【全程复习方略】（福建专用）高中数学 第三节 变换的不变量与矩阵的特征向量课时提升作业 新人教A版选修42.doc

【全程复习方略】（福建专用）2014版高中数学 第三节 变换的不变量与矩阵的特征向量课时提升作业 新人教a版选修4-21.(2013南平模拟)已知y=f(x)的图象(如图1)经过矩阵a=作用后变换为曲线c(如图2).(1)求矩阵a.(2)求矩阵a的特征值.2.已知矩阵m=.(1)求直线4x-10y=1在m作用下的方程.(2)求m的特征值与特征向量.3.已知矩阵a=,点m(-1,-1),点n(1,1),(1)求线段mn在矩阵a对应的变换作用下得到的线段mn的长度.(2)求矩阵a的特征值与特征向量.4.已知二阶矩阵m属于特征值-1的一个特征向量为,属于特征值2的一个特征向量为,求矩阵m及其逆矩阵m-1.5.已知二阶矩阵a属于特征值-1的一个特征向量为,属于特征值7的一个特征向量为.(1)求矩阵a.(2)若方程满足ax=,求x.6.设m是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸缩变换.(1)求矩阵m的特征值及相应的一个特征向量.(2)求逆矩阵m-1以及椭圆=1在m-1的作用下的新曲线的方程.7.已知矩阵m=,向量a=,求m3a.8.已知矩阵a=,求a的特征值1,2及对应的特征向量a1,a2.9.已知矩阵a=,向量=.(1)求a的特征值1,2和对应的一个特征向量1,2.(2)计算a5的值.10.(2013泉州模拟)已知二阶矩阵m=有特征值1=2及对应的一个特征向量e1=.(1)求矩阵m.(2)若a=,求m10a.答案解析1.【解析】(1)(,0)变为(,0),a=,c=0.又(,1)变为(,1),b=0,d=1,a=.(2)由题意得=0,(-)(-1)=0,解得=或1,即矩阵a的特征值为,1.2.【解析】(1)因为m=.设直线4x-10y=1上任意一点p(x,y),在m作用下对应点p(x,y),则,即所以代入4x-10y=1,得4x-10y=1,即x-2y=1,所以所求方程为x-2y=1.(2)矩阵m的特征多项式f()=(-4)(-5),令f()=0,得m的特征值为1=4,2=5.当1=4时,得一个特征向量为1=;当2=5时,得一个特征向量为2=.3.【解析】(1)由所以m(-3,-4),n(3,4),所以|mn|=10.(2)f()=(-3)(-4),令f()=0,得矩阵a的特征值为1=3,2=4,分别将1=3,2=4代入方程组得矩阵a属于特征值1=3的一个特征向量为1=.属于特征值2=4的一个特征向量为2=.4.【解析】设m=,由=(-1),得由=2,得解得故m=.因为|m|=-2,故m-1=.5.【解析】(1)设a=,则=.得a=.(2)由ax=得,x=a-1,a-1=,x=.6.【解析】(1)由条件得矩阵m=,则矩阵m的特征多项式f()=(-2)(-3),令f()=0,得矩阵m的特征值为2和3,其对应的一个特征向量分别为和.(2)因为|m|=6,m-1=,椭圆=1在m-1的作用下的新曲线的方程为x2+y2=1.7.【解析】m3=,m3a=.8.【解析】矩阵a的特征多项式为f()=(-3)(+1),令f()=0,得到矩阵a的特征值为1=3,2=-1,当1=3时,由得y=0,取x=1,得到属于特征值3的一个特征向量a1=;当2=-1时,由得取x=1,则y=-4,得到属于特征值-1的一个特征向量a2=.9.【解析】(1)矩阵a的特征多项式为f()=2-5+6,令f()=0,解得1=2,2=3.当1=2时,解得1=,当2=3时,解得2=.(2)由=m1+n2.得解得m=3,n=1.则a5=a5(31+2)=3(a51)+a52=3(1)+2=325+35=.10.【解析】(1)依题意: =2,a=1,b=2.矩阵m=(2)由(1)知,矩阵m的特征多项式为f()=(-1)(-2),矩