【全程复习方略】（文理通用）高三数学一轮复习 3.8应用举例精品试题(1).doc

应 用 举 例(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.如图所示,为了测量某障碍物两侧a,b间的距离,给定下列四组数据,不能确定a,b间距离的是()a.,a,bb.,ac.a,b,d.,b【解析】选a.选项b中由正弦定理可求b,再由余弦定理可确定ab.选项c中可由余弦定理确定ab.选项d同b类似.2.(2013金华模拟)如图,设a,b两点在河的两岸,一测量者在a的同侧所在的河岸边选定一点c,测出ac的距离为50m,acb=45,cab=105后,就可以计算出a,b两点间的距离为()a.502mb.503mc.252md.2522m【解析】选a.因为acb=45,cab=105,所以cba=30,在abc中,由正弦定理,得acsincba=absinacb,即50sin30=absin45,所以ab=502(m),故选a.【加固训练】如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取a,b两点,从a,b两点分别测得建筑物顶端的仰角为30,45,且a,b两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为()a.(30+303)mb.(30+153)mc.(15+303)md.(15+153)m【解析】选a.在pab中,pab=30,apb=15,ab=60,sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30=2232-2212=6-24,由正弦定理,得pbsin30=absin15,所以pb=12606-24=30(6+2),所以建筑物的高度为pbsin45=30(6+2)22=(30+303)m.3.(2013台州模拟)某人向正东方向走xkm后,向右转150,然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好是3km,那么x的值为()a.3b.23c.3或23d.3【解析】选c.如图所示,设此人从a出发,则ab=xkm,bc=3km,ac=3km,abc=30,由余弦定理,得(3)2=x2+32-2x3cos30,整理得x2-33x+6=0,解得x=3或23.4.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆,甲观测的仰角为50,乙观测的仰角为40,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有()a.d1d2b.d120md.d2tan 40可知,d160,设最大角为,故对的边长为a+2,因为sin=32,所以=120,由余弦定理得(a+2)2=(a-2)2+a2+a(a-2),即a2=5a,解得a=5.所以三边长为3,5,7,s=1235sin120=1534.8.abc中,ab=12,acb的平分线cd把abc的面积分成32两部分,则cosa等于()a.13b.12c.34d.0【思路点拨】先根据角平分线的性质,将面积比转化为三角形中两边的关系,再由正弦定理构造方程求解.【解析】选c.因为cd为acb的平分线,所以d到ac与d到bc的距离相等.所以acd中ac边上的高与bcd中bc边上的高相等.因为sacdsbcd=32,所以acbc=32.由正弦定理,得sinbsina=32,又因为b=2a,所以sin2asina=32,2sinacosasina=32,所以cosa=34.二、填空题(每小题5分,共20分)9.在abcd中,ab=6,ad=3,bad=60,则abcd的对角线ac长为,面积为.【解析】在abcd中,连接ac,则cd=ab=6,adc=180-bad=180-60=120.根据余弦定理,得ac=ad2+cd2-2adcdcos120=32+62-236-12=37.abcd的面积s=2sabd=abadsinbad=63sin60=93.答案:379310.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60方向,另一灯塔在船的南偏西75方向,则这只船的速度是每小时.【解析】如图,依题意有bac=60,bad=75,所以cad=cda=15,从而cd=ca=10,在直角三角形abc中,可得ab=5,于是这只船的速度是50.5=10(海里/小时).答案:10海里11.(2013咸阳模拟)在abc中,ad为bc边上的中线,且ac=2ab=2ad=4,则bd=.【解析】设bd=dc=x,因为adb+adc=180,所以cosadb=-cosadc,又ac=2ab=2ad=4,由余弦定理得x2+4-422x=-4+x2-1622x,解得x=6(x=-6舍去),故bd=6.答案:612.(能力挑战题)某城市为加强对建筑文物的保护,计划对该市的所有建筑文物进行测量,如图是一座非常著名的古老建筑,其中a是烟囱的最高点,选择一条水平基线hg,使得h,g,b三点在同一条直线上,ab与水平基线hg垂直,在相距为60 m的g,h两点用测角仪测得a的仰角ace,ade分别为75,30,已知测角仪器的高be=1.5 m,则ab=m(参考数据:21.4,31.7).【解析】因为ace=75,adc=30,所以cad=45,在acd中,cd=60,由正弦定理得cdsin45=acsin30,则ac=302.在rtaec中,ae=acsin75,而sin75=sin(30+45)=2+64,所以ae=15(1+3)40.5(m),故ab=ae+eb=40.5+1.5=42(m).答案:42三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.(2014绍兴模拟)如图,在abc中,b=3,bc=2,点d在边ab上,ad=dc,deac,e为垂足.(1)若bcd的面积为33,求cd的长.(2)若de=62,求角a的大小.【解析】(1)由已知得sbcd=12bcbdsinb=33,又bc=2,sinb=32,得bd=23,在bcd中,由余弦定理得cd=bc2+bd2-2bcbdcosb=22+232-222312=273,所以cd的长为273.(2)方法一:因为cd=ad=desina=62sina,在bcd中,由正弦定理得bcsinbdc=cdsinb,又bdc=2a,得2sin2a=62sinasin60,解得cosa=22,所以a=4即为所求.方法二:在abc中,由正弦定理得2sina=acsinb,又由已知得,e为ac中点,所以ac=2ae,所以aesina=sinb=32,又deae=tana=sinacosa,所以aesina=decosa=62cosa=32,得cosa=22,所以a=4即为所求.14.(2014温州模拟)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,a(cosc+3sinc)=b.(1)求角a的大小.(2)若a=1,sabc=32,求b,c的值.【解析】(1)由正弦定理,得sina(cosc+3sinc)=sinb.又sinb=sin(a+c),化简得:3sinasinc=cosasinc.因为sinc0,故tana=33,a=6.(2)根据题意得12bcsina=32,b2+c2-2bccosa=a2,把a=6,a=1代入解得b=2,c=3或b=3,c=2.【方法技巧】三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式s=12absinc=12acsinb=12bcsina,一般是已知哪一个角就使用与该角正弦值有关的面积公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.15.(能力挑战题)(2013江苏高考)如图,游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种路径.一种是从a沿直线步行到c,另一种是先从a沿索道乘缆车到b,然后从b沿直线步行到c.现有甲、乙两位游客从a处下山,甲沿ac匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从a乘缆车到b,在b处停留1min后,再从b匀速步行到c.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路ac长为1260m,经测量,cosa=1213,cosc=35.(1)求索道ab的长.(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【思路点拨】(1)利用正弦定理确定出ab的长.(2)先设再建立时间t与甲、乙间距离d的函数关系式,利用关系式求最值.(3)利用条件“使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟”建立不等关系求解.【解析】(1)在abc中,因为cosa=1213,cosc=35,所以sina=513,sinc=45.从而sinb=sin-(a+c)=sin(a+c)=sinacosc+cosasinc=51335+121345=6365.由正弦定理absinc=acsinb,得ab=acsinbsinc=1 260636545=1040(m).所以索道ab的长为1040m.(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离a处130tm,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)1213=200(37t2-70t+50),因0t1 040130,即0t8,故当t=3537(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理bcsina=acsinb,得bc=acsinbsina=1 2606365513=500(m).乙从b出发时,甲已走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达c.设乙步行的速度为vm/min,由题意得-3500v-710503,解得1 25043v62514,所以为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在1 25043,62514(单位:m/min)范围内.【加固训练】如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于a1处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的b1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达a2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的b2处,此时两船相距102海里.问:乙船每小时航行多少海里?【解析】如图,连接a1b2,由已知a2b2=102,a1a2=30