oa+ob+oc+od等于()a.omb.2c.3omd.4om【解析】选d.因为o为任意一点,不妨把a点看成o点,则oa+ob+oc+od=0+ab+ac+ad,因为m是abcd的对角线的交点,所以0+ab+ac+ad=2ac=4am,故选d.6.已知om=23oa+13ob,设am=ab,那么实数的值是()a.16b.15c.14d.13【解析】选d.因为am=ab,所以om-oa=(ob-oa).因为om=23oa+13ob,所以-13oa+13ob=(ob-oa),即13(ob-oa)=(ob-oa),所以=13.二、填空题(每小题4分,共12分)7.如图所示,已知o是abc所在平面内一点,d为bc边的中点,且2oa+oc+ob=0,则oa=od.【解析】因为d为bc的中点,所以oc+ob=2od,即2oa+2od=0,所以oa=-od.答案:-8.(2014如东高一检测)已知向量e10,e20,r.向量a=e1+e2,b=2e2,若a与b共线,则下列关系中一定成立的是.=0;e1e2;e1e2或=0【解析】当=0时,显然a与b共线;当e1e2时也有a与b共线,故一定成立.答案:【误区警示】本题容易出现错选的情况,当成立时向量共线,但向量共线不一定成立,应理清其中的逻辑关系.9.(2014宜昌高一检测)已知o,a,m,b为平面上四点,且om=ob+(1-)oa,(1,2),则a,b,m的关系是.【解析】由om=ob+(1-)oa可得am=ab,因为(1,2),因此点b在线段am上.答案:b在线段am上三、解答题(每小题10分,共20分)10.计算:(1)6(3a-2b)+9(-2a+b).(2)-7612a+37b+76a.(3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).【解析】(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.(2)原式=76a+12b-76a-12b=0.(3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6-4+4)a+(-6+8)b+(6-4-2)c=6a+2b.【拓展提升】向量的数乘运算的求解(1)向量的加、减法以及实数与向量的积的运算可类比实数的加、减法与乘法满足的运算法则.因此,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的数乘运算中也都可以使用.(2)向量的运算与实数的运算在具体含义上是不同的,但它们在形式上类似.11.(2013南昌高一检测)已知点c在线段ab的延长线上,且abac=34.(1)用bc表示ab.(2)用cb表示ac.【解题指南】本题中已知条件没有涉及方向,但欲求结果中却涉及了方向.因此,解答此类问题,要把握好从单一的长度要素向长度、方向双重要素的过渡.【解析】如图,由已知点c在线段ab的延长线上,且abac=34,所以abab+bc=34,解得ab=3bc.同时可得ac=4cb.(1)如图,向量ab与bc的方向相同,所以ab=3bc.(2)如图,向量ac与cb的方向相反,所以ac=-4cb.一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知空间四边形abcd,m,g分别是bc,cd的中点,连接am,ag,mg,则ab+12(bd+bc)等于()a.agb.cgc.bcd.12bc【解析】选a.ab+12(bd+bc)=ab+bg=ag.2.在abc中,an=13nc,p是bn上的一点,若ap=mab+29ac,则实数m的值为()a.19b.13c.1d.3【解题指南】利用数乘向量及向量的加减法,用向量ab,ac表示出向量ap.【解析】选a.因为an=13nc,ap=mab+29ac,所以ap=mab+89an,设bp=pn(0),得ap=11+ab+1+an,所以m=11+且89=1+,解之得=8,m=19,故选a.3.(2014百色高一检测)若o为平行四边形abcd的中心,ab=4e1,bc=6e2,则6e2-4e1等于()a.adb.bdc.acd.dc【解析】选b.6e2-4e1=bc-ab=ad-ab=bd.4.(2014长沙高一检测)设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(kr)与向量n=e2-2e1共线,则()a.k=0b.k=1c.k=2d.k=12【解题指南】解答本题的关键是根据e1,e2不共线,分析是否可以找到实数,使m=n.【解析】选d.由题意m=n,所以-1=-2,k=,解得k=12.【变式训练】a=e1+2e2,b=3e1-4e2,且e1,e2共线,则a与b()a.共线b.不共线c.相等d.可能共线也可能不共线【解析】选a.因为e1,e2共线,所以存在使得e1=e2,故a=(+2)e2,b=(3-4)e2,故a与b共线.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013江苏高考)设d,e分别是abc的边ab,bc上的点,ad=12ab,be=23bc,若de=1ab+2ac(1,2为实数),则1+2的值为.【解题指南】利用向量加法的三角形法则,将de转化为ab与ac和的形式.【解析】由de=db+be=12ab+23bc=12ab+23(ac-ab)=-16ab+23ac,则1+2的值为12.答案:12【变式训练】在平行四边形abcd中,e和f分别是边cd和bc的中点,且ac=ae+af,其中,r,则+=.【解析】ae=12ab+ad,af=ab+12ad,故ab=-23ae+43af,ad=43ae-23af,故ac=ab+ad=23ae+23af,故+=43.答案:436.(2014景德镇高一检测)已知在abc中,点m满足ma+mb+mc=0,若存在实数m使得ab+ac=mam成立,则m=.【解题指南】确定点m为abc的重心,利用向量的加法法则,即可求得m的值.【解析】由点m满足ma+mb+mc=0,知点m为abc的重心,设点d为底边bc的中点,则am=23ad=2312(ab+ac)=13(ab+ac),所以ab+ac=3am,所以m=3.答案:3三、解答题(每小题12分,共24分)7.设p是abc所在平面内的一点,bc+ba=2bp,证明pc+pa=0.【证明】因为bc+ba=2bp,所以点p为线段ac的中点,如图:即pc+pa=0.8.在abc中,点d在线段bc的延长线上,且bc=3cd,点o在线段cd上(与点c,d不重合),若ao=xab+(1-x)ac,求x的取值范围.【解题指南】根据所给的数量关系,写出要求向量的关系式,注意共线的向量之间的三分之一关系,根据表示的关系式和所给的关系式进行比较,得到结果.【解析】设co=ybc,因为ao=ac+co=ac+ybc=ac+y(ac-ab)=-yab+(1+y)ac,因为bc=3cd,点o在线段cd上(与点c,d不重合),所以y0,13,因为ao=xab+(1-x)ac,所以x-13,0.【变式训练】如图所示,已知oab.(1)若op=xoa+yob,且点p在直线ab上,则x,y应满足什么条件?(2)若正实数x,y满足x+y1,且有op=xoa+yob,试求证点p必在oab内.【解析】(1)由点p在直线ab上得ap=ab=(ob-oa),故op=oa+ap=(1-)oa+ob.又op=xoa+yob,且在oab中,oa,ob不共线,所以x=1-,y=,故x+