【创新设计】高中数学 质量评估2 北师大版必修4(1).doc

章末质量评估(二)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1下列说法正确的是()a两个单位向量的数量积为1b若abac，且a0，则bcc.d若bc，则(ac)bab解析a中，两向量的夹角不确定，故a错；b中，若ab，ac，b与c反方向，则不成立，故b错；c中，应为，故c错；d中，因为bc，所以bc0，所以(ac)babcbab，故d正确答案d2设(2,3)，(m，n)，(1,4)，则等于()a(1m,7n) b(1m，7n)c(1m,7n) d(1m，7n)解析(1m,7n)，而.答案b3已知a(4,6)，b，有下列向量：a；b；c；d(7,9)其中，与直线ab平行的向量是()a b c d解析.，与直线ab平行的向量是.答案c4设|a|12，|b|9，ab54，则a和b的夹角等于()a45 b120 c135 d165解析cos ，又0，180，135.答案c5已知向量e10，e20，r，ae1e2，b2e1，若a与b共线，则下列关系中一定成立的是()a0 be20ce1e2 de1e2或0解析先讨论e1与e2是否共线，当e1e2时可以；当e1与e2不共线时，0.答案d6若|a|3，|b|5，且ab与ab垂直，则()a. b c d解析(ab)(ab)，(ab)(ab)a22b20，即32225，.答案b7已知a(，2)，b(3,5)，且a与b的夹角是钝角，则的取值范围是()a b c d解析|a|，|b|，ab310.由cos 及为钝角时cos (1,0)知10，解得.答案a8平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知两点a(3,1)，b(1,3)，若点c满足，其中，r，且1，则点c的轨迹方程为()a3x2y110b(x1)2(y2)25c2xy0dx2y50解析设(x，y)(3，)，(，3)，(3，3)(x，y)(3，3)又1，x2y5.答案d9已知abc0，|a|1，|b|2，|c|，则abbcca的值为()a7 b. c7 d解析(abc)2|a|2|b|2|c|22ab2ac2bc1422(abbcca)0.abbcca.答案d10在abc内，存在一点p，使|2|2|p|2最小，则点p是abc的()a重心 b外心 c垂心 d内心解析以bc所在的直线为x轴，线段bc的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系设b(a,0)，c(a,0)，a(m，n)，p(x，y)，则|2|2|2(xa)2y2(xa)2y2(xm)2(yn)23x23y22mx2ny2a2m2n232322a2m2n2.要使上式取最小值，只需x，y，即所以点p为abc的重心答案a二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)11已知a(m3，m3)，b(2m1，m4)，且1m5，则ab的取值范围是_解析因为ab(m3)(2m1)(m3)(m4)m24m9(m2)25(1m5)，所以当m2时，ab有最小值5；当m5时，ab有最大值14.所以5ab14.答案5,1412在abc中，(1,2)，(x,2x)(x0)，若abc的周长为6，则x的值为_解析(x1,2x2)，|a|，|x，|b|，|a|a|b|x6，x.答案13已知向量a，b满足ab(0,5)，ab(4，3)，向量2a，3b，则与aob的平分线共线且同方向的单位向量是_解析ab(0,5)且ab(4，3)，a(2,1)，b(2,4)，2a(4,2)，3b(6,12)，与，同方向的单位向量分别是a0，b0，与aob的平分线共线且同方向的向量ca0b0，与aob的平分线共线且同方向的单位向量是c0.答案14已知a(1,1)，b(1,0)，c满足ac0，且|a|c|，bc0，则c_.解析设c(x，y)由ac0，得xy0.再由|a|c|，得x2y22.由，得或又bc0，x0，c(1，1)答案(1，1)15已知向量a，b的夹角为45，且|a|4，(2a3b)12，则|b|_；b在a方向上的射影等于_解析由题可知：|a|23|b|2|a|b|cos 4512，解得|b|，b在a方向上的射影为cos 451.答案116(2011浙江)若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_解析如图，向量与在单位圆o内，因|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，故以向量，为边的三角形的面积为，故的终点在如图的线段ab上(ab且圆心o到ab的距离为)，因此夹角的取值范围为.答案三、解答题(共40分)17(10分)在平面直角坐标系xoy中，已知点a(1，2)，b(2,3)，c(2，1)(1)求以线段ab、ac为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值解(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求两条对角线的长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)由(t)0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.18(10分)设(2,5)，(3,1)，(6,3)，在上是否存在点m，使？若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由解假设存在点m(x，y)满足条件，则(6，3)(01)，(26，53)，(36，13)，(26)(36)(53)(13)0，即45248110，解得，或.(2,1)或.故存在点m(2,1)，或点m满足题意19(10分)某人在静水中游泳，速度为4 km/h.(1)如果水的流速为4 km/h，他径直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)如果水的流速为2 km/h，那么，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？解(1)如图，设人游泳的速度为，水流的速度为，以、为邻边作平行四边形oacb，则此人的实际速度为，根据勾股定理得|8，且在rtaco中，coa60，此人沿与河岸夹角为60、顺着水流的方向前进，速度大小为8 km/h.(2)如图，设此人的实际速度为，水流速度为，游速，在rtaob中，|4，|2，|2，cos bao，bao45，此人应沿与河岸夹角为45，逆着水流方向前进，实际前进速度的大小为2 km/h.20(10分)如右图，已知(2,1)，(1,7)，(5,1)，设z是直线op上的一动点(1)求使取最小值时的；(2)对(1)中求出的点z，求cosazb的值解(1)z是直线op上的一点，.设实数t，使t，t(2,1)(2t，t)，则(1,7)